不定积分的概念与性质

§4.1 不定积分的概念与性质

阶段练习题(A)

一、选择题

1.下列等式中正确的是( ). (A)d(

()d )()f x x f x =?; (B)d

[d ()]()d d f x f x x x =?; (C)d ()()f x f x =?; (D)()d ()f x x f x C '=+?.

2.设函数

(),x

f x a =()(0,1)ln x

a g x a a a

=>≠,则( ).

(A)

()g x 是()f x 的不定积分; (B)()g x 是()f x 的导数;

(C)

()f x 是()g x 的原函数; (D)()g x 是()f x 的原函数.

3.

()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( ).

(A)

1x

; (B)

ln x x x C -+; (C)2

1x -

; (D)x

e .

二、填空题

1. (

5

sin d )x

x x '=? . 2.d(arctan )x =? .

3.

()f x 的原函数是2ln ,x 则3()d x f x x '=? .

4.设

21(),cos f x x

=

则()d f x x '=? ,d

()d d f x x x =? ,()d f x x =? . 5.设

()d ,x

x f x x xe

e C =-+?则()d

f x x '=? . 6.设()f x 的一个原函数为1

,x

则()f x '= .

7.过点(0,1)且在横坐标为

x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为 .

8.设

22(cos )sin ,f x x '=且(0)0,f =则()f x = . 9.21

(

1)dcos cos x x

-=? .

三、解答题

求下列不定积分:

1.

x ; 2.2

1

(1x x -

?; 3.21d 1x x e x e -+?; 4.221d sin cos x x x ?;

5.

327d

3x x x --?; 6.4x ;

7.

221d (1)x x x +?; 8.2sin d 2

x x ?; 9.

2

cot d x x ?; 10.d 1cos 2x

x

-?

;

11.

22d 1x x x +?; 12.2d x x

e x ?.

§4.2 换元积分法

阶段练习题(A)

一、选择题

1.

d t =( ).

(A)C -; (B)C ; (C)C -; (D)C .

2.

d x x x

e e -=+?( ).

(A)arctan x

e C +; (B)arctan x e C -+;(C)arccot x e C +; (D)arccot x e C -+.

3.已知

()x f x e -=,则(ln )

d f x x x

'=?

( ).

(A)1C x

-

+; (B)

1

C x

+; (C)ln x C -+; (D)ln x C +. 4.

21ln d (ln )x

x x x +=?( ).

(A)

1ln C x x +; (B) 1ln C x +; (C)1ln C x x -+; (D)1

ln C x

-+.

5.

10

2tan

sec d x x x =?( ).

(A)111tan 11x C -

+; (B)111tan 11x C +; (C)101tan 10x C -+; (D)101

tan 10

x C +.

二、填空题

1.d x = d (83)x -.

2.d x x = 2d ()x .

3.4d x

e

x = 4d ()x e . 4.3cos d 2x x = 3

d (sin )2

x .

5.

1d x x = d (10ln )x . 6.2

1

d 116x x =+ d (arctan 4)x .

x = d (2arcsin )x -x = d .

9.

2

1

d 1x x -=+ d (2arccot )x -x = d . 三、解答题

求下列不定积分:

1.

1d 12x x

+?. 2.3sin d cos x

x x ?.

3.

x

?. 4.

3

cot

csc d x x x ?.

5.

d ln ln ln x

x x x ?. 6.

23d 94x x

x x x ?-?.

7.

ln tan d cos sin x

x x x ?. 8.d x .

§4.3 分部积分法

阶段练习题(A)

一、选择题

1.下列等式中正确的是( ). (A)

d d u v v u =??; (B)d d u v uv u v =-??; (C)d d uv x uv uv x '=-??; (D)d d uv x uv u v x ''=-??.

2.下列等式中不成立的( ).

(A)

cos d d (sin )x x x x x =??; (B)d d()x

x

xe x x e

=??;

(C)

1

ln d d(

)x x x x x

=??; (D)sin d d(cos )x x e x x e x =-??. 3.

sin d x x x =?( ).

(A)

cos sin x x x C ++; (B)cos sin x x x C -++;

(C)sin cos x x x C -++; (D)

sin cos x x x C ++.

4.

sin (ln )d x x =?( ).

(A)

sin(ln )cos(ln )22x x

x x C ++; (B)

cos(ln )sin(ln )x x x x C -+;

(C)sin(ln )cos(ln )22

x x

x x C -+; (D)

cos(ln )sin(ln )x x x x C ++.

5.设函数

()f x 的一个原函数是sin x ,则()d xf x x '=?( ).

(A)

cos sin x x x C -+; (B)

sin cos x x x C ++;

(C)cos sin x x x C ++;

(D)

sin cos x x x C -+.

二、填空题

1.计算

5

ln d x

x x ?,可设u = ,d d v =( ).

