二次根式复习专题讲义(补课用)汇总

二次根式复习专题讲义

、二次根式的概念:

1.二次根式：形如角(a>0)的式子叫做二次根式，“、—称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.心(a > 0)是一个非负数。

③.(y/a ) 2= a (a> 0); V a2=a (a>0)

2.二次根式的乘：

①.一般的，有|掐?品=局.(a》0, b》0)

②.反过来，有卜五=y a X V b ( a》0 , b》0 )

3.二次根式的除：

①.一般地，对二次根式的除法规定：

(a>0, b>0),

②.反过来，招畔(a>0, b>0)

4.二次根式的加减法则：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：

例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

42、V3、1、長(x>0)、>/0、V2、-42> 、J x+y (x>0,

x x + y

例2?当x是多少时，?.^ +肖在实数范围内有意义?

变式题1:当x是多少时，,3^1在实数范围内有意义?

变式题2：①?当x是多少时，丄口+x2在实数范围内有

意义？

例3.①?已知y=,尸 +、, 口+5，求-的值.

②?若-T~1 + -..匸1 =0，求a2004+b2004的值.

③?已知、x-y 1 + =0,求x y的值.

例4.计算

2. (3 5 ) 2

（、2）2

3. C.5) 2

4.(辽) 2

丨6 2

例5.计算

1. (.X 1 ) 2(x> 0)

2. ( a7 ) 2

3. (.a2 2a 1 )2

4.( 4x2-12x 9) 2

变式题：计算

1. （- 3、2）2

2. (2、.3

3.,2)(2、、3 -3 ..2)

例6.在实数范围内分解下列因式

(1) x2-3 (2) X4-4(3) 2x2-3

例7.化简

(1) 9 (2) ,^4^ (3) .. 25 (4)....百

例8.填空：当a > 0时，忌=__________ ;当a<0时，

磋=_________ ， ?并根据这一性质回答下列问题.

(1)若.a2=a，贝y a可以是什么数？

(2)若.孑二-a，则a可以是什么数？

(3).a7 >a，则a可以是什么数？

例9.当X>2，化简、... (x【2)2- ,(^2x)2.

例10.先化简再求值：当a=9时，求a+ 1匚2a—a2的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=a+( -a)2=a+ (1-a ) =1;

乙的解答为：原式=a+(i-a)2=a+ (a-1 ) =2a-1=1 7.

两种解答中， ________ 的解答是错误的，错误的原因是

变式题1.若丨1995-a | + 硏五=a，求a-19952的值.

(提示：先由a-200 0>0,判断1995-a?的值是正数还是负数，去掉绝对值)

变式题2.

右-3 W X W 2 时，试化简 X-2 + J(x +3)2

+ y'x 2

-10x +25

例11.计算

(1) ?、. 5 X . 7 ( 2) 1

X .9

( 3)、、9 X ..27 ( 4)

分析：直接利用--a ?、、b = ■■. ab ( a > 0, b > 0)计算即可.

解：(1)

5 X ,7

(2) 1

X 9 = 1 9 = 3

(3) 、、9 X , 27 = 9一27= 9厂3 =9 3

(4)

1 X 6 = -1 6 = 3

例12 .化简 (1) 9一16 (2) 、16一81 (3) . 81 100

(4)

9x 2y 2

(5) . 54

例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1) (4)厂9)=匸4、、-9

25 =4 X . 12

X 、、25 =4. 12

X , 25 =4 12 =8 3

(2) 、412

和A2cm , ?那么此直角三角形斜边长是（

变式题1:若直角三角形两条直角边的边长分别为

、15 cm

变式题2:化简a -1

的结果是（）.

变式题 3:。而4 = _______ . V 169X6

变式题4: 一个底面为 30cm X 30cm 长方体玻璃容器中装满水，？现将一部分水例入一个底面为正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm ，铁

桶的底面边长是多少厘米？

变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程.

