人教历年中考数学易错题汇编-二次函数练习题

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．

【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.

【解析】

【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；

（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；

（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．

【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，

将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，

∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；

（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），

令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，

即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），

由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A'（2，4），B'（5，﹣5），

∴S△OA′B′=1

2

×（2+5）×9﹣

1

2

×2×4﹣

1

2

×5×5=15．

【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的

求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.

2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．

()1求y 与x 的函数关系式；

()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？

【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】

()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数

关系式；

()2先根据利润=销售数量(?销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，

也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】

解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠， 函数图象经过点()40,200和点()60,160，

{

40200

60160k b k b +=∴+=，解得：{

2

280k b =-=，

y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．

()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．

试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，

∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．

20-<，

∴当90x <时，w 随x 的增大而增大，

80x ∴=时，w 有最大值， 当80x =时，4800w =，

答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】

本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．

3．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．

（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；

（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣1

2

时，△APC 的面积取最大值，最大值为

278

，此时点P 的坐标为（﹣12，15

4）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，

2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】

（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣

32x 2﹣3

2

x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利

用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【详解】

（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：

10423b c b c -++=??

--+=?，解得：2

3b c =-??=?

， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：

023m n m n +=??-+=?，解得：1

1

m n =-??

=?， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．

（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．

设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），

∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ ?PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +1

2）2+278

． ∵﹣

3

2

＜0， ∴当x ＝﹣

12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278

，此时点P 的坐标为（﹣1

2，15

4

）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，

∴AM+MN＝AM+MC＝AC，

∴此时△ANM周长取最小值．

当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，

∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．

∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），

∴AC＝22

33

+＝32，AN＝22

31

+＝10，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关

系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣3

2

x2﹣

3

2

x+3的最值；（3）利用二次函

数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

4．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，

3 2

2

a b

b

a

+-

?

?

?

-?

?

＝

＝

，

解得

1

4

a

b-

?

?

?

＝

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P（x，x2-4x）,

∵PA⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,

∴PF AF AE BE =，即244213x x x

--=-， 解得，x= ?1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5

∴点P 的坐标为（-1，-5），

又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（1

4

，0） ∴S △PAB=115

531524

??+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

5．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-350

x 2

+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】

试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．

（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). 将B 、C 的坐标代入2

y ax c =+，得 6,

0100.

c a c =??

=+?

解得3

,650

a c =-

=. ∴抛物线的表达式是2

3650

y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23

56 4.550

N y =-

?+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和， 则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).

过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050

H y =-

?+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

6．如图1，抛物线

经过平行四边形

的顶点

、

、，抛物线与轴的另一交点为

.经过点的直线将平行四边形

分割为面

积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点

为直线上方抛物线上一动点，设点

的横

坐标为.

（1）求抛物线的解析式； （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；

（3）是否存在点

使

为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理

由.

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；（2）当t=时，△PEF 的面积最大，其最

大值为

×

，

最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或

【解析】

试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．

试题解析：（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）∵A（0，3），D（2，3），

∴BC=AD=2，

∵B（﹣1，0），

∴C（1，0），

∴线段AC的中点为（，），

∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，

∴直线l过平行四边形的对称中心，

∵A、D关于对称轴对称，

∴抛物线对称轴为x=1，

∴E（3，0），

设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，

∴直线l的解析式为y=﹣x+，

联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，

∴F（﹣，），

如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，

∵P点横坐标为t，

∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），

∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM?FN+PM?EH=PM?（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，

∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，

∴最大值的立方根为=；

（3）由图可知∠PEA≠90°，

∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，

①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA=45°，

∴∠PAG=∠APG=45°，

∴PG=AG，

∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），

②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，

则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，

∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，

∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，

∴△PKE∽△AQP，

∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣（舍去），

综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．

考点：二次函数综合题

7．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是3元，经市场预测，销售单价为40元时，可售出600个；销售单价每涨1元，销售量将减少10个设每个销售单价为x元．（1）写出销售量y（件）和获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系；（2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？

【答案】（1）y＝﹣10x+1000；w=﹣10x2+1300x﹣30000

（2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．

【解析】

【分析】

（1）利用销售单价每涨1元，销售量将减少10个即可表示出y＝600﹣10（x﹣40），再利用w= y?（x﹣30）即可表示出w与x之间的关系式；（2）先将w＝﹣10x2+1300x﹣30000变成顶点式，找到对称轴，利用函数图像的增减性确定在44≤x≤46范围内当x＝46时有最大值，代入求值即可解题.

【详解】

解：

（1）依题意，易得销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系：y＝600﹣10（x﹣

40）＝﹣10x+1000

获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系为：w＝y?（x﹣30）＝（1000﹣10x）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000

（2）根据题意得，x≥14时且1000﹣10x≥540，解得：44≤x≤46

w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250

∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65

∴当44≤x≤46时，y随x的增大而增大

∴当x＝46时，w最大值＝8640元

即商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，求解二次函数与利润之间的关系时,需要用代数式表示销售数量和销售单价，熟悉二次函数顶点式的性质是解题关键.