2.

ln d x x =?

.

3.

arcsin d x x =? .

三、解答题

求下列不定积分:

1.

2d x xe x -?. 2.2

2(cot )d x

x xe x -+?.

3.

2

arccot d x x x ?

. 4.2

ln d x x x ?. 5.

sin cos d x x x x ?. 6.2

2

cos d 2

x

x

x ?.

§4.4 有理函数的积分

阶段练习题(A)

一、选择题

1.将

2221

(1)(1)

x x x x x ++++分解为部分分式, 下列做法中, 正确的做法是设它为( ).

(A)

22211a b c

x x x x +++++; (B)12121222

2

11

a a

b x b

c x c x x x x x ++++++++; (C)

1222211

c x c a b x x x x ++++++; (D)22211a b c d

x x x x x +++

+++. 2.

2

1

d 413

x x x

x +=++?( ).

(A)

81arctan arctan 323x x x C -++; (B)7

arctan 3

x x C -+;

(C)

8arctan 3x x C -+; (D)2112ln(413)arctan 233x x x C +++-+.

3.

d x =( ).

(A)1)C +ln 1|C +;

(C)6ln |1|C +; (D)C .

4*.

2

22d (1)x x x =+?( ).

(A)

21arctan 22(1)x x x C x --++; (B)2arctan 2(1)

x

x C x -++;

(C)

2

1arctan 22(1)

x x C x -++; (D)11arctan sin 224x x C -+.

二、填空题

1.

223

d 22x x x x +=++? .

2.

x = .

3.

d x .

三、解答题

求下列不定积分:

1.

2

1

d 1x x -?.

2.

d x .

3.

3

. 4.

22(1)(1)dx

x x x +++?.

§5.1 -2 定积分的概念与性质

阶段练习题(A)

一、选择题

1.定积分定义所表示的和式极限是( ).

(A)1lim [()]n n i b a i f b a n n →∞=--∑; (B)1

1

lim [()]n n i b a i f b a n n →∞=---∑;

(C)1

1

lim

()([,])n

i

i

i

i i n i f x x

x ξξ-→∞

=?∈∑;

(D)10

1

lim

()(max{1,2,,},[,])n

i

i

i

i i i i f x x

i n x x λξλξ-→=?=?=∈∑L .

2.函数

()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的( ).

(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)无关条件.

3.积分中值定理

()d ()()b a

f x x f b a ξ=-?

,其中( ).

(A)

ξ是[,]a b 内任一点; (B)ξ是[,]a b 内必定存在的某一点; (C)

ξ是[,]a b 内唯一的某一点; (D)ξ是[,]a b 的中点. 4.设21

2ln d ,ln d (0)x

x

e

e

I t t I t t x ==>??,则( ).

(A)对一切的

,x e ≠有12I I <; (B)对一切的,x e ≠有12I I ≥;

(C)当

x e >时,有12I I <; (D)仅当x e <时,有12I I <.

二、填空题

1.如果积分区间[,]a b 被点c 分成[,]a c 与[,]c b ,则定积分的可加性为

()d b a

f x x =?

.

2.判断下列积分的符号:

(1)

12

13

ln d x x x ?值的符号是 ; (2)4520

(sin sin )d x x x π

-?值的符号是 .

3.下列两积分的大小关系是:

(1)

120

d x x ?

130

d x x ?; (2)2

1ln d x x ?

221

ln d x x ?; (3)1

0d x e x ?

10

(1)d x x +?

.

三、解答题

1.利用定积分定义计算由抛物线

21,y x =+两直线,()x a x b b a ==>及横轴所围成的图形的面积.

2.利用定积分的几何意义,画图说明下列等式: (1)

10

2d 1x x =?

. (2)sin d 0x x π

π

-=?.

3.估计积分

2

02

d x

x

e x -?

的值.

4.利用积分中值定理证明:

120

lim d 01n

n x x x

→∞

=+?

.

§5.3 微积分基本公式

阶段练习题(A)

一、选择题

1.设

()f x 连续,则()d x

a

f t t ?是( ).

(A)

()f x '的一个原函数; (B)()f x '的原函数一般表达式;

(C)

()f x 的一个原函数; (D)()f x 的原函数一般表达式.

2.

d arctan d d b

a

x x x ?=( ).

(A)arctan x ; (B)

2

11x + ; (C)arctan arctan b a -; (D)0.

3.设

30

(1)(2)d x

y t t t

=--?,则

d d x y x

==( ).

(A)2 ; (B)-2 ; (C)-5 ; (D)5 .

4.已知

(23)d 2a x x x -=?

, 则a =( ).

(A)1 ; (B)-1 ; (C)2 ; (D)0.

二、填空题

1.

30

cos d x

y t t =?在x π

= 处的导数值为 . 2.

设

()F x t =?