并验证你的结论

验证: 验证:

3 8 =

-3 3 32

-1

3 3 通过上述探究你能猜测出:

(a>0),

人教版八年级下册第十六章二次根式知识清单及典型题型练习讲义(无答案)

二次根式知识清单及典型题型练习姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有个二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2 ）利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是；⑤若01x <<等于． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算：（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0）（特别应注意a 、b 的取值）练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法）比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题练：观察下列各式及其验证过程：，验证：；验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式：已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42

二次根式拓展提高讲义及答案

二次根式拓展提高（讲义）一、知识点睛 1．理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2．根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3．完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4．实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2

2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．

八年级二次根式教师讲义带答案

第五章二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如…（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有意义。知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数，即Z 10 （“ _「）。注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（厂）：的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w.

知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算

22.2二次根式的乘除(第二课时)教案

22．2 二次根式的乘除第2课时教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空（1=____；（2=_____；（3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: ，（2，（3，（4=_____．（1 ；。每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

合探1．计算：（1 （2（3（4 分析：上面4 a ≥0，b>0）便可直接得出答案．合探2．化简：（1（2 （3 （4 a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！四、应用拓展 =，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即60（a ≥0，b>0）及其运用．六、作业设计一、选择题 1的结果是（）． A ．2 7 ．27 C D 2 = == = 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化” （）． A ．2 B ．6 C ． 1 3 D 二、填空题 1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______. 2．已知x=3，y=4，z=5_______．三、综合提高题计算

人教版八年级数学下教案二次根式第二课时

16.1二次根式第2课时教学目标【知识与技能】 ≥0）与（a ≥0），并理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a （a 利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 教学重难点【教学重点】 2 =a （a ≥0）（a ≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索 2 =a （a ≥0（a ≥0）的结论. 课前准备无教学过程一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出 2 （a ≥0）的结论是什么？说说你的理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力. 二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出： 2 =a （a ≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题.

探究（1）填空：（2）通过（1a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. （a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1 计算：（1）2；（2）（ 2

二次根式加减运算(讲义及答案).

6 8 1 2 24 a + 1 a +1 2 3 5 6 6 2 3 3 3 75 8 32 二次根式加减运算（讲义） ? 课前预习 1. 有理数混合运算的操作步骤： ①观察，划； ②有序操作，依； ③ ． 2. 两大公式： ①平方差公式； ②完全平方公式． 3. 数轴上 A ，B 两点对应的实数分别为 1，3，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，若点 C 表示的数为 x ，则 x = ． ? 知识点睛 1. 同类二次根式：． 2. 二次根式的加减法则： ① ；② ． 3. 实数混合运算顺序：先算，再算，最后算．如果有括号，先算括号里面的． ? 精讲精练 1. 下列各式与是同类二次根式的是（） A. B ． C ． D ． 2. 与最简二次根式5 是同类二次根式，则 a = ． 3. 已知最简二次根式2 与则 a = ．的和是一个二次根式， 4. 下列计算正确的是（） A ． + = B ． + = 6 C ． 2 + = 2 5. 计算： D ． 2 - = （1） 3 + ；（2） 3 - 5 ；解：原式= 解：原式= 3 12 4 - 2a 2 3

24 2 3 18 8 9 2 3 1 10 10 24 1 2 2 28 700 1 3 48 32 8 49 2 1 8 2 （3） - 9 ；（4） - ；解：原式= 解：原式= （5） - ；（6） -10 + ；解：原式= 解：原式= （7） + - 54 ；（8） - 3 + ；解：原式= 解：原式= （9） - + ；（10） 2 - 6 + 3 ．解：原式= 解：原式= 6. 计算：（1） 50 ? ÷ - ；（2）( 45 + ? 18) - 2 ? - 20 ； ? ? ? 解：原式= 解：原式= （3） 1 ( + 3) - 3 ( + 27) ； 2 4 解：原式= 3 2 40 25 6 32 1 7 12 2

黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式(第二课时)教案新人教版

黑龙江省虎林市九年级数学上册二次根式（第二课时）教案新人教版第二课时教学内容 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）．教学目标 a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． a≥0）是一个非负数，用具体 2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导 2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0叫什么？当a<0 老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空： 2 =_______；）2 =_______；2 =______；2 =_______； 2=______；2=_______；）2 =_______．是4是一个平方等于4的）2 =4．同理可得：2=2，2=9，2 =3，2=1 3，）2=72，） 2 =0，所以例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．（2）2 ）2 =a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32 ，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=5 6，（2）2=22 724=．三、巩固练习计算下列各式的值： 2 2 2 ）2 （ 2 22- 四、应用拓展例2 计算 1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4． 2

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2=x+1 （2）∵a2≥02=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2-12x+9≥0）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式: （1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 分析：(略) 五、归纳小结本节课应掌握： 1a≥0）是一个非负数； 2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业 1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P9 7． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题 1、的个数是（）． A．4 B．3 C．2 D．1

二次根式讲义(初次、基础版)

二次根式【知识要点】必杀技:要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数． 1．二次根式的主要性质： ①???<-≥==002a a a a a a ; ②()a a =2(),0≥a ; ③()0,0≥≥?=b a b a ab ④()0,0>≥==b a b ab b a b a ； ⑤()()b a b a b a b a b a b a --=-+-=+1 ; ⑥b a b a b a -+=-1. A 、最简二次根式：被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式,像这样的二次根式成为最简二次根式最简二次根式的条件： ①根号内不含有开的尽方的因数或因式 ②根号内不含有分母 ③分母不含有根号 B 、同类二次根式:被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式 C 、乘法公式:)0,0______(≥≥=?b a b a ；反之:)0,0_______(≥≥=b a ab D 、除法公式：)0,0______(>≥=b a b a ;反之：)0,0______(>≥= b a b a E 、合并同类二次根式：__________________;=-=+a n a m a n a m 【典型例题】例1.x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ；（2)23-x ； (３） 123+x ; (4)x 231-. 例２．若a a ---33有意义,则a 的值为＿______＿__＿_＿＿．例3．若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是＿＿_＿＿_＿___＿＿_＿_＿.

例４.已知2<ｘ<3，化简:3)2(2 -+-x x ．例5.数ａ、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++. 例1、乘法运算 (1）)169()25(-?- (2）1527? （3）2 28n m (4）a a 122532?- 例2:除法运算（1）354- (2）531513÷ (3）921.150 04.0?? （ 4)2294a b 例３：加减混合运算（1）4832 31531 1312--+

(完整版)16.1二次根式(第二课时)教学设计.doc

《16.1 二次根式（第二课时）》教学设计教学目标 1.理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正确区分 a 2 a a 0 ，了解代数式的概念与特 a a 0 和a2 征. 2.在观察、比较、总结归纳二次根式的基本性质的过程中，增强学生的参与意识，发展学生的归纳概括能力，通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. 3.通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 教学重点与难点教学重点 :二次根式基本性质的探究教学难点 :二次根式基本性质的应用教材与学情分析教材分析 : 在“实数”一章中，学生已经学习了平方根及算术平方根的概念，以及利用平方运算与开平方运算的互逆关系，求解非负数的平方根和算术平方根的方法 . 而本节课是在学生了解了二次根式的概念的基础上学习二次根式的基本性质，并为之后学习二次根式的加、减、乘、除四则运算与最简二次根式打下基础，是本章最基础的知识点之一，并为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习打下基础 . 同时，本章以二次根式这一典型的“式”为载体，进一步

