最全大学高等数学函数、极限和连续
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数: ?
??∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x
y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A
y
n
n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若{}
n y 的极限存在
?{}n y 必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
∞→x 时，)(x f 的极限：
A
x f A x f A x f x x x =????
?==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim
⑵当
0x x →时，)(x f 的极限：
A x f x x =→)(lim 0
左极限：
A
x f x x =-→)(lim 0
右极限：A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
A
x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
+∞
=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
,,
,
∞→+∞→-∞→x x x 00
0,,x x x x x x →→→+-
2．
无穷小量：
)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim 0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f 4．
无穷小量的比较：
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若c =α
βlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若∞=α
βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
；，2211~~βαβα
则：
2
12
1
lim
lim
ββαα=
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：
n
n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且： a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则： a x n n =∞
→lim
2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域的一切点 （点x 0除外）有：
)
()()(x h x f x g ≤≤
且：
A
x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则：
A
x
f
x
x
=→
)
(
lim
㈣极限的运算规则
若：
B
x
v
A
x
u=
=)
(
lim
,
)
(
lim
则：①
B
A
x
v
x
u
x
v
x
u±
=
±
=
±)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
②
B
A
x
v
x
u
x
v
x
u?
=
?
=
?)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
③B
A
x
v
x
u
x
v
x
u
=
=
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim)0
)
(
(lim≠
x
v
推论：①
)]
(
)
(
)
(
lim[
2
1
x
u
x
u
x
u
n
±
±
±
)
(
lim
)
(
lim
)
(
lim
2
1
x
u
x
u
x
u
n
±
±
±
=
②
)
(
lim
)]
(
lim[x
u
c
x
u
c?
=
?
③
n
n x
u
x
u)]
(
[lim
)]
(
lim[=
㈤两个重要极限
1．
1
sin
lim
=
→x
x
x或
1
)
(
)
(
sin
lim
)
(
=
→x
x
x?
?
?
2．
e
x
x
x
=
+
∞
→
)
1
1(
lim e
x x
x
=
+
→
1
)
1(
lim
§1.3 连续
一、主要容㈠函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域有定义，
1
o
0)]()([lim lim 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x
2o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续：
)
()(lim 00
x f x f x x =-→
右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件：
定理：)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==?=+-→→→
4. 函数在[]b a ,上连续：
)(x f 在
[]
b a ,上每一点都连续。
在端点
a 和
b 连续是指：
)()(lim a f x f a
x =+→ 左端点右连续；
)()(lim b f x f b
x =-→ 右端点左连续。
a
0 b x 5. 函数的间断点：
若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：
1o
)(x f 在
x 处无定义；
2o )
(lim 0
x f x x →不存在；
3o
)(x f 在
x 处有定义，且
)
(lim 0
x f x x →存在，
但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→都存在。
可去间断点：
)
(lim 0
x f x x →存在，但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→，或
)(x f
在
0x 处无定义。
2o 第二类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(lim 0
x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在
0x 处连续的性质
1. 连续函数的四则运算：
设
)()(lim 00
x f x f x x =→，
)
()(lim 00
x g x g x x =→
1o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ?=?→
3o )
()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
??
? ??≠→0)(lim 0x g x x
2.
复合函数的连续性：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
)]
([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ????==→→
则：)]
([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x x ???==→→
3.
反函数的连续性：
)(),
(),
(001
x f y x f x x f y ===-
)
()(lim )()(lim 01
1
00
y f y f x f x f y y x x --→→=?=
㈢函数在
],[b a 上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。
f(x) f(x)
0 a b x
2. 有界定理：
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定有界。 3.介值定理：
)(x f 在],[b a 上连续?在),(b a 至少存在一点
ξ，使得：c f =)(ξ，
其中：
M
c m ≤≤
x
x
推论：
)(x f 在
]
,[b a 上连续，且
)(a f 与)(b f 异号
?
在
),(b a 至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间都是连续的。 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要容 ㈠导数的概念
1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域有定义，
x x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：
)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在
其可导，且极限存在；
则：
)
(lim )(0
0x f x f x x '='-→-
（或：
)(lim )(0
0x f x f x x '='+→+）
3.函数可导的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
)(00
x f y x x '='
=存在)()(00x f x f +-'='?，
且存在。
5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 处处可导。 y )(0x f '
6.导数的几何性质：
y ?
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ?
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算： 1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '?+?'='?)（
3o
2v v u v u v u '?-?'='
??
?