,则()F x '= .

3.

120

?

= . 4.

10

1d 1x

x x

-+?

= .

三、解答题

1.设

0sin d x y t t =?,求(0),().4

y y π''

2.计算下列各导数:

(1)0

d d x t x ?

; (2)32

d d x x x ?.

3.计算下列各定积分:

(1)

2

2

41

1

()d x x x

+?

;

(2)

2

2

d x a x +?

; (3)

240

tan d π

θθ

?

.

4.求下列极限:

(1)2

cos d lim

x x t t x

→?

; (2)20

2

lim

x x t x →?.

5.设

()f t 在0t ≤≤+∞上连续,若220

()d (1)x f t t x x =+?

,求(2)f

6.设

1sin ,0,

()20,0,,

x x f x x x ππ?≤≤?=??<>?求0()()d x x f t t ?=?在(,)-∞+∞内的表达式.

§5.4 定积分的换元法和分部积分法

阶段练习题(A)

一、选择题

1.设0,a

>则d 1cos a

a x x

x

-=+?

( ).

(A)1; (B)0; (C)2a ; (D)34

a .

2.积分中积分值为零的是( ).

(A)

12d x x -?

; (B)11

sin d x x x -?

; (C)1

21

sin d x x x -?

; (D)1

21

cos d x x x -?.

3.积分

2

2

2

d x

e x --=?

( ).

(A)

4

222

d u

e u --?

; (B)22d t e t --?

; (C)2

2

2d x e x -?; (D)2

02

2d x e x --?

.

4.设

()f x 在[],a a -上连续,则()d a

a

f x x -?

恒等于( ).

(A)0

2

()d a f x x ?

; (B)0; (C)0

[()()]d a

f x f x x +-?; (D)0

[()()]d a

f x f x x --?.

二、填空题

1.

1221

d x

e

x x

=?

.

2.x =? .

3.

2522

(arctan cos )d x x x x π

π

-

+=?

.

三、解答题

1.计算下列定积分:

(1)

320

sin cos d π

????

;

(2)

1

(3)

134

?

(4)

22

d x π

π

-

?.

2.利用函数的奇偶性计算下列积分:

(1)

4

22

4cos d π

π

θθ-

?;

(2)

325425

sin d 21

x x

x x x -++?

.

3.证明:

110

(1)d (1)d m

n

n

m

x x x x x x -=-?

?. 4.证明:20

sin d 2sin d n

n x x x x ππ

=??.

5.计算下列定积分:

(1)

10

d x

xe x -?;

(2)

3

24

d sin x

x x

π

π

?

;

(3)

220

cos d x e x x π

?

;

(4)

1

sin (ln )d e x x ?

§5.5 反常积分

阶段练习题(A)

一、选择题

1.

1

+∞=?

( ).

(A)

0; (B)

2

π; (C)

4

π; (D)发散.

2.若反常积分

0d kx e x --∞

?

收敛,则必有( ).

(A)0k >; (B)0k ≥; (C)0k <; (D)0k ≤.

3.反常积分

2

2

d 2

x

x x +∞+-?

=( ).

(A)ln4; (B)

0; (C)1

ln 43

; (D)发散.

二、填空题

1.若反常积分

1d n

x

x +∞

?收敛,则自然数n . 2.若反常积分

10

d p

x

x ?

收敛,则必有p . 3.反常积分

1

d p x x +∞?

,当 时收敛.

三、解答题

1.判断下列各反常积分的收敛性,如果收敛,计算反常积分的值:

(1)

1+∞?

; (2)

d (0)ax

e x a +∞->?

;

(3)

1

?

; (4)

2

2

d (1)x x -?

§5.6 定积分的应用

阶段练习题(A)

一、选择题

1.由曲线

,,x x y e y e x e -===所围成的平面图形的面积A =( ).

(A)

()d e

e e x

x

e e e x ---? (B) 1(ln ln )d e

e e e y y y

--? (C)0()d e x x

e e x --? (D) 0()d e x x e e x --? 2.由曲线

1

,,2y y x x x

===所围成的平面图形的面积A =( ).

(A)

2

1

1()d x x x -?

; (B)211()d x x x -?; (C)22111(2)d (2)d y y y y -+-??; (D)22111

(2)d (2)d x x x x

-+-??.

3.由曲线

2,y x y ==( ).

(A)1; (B)

12; (C)13

; (D)14. 4.曲边梯形0(),0,x f y a y b ≤

≤≤≤≤绕y 轴旋转而成旋转体的体积为( ).

(A)

2()d b

a

f y y π?; (B)()d b

a

f y y π?; (C)()d b

a

yf y y π?; (D)2()d b

a

yf

y y π?.

二、填空题

1.由曲线

,x y e y e ==及y 轴所围成的平面图形的面积是 . 2.计算曲线

22y x =与4y x =-所围成的平面图形的面积时,选用 作变量较为简捷.