8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣1

2

x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和

点B（0，5

2

），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时

针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段CD的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+

5

2

；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐

标为（0，7

2

）或（0，﹣

7

2

）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）利用配方法得到y=﹣1

2

（x﹣2）2+

9

2

，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物

线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，9

2

﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，

DP=DC=t，则P（2+t，9

2

﹣t），然后把P（2+t，

9

2

﹣t）代入y=﹣

1

2

x2+2x+

5

2

得到关于t

的方程，从而解方程可得到CD 的长；

（3）P 点坐标为（4，

92），D 点坐标为（2，5

2

），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12?（m+5

2

+2）?2=8

当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12?（﹣m+5

2

+2）?2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．

【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，

52）代入y=﹣1

2

x 2+bx+c 得 1

0252b c c ?--+=????=??

，解得252b c =??

?=??，

∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5

2

； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+9

2

， ∴C （2，

9

2

），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，

9

2

﹣t ）， ∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，

∴P （2+t ，

9

2﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=9

2

﹣t ，

整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；

（3）P 点坐标为（4，

92），D 点坐标为（2，5

2

）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，9

2

）移到原点O 的位置，

∴抛物线向左平移2个单位，向下平移

9

2

个单位， 而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移9

2

个单位得到点E ，

∴E 点坐标为（2，﹣2），

设M（0，m），

当m＞0

时，

1

2

?（m+

5

2

+2）

?2=8，解得m=

7

2

，此时M点坐标为（0，

7

2

）；

当m＜0时，

1

2

?（﹣m+

5

2

+2）?2=8，解得m=﹣

7

2

，此时M点坐标为（0，﹣

7

2

）；

综上所述，M点的坐标为（0，

7

2

）或（0，﹣

7

2

）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.

9．在平面直角坐标系中，抛物线2

y ax bx c

=++过点(1,0)

A-，(3,0)

B，与y轴交于点C，连接AC，BC，将OBC沿BC所在的直线翻折，得到DBC

△，连接OD．

（1）用含a的代数式表示点C的坐标．

（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．

（3）设OBD的面积为S1，OAC的面积为S2，若1

2

2

3

S

S

=，求a的值．

【答案】（1）(0,3)

C a

-；

(2) 抛物线的表达式为：2

52535

555

y x x

=-++；

(3) 22

a=-22

a=

【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()

2

(1)(3)23

y a x x a x x

=+-=--，

即可求解；

（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB

∽，再根据相似三角形的性质得到CP PD CD

DQ BQ BD

==，即可求解；

（3）连接OD交BC于点H，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，由三角形的面积

公式得到1

2

2

3

S

S

=，2

9

m

DM=，

11

299

m

HN DM OC

===，而

2

2

8

99

m

HN ON BN

??

=?== ?

??

，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的表达式为：()

2

(1)(3)23

y a x x a x x

=+-=--，即3

c a

=-，则点(0,3)

C a

-；

（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，∵90

CDP PDC?

∠+∠=，90

PDC QDB?

∠+∠=，

∴QDB DCP

∠=∠，

设：(1,)

D n，点(0,3)

C a

-，

90

CPD BQD?

∠=∠=，

∴CPD DQB

∽，

∴

CP PD CD

DQ BQ BD

==，

其中：3

CP n a

=+，312

DQ=-=，1

PD=，BQ n

=，3

CD a

=-，3

BD=，

将以上数值代入比例式并解得：

5

5

a=±，

∵0

a<，故5

a=，

故抛物线的表达式为：2

52535

555

y x x

=++；

（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DO BC

⊥，

过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，

设：3OC m a ==-，

113

22

OBD S S OB DM DM ?==

??=， 21

12

OAC

S S m ?==??，而1223S S =，

则29m DM =

，11

299m HN DM OC ==

=， ∴1193BN BO ==，则18

333

ON =-=，

则DO BC ⊥，HN OB ⊥，

则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，

则2

2899m HN ON BN ??

=?== ???

，

解得：62m =±（舍去负值），

|3|62CO a =-=，

解得：22a =-

故：22a =-C 在x 轴下方时，同理可得：22a =22a =-22a =【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用

几何方法得出：2

2899m HN ON BN ??

=?== ???

，是本题解题的关键．

10．已知抛物线C 1：y=ax 2﹣4ax ﹣5（a ＞0）． （1）当a=1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式； （3）若（2）中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的

值．

【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或

【解析】

试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；

（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；

②根据抛物线翻折理论即可解题；

（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题

试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴对称轴为y=2；

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；

②这两个点连线为y=﹣5；

将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；

∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，

（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，

则x=2时，y=2或者﹣2；

当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

∴a=或；

考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换