?? )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
dx
du du dy dx dy ?=，或 )()]([})]([{x x f x f ???'?'=' ☆注意})]([{'x f ?与)]([x f ?'的区别：
})]([{'x f ?表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ?'表示复合函数对中间变量)(x ?求导。
4.高阶导数：
)(),(),
()3(x f x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
( ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。
㈢微分的概念 1.微分：
)(x f 在x 的某个邻域有定义，
)()(x o x x A y ?+??=?
其中：
)(x A 与x ?无关，)(x o ?是比x ?较高
阶的无穷小量，即：0
)(lim 0=??→?x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ?=)(
dx x A dy )(= )0(→?x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ?在x 处可导，
且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du
u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的
微分
dy 都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要容 ㈠中值定理
1.罗尔定理:
)(x f 满足条件:
.0)(,),().()(3;),(2],[10.0.
0.='???
?
??=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少在内可导在上连续；在
o
2.
a
b a f b f f b a b a b a --=
'????)
()()(),(),(2],[10
ξξ，使得：在一点内至少存
在内可导；在上连续，在
㈡罗必塔法则：（∞
∞
,
型未定式） 定理：
)(x f 和)(x g 满足条件：
1o
）或）
或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f a
x a
x ；
2o 在点a 的某个邻域可导，且
0)(≠'x g ；
3o
）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x
则：）
（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x
☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o 若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是
型或
∞∞型时，不可求导。
3o 应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。
4o 若
)(x f '和)(x g '还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
）（或∞=''''=''=∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )
()(lim )()(lim )()(lim )()()(
5o 若函数是
∞-∞∞?,0型可采用代数变
形，化成
或∞
∞型；若是
0,0,1∞
∞型可
采用对数或指数变形，化成
或∞
∞型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
),(),
(00y x M x f y =
切线方程：
))((000x x x f y y -'=-
法线方程：)0)((),()
(1
0000≠'-'-=-x f x x x f y y 2． 曲线的单调性： ⑴
),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ?
),(0)(b a x x f ∈≤'内单调减少；在),()(b a x f ?
⑵
),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ?
),(0)(b a x x f ∈<'内严格单调减少。在),(b a ?
3.函数的极值： ⑴极值的定义：
设
)(x f 在),(b a 有定义，0x 是),(b a 的一点；
若对于
x 的某个邻域的任意点
x x ≠，都有：
)]
()()[()(00x f x f x f x f ≤≥或
则称
)(0x f 是)
(x f 的一个极大值（或极小值），
称0x 为)
(x f 的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
0)()(.2)()(.1000
00
=??
??
'x f x f x f x f 存在。存在极值
x 称为
)
(x f 的驻点
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在0000
000
00
)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ?
??
???
''='
当x 渐增通过0x 时，)(x f 由（+）变（-）；
则
)
(0x f 为极大值；
当
x
渐增通过
x 时，
)(x f 由（-）变（+）
；则)(0x f 为极小值。
定理二：
是极值点。是极值；存在。；0000
00
)()(.20)(.1x x f x f x f ??
??''='
若
0)(0<''x f ，则
)(0x f 为极大值；
若0
)(0>''x f ，则)
(0x f 为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。
4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
()b a x x f ,,0)(∈>''；则)(x f 在),(b a 是上凹的（或凹的）
，（∪）；
⑵若
()b a x x f ,,0)(∈<''；则)(x f 在),(b a 是下凹的（或凸的），（∩）；
⑶
()的拐点。
为称时变号。过，)()(,)(.20)(.10000
00
x f x f x x x f x f ????
''=''
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
的水平渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f A y A x f A x f x x =??????==+∞→-∞
→
⑵铅直渐近线：
的铅直渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f C x x f x f C x C
x =??????∞=∞=+-→→
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分 一、主要容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：
D
x
x
F
x
f∈
),
(
),
(
若：
)
(
)
(x
f
x
F=
'
则称
)
(x
F
是
)
(x
f
的一个原函数，
并称
C
x
F+)
(
是
)
(x
f
的所有原函数,
其中C是任意常数。2．不定积分：
函数
)
(x
f
的所有原函数的全体，
称为函数
)
(x
f
的不定积分；记作：
?+
=C
x
F
dx
x
f)
(
)
(
其中：
)
(x
f
称为被积函数；
dx
x
f)
(
称为被积表达式；x
称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴[
])(
)
(x
f
dx
x
f=
'
?或：
[]dx x f
dx
x
f
d)
(
)
(=
?
⑵
C
x
f
dx
x
f+
=
'
?)(
)
(
或：
C
x
f
x
df+
=
?)(
)
(
⑶
?+++dx x f x f x f n
)]()()([2
1
???+++=dx x f
dx x f dx x f n
)()()(21
—分项积分法
⑷
??=dx
x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)
4.基本积分公式：
㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
?