三、解答题 1.求在区间[0,

2]π上,曲线sin y x =与直线0x =、1y =所围图形的面积.

2.求由下列各曲线所围成的图形的面积

22y x =与228x y +=（两部分都要计算）.

3.求位于曲线

x y e =下方,该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.

4.求曲线

y =与直线

1x =、4x =、0y =所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转产生的立

体体积.

5.求由曲线

2(2cos )r a θ=+所围图形的面积.

§6.1 空间解析几何初步

阶段练习题(A)

一、选择题

1.点

(2,3,1)M -关于坐标原点的对称点为( ).

(A)(3,1,2)--; (B)(1,2,3)--; (C)(2,3,1)-; (D)(2,3,1)--.

2.已知三平面的方程分别为:123:5210

:32280:42490

x y z x y z x y z πππ-++=-++=+--=则必有( ).

(A)

1π与2π平行; (B)1π与2π垂直; (C)2π与3π垂直; (D)2π与3π平行. 3.过点

(2,3,5),M 且平行于平面532100x y z -+-=的平面是( )

(A)532110x y z ++-=; (B)532110x y z -++=;

(C)532110x y z -+-=; (D)532110x y z +++=.

二、填空题

1.

x 轴上与点(4,4,7)A -和点(1,8,6)B -等距离的点是 .

2.已知

(2,1,1),a =-r

若b r 与a r 平行,且3,a b ?=r r 则b =r .

3.设平面

:210,x y kz π+++=则k = 时,平面π垂直于平面

220.x y z -+++=

4.设平面

:210,x y kz π+++=则k = 时,平面π

到原点O 的距离为

1.3

三、解答题

1.求点

(5,3,4)M -到各坐标轴的距离.

2.方程

22224470x y z x y z ++-+--=表示什么曲面？

3.画出下列各方程所表示的曲面:

(1)22

2()()22a a x y -+=; (2)22194

x z +=;

(3)

20y z -=; (4)22z x =-.

4.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示图形:

(1)

2x =; (2)1y x =+;

(3)

224x y +=; (4)221x y -=.

5.指出下列各方程在空间解析几何中表示哪种曲面:(试画草图)

(1)

2220x y z +-=; (2)220x y -=; (3)220x y +=;

(4)

0y =; (5)2

430y y -+=; (6)

22

1916

x y +=; (7)2

2

19

y x -=; (8)24x y =; (9)2220z x y --=

6.指出下列各平面的特殊位置:

(1)

1x =; (2)320y -=;

(3)236

0x y --=; (4)0x =;

(5)

2y z +=; (6)20x z -=; (7)650x y z +-=.

7.画图下列各题

(1)

y 0, 0, 1, 2, z 4

x z x y =====

(2)

22

0,3,0,0 , 1

z z x y x x y

==-==+=,在第一卦限内.

(3)

222222

0,0,0,,

x y z x y R x z R

===+=+=,在第一卦限内.

6.2 多元函数定义、极限、连续

阶段练习题(A)

一、选择题

1.

设(,)ln(

f x y x

=(其中0

x y

>>),则(,)

f x y x y

+-=( ).

(A); (B)ln()

x y

-; (C)

1

(ln ln)

2

x y

-; (D)2ln()

x y

-.

2.二元函数的几何图象一般是( ).

(A)一条曲线; (B)一个曲面; (C)一个平面区域; (D)一个空间区域.

3.

函数

22

1

arcsin

z

x y

=

+( ).

(A)空集; (B)圆域; (C)圆周; (D)一个点.

4.

2

33

(,)(0,0)

lim

x y

xy

x y

→+

=( ).

(A)存在且等于0; (B)存在且等于1; (C)存在且等于1

-; (D)不存在.

5.函数

2

(,)sin()

f x y x y

=+在点(0,0)处( ).

(A)无定义; (B)无极限; (C)有极限,但不连续; (D)连续.

二、填空题

1.已知

2

(,)

f x y x y xy x

+-=+,则(,)_____________________

f x y=.

2.若

22

(,)tan

x

f x y x y xy

y

=+-,则(,)

f tx ty= .

3.

若()0)

y

f y

x

=>,则()

f x=________.

4.

函数z=___________. 5.函数arcsin

y

z

x

=的定义域是____________.

6.函数

2

2

2

2

y x

z

y x

+

=

-的间断点是________________.

7.极限

2

lim

cos sin

y

x

y

x e

y x

→

→

+

=

- . 8.

极限

x

y

→

→

= .

三、解答题

1.求下列极限:

(1)1y x y →→

; (2)00

x y →→;

(3)

22()lim ()x y x y x y e -+→+∞

→+∞

+.

2.证明

(,)(0,0)lim

x y x y

x y →+-不存在.

