解析几何大题带答案
三、解答题
26.（江苏18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆1
242
2=+y x 的顶点，
过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足
为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k （1）当直线PA 平分线段MN ，求k 的值； （2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ； （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分. 解：（1）由题设知，),2,0(),0,2(,2,2--=
=N M b a 故所以线段MN 中点的坐标为
)
22
,1(-
-，由于直线PA 平分线段MN ，故直线PA 过线段MN 的中点，又直线PA 过
坐标
原点，所以
.22122
=--
=
k （2）直线PA 的方程2221,
42x y y x =+=代入椭圆方程得 解得
).
34
,32(),34,32(,32--±=A P x 因此 于是),
0,32(C 直线AC 的斜率为.032,1323234
0=--=++
y x AB 的方程为故直线
.
32
21
1|
32
3432|,21=+--=d 因此
（3）解法一：
将直线PA 的方程kx y =代入
22221,421212x y x k k
μ+==++解得记
则)0,(),,(),,(μμμμμC k A k P 于是--
故直线AB 的斜率为,20k
k =++μ
μμ 其方程为
,0)23(2)2(),(222222=+--+-=
k x k x k x k
y μμμ代入椭圆方程得
解得
223
2
2
2(32)
(32)(
,
)
222k k k x x B k k k μμμμ++=
=-+++或因此.
于是直线PB 的斜率
.1)
2(23)
2(2)23(22
2232
22
3
1k k k k k k k k k
k k k -=+-++-=
++-+=
μμμ
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 解法二：
设)0,(),,(,,0,0),,(),,(11121212211x C y x A x x x x y x B y x P --≠>>则.
设直线PB ，AB 的斜率分别为21,k k 因为C 在直线AB 上，所以
.
2
2)()(0111112k
x y x x y k ==---=
从而
1
)
()
(212112*********+----?--?
=+=+x x y y x x y y k k k k
.044)2(1222
1
222122222221222122=--=-+=+--=x x x x y x x x y y
因此.,11PB PA k k ⊥-=所以 28.
（北京理19）
已知椭圆2
2:14x G y +=.过点（m,0）作圆
22
1x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
（II ）将
AB
表示为m 的函数，并求
AB
的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a
所以
.
322--=b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-
离心率为
.23==
a c e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23
,1(),23,
1(-
此时3||=
AB
当m=－1时，同理可得3||=
AB
当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=
由0448)41(.14),
(222222
2
=-+-+?????=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则
2222122214144,418k m k x x k m
k x x +-=
+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]
41)
44(4)41(64)[1(2222242
k m k k m k k +--++=2
.3
||342
+=
m m
由于当3±=m 时，,3||=AB
所以
),1[]1,(,3
|
|34||2
+∞--∞∈+=
m m m AB .
因为
,
2|
|3
||343
|
|34||2
≤+
=+=
m m m m AB
且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2. 32.（湖南理21）
如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，x 轴被曲线2
2:C y x b =-截得的
线段长等于C1的长半轴长。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y 轴的焦点为M ，过坐标原点O 的
直线l 与C2相交于点A,B,直线MA,MB 分别与C1相交与D,E ． （i ）证明：MD ⊥ME;
（ii ）记△MAB,△MDE 的面积分别是
12
,S S ．问：
是否存在直线l,使得12
1732S S =?请说明理由。
解 ：（Ⅰ）由题意知
.1,2,2,2,23
======
b a a b b a a
c e 解得又从而
故C1，C2的方程分别为.
1,14222
-==+x y y x
（Ⅱ）（i ）由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.
由?????-==12x y kx
y 得
12=--kx x .
设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是上述方程的两个实根，于是
.1,2121-==+x x k x x
又点M 的坐标为（0，—1），所以
2
121212
212122111)()1)(1(11x x x x k x x k x x kx kx x y x y k k MB
MA +++=
++=+?+=?
.
11
1
22-=-++-=
k k
故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME.
（ii ）设直线MA 的斜率为k1，则直线MA 的方程为?????-=-=-=1,
1,12
11x y x k y x k y 由解得
???-==???-==1,10
2
1k y k x y x 或
则点A 的坐标为)1,(2
11-k k .
又直线MB 的斜率为
11
k -，
同理可得点B 的坐标为
).11,1(2
11--
k k
于是
211111111|||||||22||
k S MA MB k k k +=?=-=
由?????=-+-=044,1221y x x k y 得.08)41(1221=-+x k x k
解得1212
1218,140,141
14k x k x y k y k ?
=?+=????=--??=?+?或
则点D 的坐标为
2112211841(,).1414k k k k -++
又直线ME 的斜率为k 1-，同理可得点E 的坐标为).44,48(2
121211k k k k +-+- 于是
)4)(1(||)1(32||||21
2
1211212++?+=?=k k k k ME MD S . 因此211221
14
(417).64S k S k =++
由题意知，
2221112114171
(417),4,.64324k k k k ++===解得或
又由点A 、B 的坐标可知，
21211111
113
,.
12k k k k k k k k -
==-=±+所以
故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为.2323x y x y -==
和
34.（全国大纲理21）
已知O 为坐标原点，F 为椭圆2
2
:1
2y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的
直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 解：
（I ）F （0，1），l 的方程为21y x =-+，
代入2
2
1
2y x +=并化简得
242210.x x --=
…………2分 设
112233(,),(,),(,),A x y B x y P x y
则
122626
x x -+=
=
1212122
2()21,2x x y y x x +=
+=++=
由题意得
3123122
()() 1.x x x y y y =-+==-+=-
所以点P
的坐标为
(,1).2-
- 经验证，点P
的坐标为
(1)-满足方程
2
2
1,
2y x +=故点P 在椭圆C 上。
…………6分
（II
）由
(1)2P -
-和题设知，
2Q
PQ 的垂直平分线1l
的方程为
.2y x =-
①
设AB 的中点为M
，则
1)
42M ，AB 的垂直平分线为2l 的方程为
1.24y x =
+
②
由①、②得
12
,l l
的交点为
1
()8N 。
…………9分
21||||||2
||4
||||8
NP AB x x AM MN NA ===-==
====
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心，NA 为半径的圆上 …………12分
36.（山东理22）