'dx x x f )()]([????
=)
()]([x d x f ??凑微元
C
t F dt t f x t +==??
=)()()
(?令
C
x F x t +=?
=)]([)
(??回代
常用的凑微元函数有：
1o
)(1
)(1b ax d a
ax d a dx +== )
0,(≠a b a 为常数，
2o
)
()
1(1111
1b ax d m a dx m dx x m m m
++=+=++
为常数）（m
3o
)
(1)(b ae d a
e d dx e x
x
x
+==
)1,0(),(ln 1≠>=a a a d a
dx a x
x
4o
)(ln 1
x d dx x
= 5o
)(sin cos )(cos sin x d xdx x d dx =-=
)(cot csc )(tan sec 2
2x d xdx x d xdx -==
6o
)
(arccos )(arcsin 112
x d x d dx x
-==-
)cot ()(arctan 11
2x arc d x d dx x
-==+
2.第二换元法：
???
==)
()]([)()
(t d t f dx
x f t x ???令
?+='=C t F dx t f t )()]([)(??
C
x F x t +=-=?
-)]([1
)
(1??反代
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换：
1o
0,,>=t n t x n
为偶数时
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
关于大学高等数学函数极限和连续
关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020
第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:
数学分析习作-数列极限与函数极限的异同
云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识；
在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x
函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg ??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
高等数学函数极限练习题
设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
数学分析习作-数列极限及函数极限的异同
XX大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 、学号： 任课教师： 时间：2009-12-26摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的
重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数：
a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯 一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。 称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数 时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一）数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x 高等数学同济大学版课程讲解函数的极限 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 课 时 授 课 计 划 课次序号：03 一、课 题：§函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–31（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、 授课 效果分析： 第三节函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时， ； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限．与数列极限不同的是，对 于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数yf （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义1若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )A |<ε），则称 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 第二节二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）(x+y)sin； （7）x2+y2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=；（2）f(x,y)=(x+y)sinsin； （3）f(x,y)=；（4）f(x,y)= ； （5）f(x,y)=ysin；（6）f(x,y)=； （7）f(x,y)=. 。f(x,y)存在且等于A；2。y在b的某邻域内，有f(x,y)= 3、证明：若1 (y)则 f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） f(x,y)=A；（2）f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）；（2）(x2+y2)e-(x+y)； （3）(1+)xsiny；（4）. 8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3. 10、设f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U。()上有定义，且满足： （i）在U。()上，对每个y≠y0，存在极限f(x,y)=ψ(y)； （ii）在U。()上，关于x一致地存在极限f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|y-y0|<δ时，对所有的x，只要(x,y)∈U。()，都有|f(x,y)-(x)|<成立). 试证明 f(x,y)=f(x,y). 第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合，用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}； 第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有： （1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =； （2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+； （3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=； 目录： 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 第一章 函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ); 第3章函数极限 3.1本章要点详解 本章要点 ■函数极限的概念 ■函数极限的性质 ■函数极限的四则运算 ■函数极限存在的条件 ■两个重要的极限 ■无穷小量阶的比较 ■渐近线 重难点导学 一、函数极限概念 1．x趋于∞时函数的极限 设f为定义在[a，＋∞）上的函数，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数M（≥a），使得当x＞M时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f当x趋于＋∞时以A为极限，记作 2．x趋于x0时函数的极限 设函数f在点x0的某个空心邻域U°（x0；δ'）内有定义，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ'），使得当0＜|x－x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作 3．单侧极限 设函数f在（或上有定义，A为定数．若 对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ′），使得当（或 时有 则称数A为函数f当x趋于x0＋（或x0－）时的右（左）极限，记作 或 右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x0的右极限与左极限又分别记为 与 4．定理 二、函数极限的性质 1．唯一性 若极限存在，则此极限是唯一的． 2．局部有界性 若存在，则f在x0的某空心邻域内有界． 3．局部保号性 若（或＜0），则对任何正数r＜A（或r＜－A），存在，使得对一切 有 4．保不等式性 设与都存在，且在某邻域内有 ，则 5．迫敛性 设，且在某内有 则 6．四则运算法则 若极限与都存在，则函数，，当 时极限也存在，且 （1） （2） （3）若，则f／g当x→x0时极限存在，且有 三、函数极限存在的条件 1．归结原则 设f在上有定义存在的充要条件是：对任何含于 且以x0为极限的数列，极限都存在且相等． 2．设函数f在点x0的某空心右邻域有定义，的充要条 件是：对任何以x0为极限的递减数列有 3．设f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．4．柯西准则 设函数f在上有定义．存在的充要条件是：任给ε＞0，??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
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