§6.3 多元函数偏导数、全微分

阶段练习题(A)

一、选择题

1.指出偏导数的正确表达( ).

(A)

,'(,)lim

x h k f a b →=0

(,0)

'(0,)lim

x x f x f x

→=; (C)

(0,)(0,)'(0,)lim

y y f y y f y f y y ?→+?-=?; (D)0(,)(,0)

'(,0)lim

x x f x y f x f x x

→-=.

2.设

1(,)()3y

x f x y -=则f

x

??=( ).

(A)2

1()3y x y

x

-?; (B)2

1()()ln33y x y x --; (C)2

1()ln33y

x y

x

-?; (D)1

1()3

y x y x ---.

3.设函数

()f x 在[-1,1]上连续,则

sin cos ()d x

y

f t t x ?=??( ).

(A)

(sin )(cos )f x f y -; (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y +; (C)

(sin )cos f x x ; (D)(cos )sin f y y .

4.

2

2,x y z

z y

+?==?则

( ). (A)

2

2ln 4x y y +?; (B)222()ln 4y x y +; (C)2

22()x y

y x y e ++; (D)

2

24x y

y +?.

5.函数

(.)z f x y =在点00(,)x y 处具有两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是函数存在全微分的( ).

(A)充分条件; (B)充要条件; (C)必要条件; (D)既不充分也不必要.

二、填空题

1.设

ln tan

x z y

=,则

z

x

?=?________;z y ?=?_________. 2.设arctan ,y

z x

=则22z x ?=?________;22z y ?=?_______;

2z x y ?=??____________. 3.若函数

y

z x

=

,当2,1x y ==,0.1,0.2x y ?=?=-时,函数的全增量z ?=_______;全微分d z =_______.

4.设

322y z x y x e =--,则d z = .

5.设(,

,)()z x

u x y z y

=,则()1,2,3d u = .

三 、解答题

1.求下列函数的偏导数:

(1)

(1)y z xy =+; (2)arctan()z u x y =-.

2.曲线224

4x y z y ?+=???=?

,在点(2,4,5)处的切线与正向

x 轴所成的倾角是多少?

3.设2

()3y z xy x

?=+,其中()u ?可导,证明22z z x y xy x y ??+=??.

4.设ln()z x xy =,求32z

x y ???和

32

z x y ???.

5.验证:

11()x y

z e

-+=,满足

2

22z z x y z x y

??+=??. 6.4 复合函数的偏导数

阶段练习题(A)

一、选择题:

1.设222(),u f x y z =+-则

u

x

?=?( ). (A)2'xf ; (B)2u

x

f

??; (C)

2222()f x

x y z ??+-; (D)2222()

u

x x y z ??+-.

2.二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是( ).

(A)

0x f =且0y f =; (B)xy f 连续; (C)yx f 连续; (D)xy f 与yx f 都连续.

3.设

,yx z x =则

z

x

?=?( ). (A)

1x y x y x -; (B)1[ln ln ]x y x y x +; (C)1

[ln ln ]x y x y x x y x

+; (D)()ln 1y x yx x +.

4.设

,x z y =则(2,1)

(

)z z

x y ??+=??( ). (A)

0; (B)1; (C)1ln2+; (D)2.

5.设arctan ,y

u x

=则2222u u x y ??+=??( ).

(A)

222

4()xy

x y +; (B)

222

4()xy x y -+; (C)

0; (D)

222

2()xy x y +.

二、填空题:

1.设

3

sin 2t t z e

-=,则d d z t

=________________.

2.设ln u x xy =,则2u

x y

?=?? .

3.设arctan 1x y u xy +=-,则2u x y ?=?? .

4.函数()y y x =由21y x y e +=所确定,则d d y

x

= .

5.设函数

(,)z z x y =由方程2xy z x y z =++所确定,则

z

y

?=? . 6.设

x z

z y =,则

z

x

?=?_________________________,z y ?=?___________________________. 三、解答题

1.设

2x y z e -=,而3sin ,x t y t ==,求

d d z

t

. 2.设

22()xy z x y =+,求

,z z x y

????.

3.设

arctan(),x z xy y e ==,求

d d z x

.

4.求下列函数的一阶偏导数(其中

f

具有一阶连续偏导数):

(1)22(,)u f x y xy =-; (2) (,);x y u

f y z

=

(3)(,,)u f x xy xyz =;

5.设

22()

y

z f x y =

-,其中f

为可导函数,验证:

2

11z z z

x x y y y

??+=??.

6.求下列函数的22222

,,

z z z

x y x y ???????(其中

f

具有二阶连续偏导数)

2(,)y

z f x y x

=.

7.设

222()z

x y z yf y

++=,其中f

可导,求

,z z x y

????.

