中考数学压轴题-二次函数动点问题(一)

二次函数压轴题

1. 如图：抛物线经过A (-3 , 0)、B (0, 4)、C (4 , 0)三点.

(1)求抛物线的解析式?

(2)已知AD = AB ( D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度

的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ 被BD垂直平分，求t的值；

(3 )在(2 )的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点

存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

2. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，

1

OB = OC ，tan ZACO =—.

3

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点

A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说

明理由.

(3)如图10 ,若点G (2 , y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点, 当点

P运动到什么位置时，△ APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△ APG的最大面积.

3. 如图，已知抛物线与x轴交于A (- 1 , 0)、B (3 , 0)两点, 轴交

于点C (0, 3 )。

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点使

得APDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标

4. 已知：抛物线y = ax2+ bx + c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长(OBvOC)是方程x2—10x + 16 = 0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x二—2.

(1 )求A、B、C三点的坐标；

(2 )求此抛物线的表达式；

(3 )求△ABC的面积；

(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF//AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m，△:EF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△ BCE的形状；若不存在，请说明理由.

5. 已知抛物线y ax2 2ax b与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C.

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点C在以AB为直径的。P上时，求抛物线的解析式;

6、如图，已知抛物线y 2

x bx c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B,且OA=OB.

(1)求b+ c的值;

(2)若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式

;

⑶坐标平面内是否存在点

是平行四边形？若存在,

仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式 8、如图a ，在平面直角坐标系中，A(0, 6), B(4 , 0).

(1) 按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中心，按比例尺1:2，将△KOB 缩小，得到△

DOC ,使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D 的坐标为 _________ ,

点B 的对应点C 的坐标为 _______ ;

(2) 已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式，并画出大致图象；

(3) 连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从 点B 向

点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过 t 秒，当t 为何

值时，△ BPQ 是等腰三角形？

y|

A 6 ■

备用图

1

7、如图，已知抛物线 y = ax 2+bx + c (a^O )

9

D (I , - 2). C ,顶点 (1) 求抛物线对应的函数关系式;

(2) 求四边形ACDB 的面积;

(3) 若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴

.]

与y 轴相交于点

O ? 4 x

9、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线y - x2 x k的图象与y轴相交于

4

点B（0，1），点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的。M恰好经过顶点A .

（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴I 上运动，

试探索：①当S1V S v S2时，求t的取值范围

（其中：S为APAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；

②当t取何值时，点P在。M上?（写出t的值即可）

10 如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y = ax2+ bx （a> 0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO = BO = 2，Z AOB = 120

(1) 求这条抛物线的表达式；

(2) 连结0M，求/AOM的大小；

(3) 如果点C在x轴上，且△ ABC与MOM相似，求点C的坐标.

11 如图1，已知抛物线y -x2丄(b 1)x b( b是实数且b> 2)与x轴的正半轴分别交于点A、

4 4 4

B (点A位于点B是左侧)，与y轴的正半轴交于点C.

(1 )点B的坐标为 _______ 点C的坐标为____________ (用含b的代数式表示)；

(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b，且APBC是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得

△QCO、MOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

P

12 如图1，已知抛物线的方程C1: y 丄(x 2)(x m) (m > 0)与x轴交于点B、C,与y轴交m

于点E,且点B在点C的左侧.

(1 )若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；

(2 )在(1)的条件下，求△ BCE的面积；

(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH + EH最小，求出点H的坐标；

(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似? 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

13 .如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点0 ( 0, 0 )、A ( 2, 0)、B ( 6, 3)

(1 )直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线0A、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛

物线于点01、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1 ?设梯形O1A1B1C1的面积为S, A1、B1的坐

标分别为(X1, y“、(X2, y2).用含S的代数式表示X2 —X1,并求出当S=36时点A1的坐标；

(3)在图1中，设点D的坐标为(1 , 3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动?设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

14.如图1，抛物线经过点A(4 , 0)、B (1 , 0)、C (0 , —2)三点.

(1 )求此抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上的一个动点，过P作PM丄x轴，垂足为M，是否存在点P,使得以A、P、M为

顶点的三角形与厶OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得A DCA的面积最大，求出点D的坐标.

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