8.设(,)u v Φ具连续偏导数,证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定的隐函数(,)z f x y =满足

z z

a

b c x y

??+=??. 9.设3

20z xz y -+=,求2222

,z z

x y ????. §6.5 多元函数的极值

阶段练习题(A)

一、选择题

1.设函数

(,)z z x y =是旋转双叶双曲面2221x y z --+=的0z >部分,则点()0,0是函数z 的( ).

(A)极大值点但非最大值点; (B)极大值点且是最大值点;

(C)极小值点但非最小值点; (D)极小值点且是最小值点.

2.设函数

2223,z x y =-则( ).

(A)函数

z 在点()0,0处取得极大值; (B)函数z 在点()0,0处取得极小值;

(C)点

()0,0非函数z 的极值点; (D)点()0,0是函数z 的最大值点或最小值点,但不是极值点.

3.设函数

1z =则点(0,0)是函数

z 的( ).

(A)极大值点但非最大值点; (B)极大值点且是最大值点;

(C)极小值点但非最小值点; (D)极小值点且是最小值点.

二、填空题

1.函数

2223461z x y x y =----的驻点是 .

2.设函数

(,)z z x y =由方程222232614640x y z xy x y z -++--++=确定,则函数z 的驻点是 .

3.函数

22(,)(6)(4)f x y x x y y =--在_______点取得极_________值为___________.

4.二元函数的极值只可能在 和 处取得.

5.若函数

(,)z f x y =在点00(,)x y 处具有偏导数,且在该点00(,)x y 处有极值,则有

00(,)x f x y = ,00(,)y f x y = .

三、解答题

1.求函数

(,)()f x y xy a x y =--的极值.

2.求由2

2264312630x y z x z ++-+-=确定的函数(,)z f x y =的极值.

3.求函数

sin cos cos()z x y x y =++-在闭区域0,02

2

D x y π

π

≤≤≤≤

：

上的极值.

§6.6 二重积分的概念与性质

阶段练习题(A)

一、选择题

1.

(,)z f x y =在有界闭区域D

上连续是二重积分

(,)d d D

f x y x y ??存在的( ).

(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D) 无关条件. 2.2232231

2()d d ()d d D

D

I x y x y I x y x y =+=+????与,其中1{(,)|11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤又

2{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤则由重积分的几何意义有下列答案成立:( ).

(A)12I I =; (B)122I I =; (C)124I I =; (D) 122I I =.

3.31

()d d D

I x y x y =+??与72()d d D

I x y x y =+??,其中D

是由

x 轴、y 轴与直线1x y +=所围成,则12,I I 大小

关系为: ( ). (A)1

2I I =; (B)12I I >; (C)12I I <; (D)无法判断.

4.1

ln()d d D

I x y x y =+??与32ln ()d d D

I x y x y =+??,其中D

是三角形闭区域,顶点分别(1,0)(1,1)(e,0)则

12,I I 大小关系为: ( ). (A)1

2I I =; (B)12I I >; (C)12I I <; (D) 无法判断.

二、填空题

1.用直线

,(,0,1,2,1,)i j

x y i j n n n n

===-L 把矩形D:01,01x y ≤≤≤≤分割成一系列小正方形,则二重

积分

(,)d D

f x y σ?? .(积分和式形式)

2.设积分区域D 的面积为S,则

2d D

σ?? ,2

2

2

d x y a

σ+≤=??

.

3.若

(,)f x y 在有界闭区域D

上可积,且

12D D D ??,当(,)0f x y ≥时,则

1

(,)d D f x y σ??______(<,>)2

(,)d D f x y σ??;当(,)0f x y ≤时, 1

(,)d D f x y σ?? (<,>)2

(,)d D f x y σ??.

4.设

D

是圆形区域:

221x y +≤,由几何意义D

σ= .

三、解答题

1.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值:

(1)

D σ

,其中

D 为

222x y a +≤.

(2)

(D

b σ

??,其中D

为

222,0x y a b a +≤>>.

2.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:

(1)

2()d D

x y σ+??与3()d D

x y σ+??,其中D 为2

2(2)

(2)1x y -+-≤.

(2)

ln()d D

x y σ+??与2

[ln()]d D

x y σ+??,其中D 是矩形区域:35,01x y ≤≤≤≤. (3)ln()d D

x y σ

+??与

d D

xy σ

??,其中

D

是由直线

1

0,0,,12

x y x y x y ==+=

+=所围成. 3.利用二重积分的性质估计下列积分的值:

(1)

2

2(4+9)d D x

y σ

+??,其中

22={(,)4}D x y x y +≤.

(2)

2

2()d D

x xy x

y σ+--??,其中

={(,)01,02}D x y x y ≤≤≤≤.

4.设

(,)f x y 为一连续函数,试证:2

2

2

2

1

lim

(,)d d (0,0)x y f x y x y f ρρ

πρ→+≤=??

.

§6.7 二重积分的计算法(直角坐标系)

阶段练习题(A)

一、选择题

1.

110

d (,)d x x f x y y -??

=( ).

(A)

11

d (,)d x y f x y x -?

?; (B)1

100

d (,)d x y f x y x -??

; (C)110

d (,)d y f x y x ??; (D)110

d (,)d y y f x y x -??

.

2.若区域为

2:||2,0D x y x ≤≤≤;则二重积分2d d D

xy x y ??的值为( ).

(A)

0; (B)

323; (C)643

; (D)256. 3.设

(,)f x y 是连续函数,交换二次积分ln 1

d (,)d e

x x f x y y ??

积分次序的结果为( ).

(A)

ln 1

d (,)d

e x y

f x y x ?

?

; (B)1

0d (,)d y e e

y f x y x ??; (C)ln 0

1

d (,)d x

e y

f x y x ?

?; (D)10

d (,)d y e

e

y f x y x ??.

4.设

(,)f x y 是连续函数,交换二次积分21

2

200

1

d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y -+??

??

积分次序的结果为( ).

(A)

12200

1

d (,)d d (,)d y y y f x y x y f x y x -+????

; (B)2

1

220

1

d (,)d d (,)d x x y f x y x y f x y x -+??

??

;

(C)

120

d (,)d y y f x y x -?

; (D)2

120

d (,)d x x y f x y x -??

.

二、填空题

1.设积分区域

D 是

1, 1.0x y x y x +=-==所为三角形区域,则3sin d D

y σ=?? .

2.设积分区域

D

是|

|,01x y π≤≤≤,则(2)d D

xy σ+=?? .

3.交换积分的次序:

12330

1

d (,)d d (,)d y y y f x y x y f x y x -+=?

?

??

.

4.设积分区域D 是01,04x y ≤

≤≤≤,

则D

σ= .

5.设积分区域D 是0,02

x y π

π≤≤≤≤

,则

sin cos d d D

x y x y =?? .

6.

将二次积分

21

2d (,)d x

x f x y y -?

?

改换积分次序,应为_________________________.

三、解答题

1.

2

2()d D

x

y σ-??,其中

D 是闭区域:0sin ,0.y x x π≤≤≤≤

2.

d x y

D

e

σ

+??,其中

D 是由||||1x y +≤所确定的闭区域.

3*.计算

I

＝

2

2

2

2(2sin 34)d x y a

x x y σ

+≤-++??

.

4*.计算

I

=

d D

x y ,其中D

是由直线

y x =,0y =,2

x π

=

所围成.

5.计算

2

2

d D

x y σ??

.其中

D

由

1

,,2y x y x x

===围成.

6.设平面薄片所占的闭区域

D

由直线

2,x y +=y x =和x 轴所围成,它的面密度22(,)x y x y ρ=+,求该 薄片的质量 .

7.求由曲面

222z x y =+及2262z x y =--,所围成的立体的体积 .

§6.8 二重积分的计算法(极坐标系)

阶段练习题(A)

一、选择题

1.设

(,)f x y 在 D:22(1)1y x +-≤是连续函数,二重积分(,)d d D

f x y x y ??化二次积分的结果为( ).

(A)

2cos 0

d (,)d F r r π

θθθ??

;

(B)

2cos 0

d (,)d F r r π

θπ

θθ-

??

;

(C)

2cos 20

2

d (,)d F r r π

θπ

θθ-

?

?

;

(D)2cos 2

2

d (,)d F r r π

θθθ?

?

.

其中

(,)(cos ,sin )F r f r r r θθθ=.

2.若区域D 为

222y x x +≤,则二重积分(d D

x y x y +??化二次积分的结果为( ).

(A)

2cos 20

2

d (cos sin d r π

θπθθθ-

+?

?

; (B)2cos 30

(cos sin )d d r r πθθθθ+??

;

(C)2cos 3

20

2

(cos sin )d d r r πθθθθ+?

?; (D)2cos 320

2

(cos sin )d d r r π

θπθθθ-

+?

?

.

3.设

(,)f x y 在 D:221y x +≤是连续函数,二重积分d D

f x y ??化二次积分的结果为( ).

(A)10

2

()d rf r r π?; (B)10

4()d rf r r π?; (C)120

2()d rf r r π?; (D)1

20

4()d r f r r π?.

4.设

22()d d D

I x y x y =+??,其中D

由

222x y a +=所围成,则I

=( ).

(A)

2240

d d a

a r r a πθπ=?

?; (B)2240

01

d d 2

a r r r a πθπ?=?

?;

(C)

2230

02

d d 3

a r r a πθπ=?

?; (D)22400d d 2a a a r a πθπ?=??.

5.设

(,)f x y 在 D:01,01y x x ≤≤-≤≤是连续函数,将积分(,)d d D

f x y x y ??化为极坐标下二次积分的结果为( ).

(A)

/2

10

d (,)d F r r πθθ??; (B)/2

cos sin 0

d (,)d F r r πθθθθ+?

?

;

(C)

1

/2cos sin 0

d (,)d F r r πθθθθ+?

?

; (D)/2

1cos 0

d (,)d F r r πθθθ-?

?

.其中(,)(cos ,sin )F r f r r r θθθ=.

二、填空题

1.

(cos ,sin )d d D

f r r r r θθθ??= .(极点在区域外面)

2.

(cos ,sin )d d D

f r r r r θθθ??= .(极点在区域边界上)

3.

(cos ,sin )d d D

f r r r r θθθ??= .(极点在区域内部)

4.

将

20

d x

x f y ?

?

化为极坐标形式的二次积分为______________________.

三、解答题

1.利用极坐标计算下列二重积分:

(1)

2

2

d x y D

e σ

+??,其中

D

是由

229x y +=所围成的闭区域;

(2)

2

2()d D x

y σ

+??,其中

D

是由

222x y ax +=与x 轴所围成的上半部分闭区域;

(3)

2

2ln(1)d D

x y σ

++??,其中

D

是由圆周

224x y +=与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;

(4)

D

σ

??,其中

D

是由

222x y π+=,2224x y π+=,y x =,2y x =所围成的在第一象限内的闭区域.

2.选用适当的坐标计算下列各题:

(1)

12

2

2

()d D

x

y σ

-+??,其中

D

是由

2y x =与y x =所围成的闭区域;

(2)

22d D

x y

x y σ++??,其中

D :221x y +≤,1x y +≥;

(3)

D

σ,其中D

是由圆周

221x y +=与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;

(4)

32222

d ()

D

a x y σ++??

,其中

D :0x a ≤≤,0y a ≤≤

8.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

阶段练习题(A)

一、选择题

1.下列所给方程中,不是微分方程的是( ) ． (A)

2xy y '=; (B)222x y C +=; (C)0y y ''+=; (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．

2.微分方程4

(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．

(A)1; (B)2; (C)3; (D)4;

3.下列所给的函数,是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．

(A)

1cos y C x =;

(B)

2sin y C x =; (C)cos sin y x C x =+;

(D)

12cos sin y C x C x =+.

4.下列微分方程中,可分离变量的方程是( )． (A)

x y y e +'=; (B)

xy y x '+=; (C)10y xy '--=; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．

5.下列微分方程中,是齐次方程是微分方程的是( )． (A)

x y y e +'=;

(B)

2xy y x '+=; (C)0y xy x '--=;

(D)()d ()d 0x y x x y y -

++=．

二、填空题 1.函数

25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．

2.微分方程

3d d 0,4x x y y y x

=+==的解是 ．

3.微分方程2

3550x x y '+-=的通解是 ． 4.微分方程ln 0xy y y '-=的通解是

．

三、解答题

1.求下列微分方程的通解:

(1)

22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=; (2)0xydx =; (3)

y xdy dx e dx +=; (4)tan 1dy

x y dx =+; (5)

sin

sin 22

x y x y

y +-'+=; (6)

d ln d y y x

y x x

=; (7)(cos )cos 0y y

x y dx x dy x x

+

-=;

2.设函数

2(1)()y x u x =+是方程32

(1)1y y x x

'-

=++的通解,求()u x .

§8.2 一阶线性微分方程

阶段练习题(A)

一、选择题

1.下列所给方程中,是一阶线性微分方程的是( ).

(A)2d 3(ln )d y y x y x x

+=;

(B)5

2d 2(1)d 1

y y x x x -=++

(C)

2d ()d y

x y x

=+; (D)()d ()d 0x y x x y y -++=.

2.方程

xy y '=是( )．

(A)齐次方程; (B)一阶线性方程; (C)伯努利方程; (D)可分离变量方程. 二、填空题

1.微分方程

d d x y

y e x

-+=的通解为 ． 2.微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 三、简答题

1.求下列微分方程的通解:

(1)

212dy y x dx x -=; (2)3(2)2(2)dy

x y x dx

-=+-; (3)2

(6)

20dy

y x y dx

-+=; (4)(1)y ydx y xdy e dy ++= ; (5)

()()()y f x y f x f x '''+=; (6)433ln 0xy y xy x '--=;

(7)

411

(12)33

dy y x y dx +=-; (8)设连续函数

()y x 满足方程0()()x

x y x y t dt e =+?,求()y x .

§8.3 可降阶的高阶微分方程

阶段练习题(A)

一、选择题 1.方程

sin y x '''=的通解是( ).

(A)

21231

cos 2

y x C x C x C =+++;

(B)

1cos y x C =+;