学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，进而培养符号意识和运算能力 . 学情分析 : 在这节课之前，学生刚刚学习了二次根式的概念，理解起来有一定的难度，所以通过利用算术平方根的意义等知识，进行探究、计算，得出二次根式的基本性质 . 利用二次根式的基本性质进行简单计算加深印象，并在此基础上将习题变形，提高学生的应用能力 . 二、教学过程 ( 一) 、新知引入： 1.指出下列式子中的二次根式： 5，- 3 3， x 2 1，a 2(a 2), a b(a b) 3，21，2 2.什么样的式子我们称之为二次根式？（二次根式的概念）二次根式：形如 a (a0) 的式子叫做二次根式. 其中 a 0 ，a 0. 【设计意图：】通过辨别二次根式的练习，回顾二次根式的概念. ( 二) 、探究新知：一、性质 1 的探究： 1.问题 1 根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 4 2 2 2 ______ ______ 1 2 ______ 0 2 3 ______ 小组合作学习，进行探究，并得出猜想和结论： 2 a a(a0)

7 二次根式(第2课时)说课稿

二次根式（第2课时）一、学生起点分析在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。二、教材任务分析二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．三．教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第一环节：复习引入内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。面积8 面积2

第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则： b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？例3 计算：（1）326?；（2）2 36?；（3）52。解：（1）略（2）2 3 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52＝＝5 2＝5552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数．第三环节：巩固练习例4 计算：（1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+；（5）3)3112(?-；（6）2 188+。解：（1）3322?=32??32?=66；（2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1；（3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52；（4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4；（5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=；

八年级初二数学二次根式(讲义及答案)及答案

一、选择题 1．下列式子为最简二次根式的是（） A B C D 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ． 3．已知2a =，2b =的值为（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．） A ．－3 B ．3或－3 C ．9 D ．3 5．在函数y=3 x -中，自变量x 的取值范围是（） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2 6．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）. A ． B C D 7．下列各式计算正确的是（） A += B ．26=（ C 4= D = 8．下列二次根式中是最简二次根式的是（） A B C D 9．下列运算中正确的是（） A ．= B === C 3 === D 1== 10．已知，5x y +=-，3xy =则的结果是（） A ． B ．- C ． D ．-二、填空题 11．3 =，且01x <<=______． 12．实数a ，b +|a +b |的结果是

_____． 13．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 14．已知72 x =-，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 15．已知m=1+ 2，n=1﹣2，则代数式22m n mn +-的值________． 16．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则3a b -=______. 17．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简()222a b a b -+-＝_____． 18．4x -x 的取值范围是_____ 19．已知23x =243x x --的值为_______． 20．12a 1-能合并成一项，则a =______．三、解答题 21．计算： 22322343341009999100 +++++【答案】 910 【解析】【分析】先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算【详解】 2232234334 1009999100++++++ =2232234334100999910026129900 -++++ =223349910012233499100- +-+-++- =1001100- =1110- =910 【点睛】

数学二次根式(讲义及答案)含答案

数学二次根式(讲义及答案)含答案一、选择题 1．5﹣x ，则x 的取值范围是（） A ．为任意实数 B ．0≤x≤5 C ．x≥5 D ．x≤5 2．下列式子为最简二次根式的是（） A B C D 3．下列各式成立的是（） A 3= B 3= C ．22(3 =- D ．2-= 4．下列各式计算正确的是（） A = B = C ．23= D 2=- 5．下列各式计算正确的是（） A = B 6= C ．3+= D 2=- 6．下列各式中正确的是（） A 6 B 2=- C 4 D ．2(＝7 7．若a ，b ＝，则a b 的值为（） A ． 1 2 B ． 14 C ． 3 21 + D 8．下列各式计算正确的是（） A += B ．2 6=（ C 4= D = 9．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．9 10．设0a >，0b >=的值是（） A ．2 B ． 14 C ． 12 D ． 3158 11．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A B C D 12．2 30x -=成立的x 的值为（）

A ．-2 B ．3 C ．-2或3 D ．以上都不对二、填空题 13．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 -_______12 14．已知实数,x y 满足()( ) 2 22008 20082008x x y y ----=，则 2232332007x y x y -+--的值为______. 15．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（）的结果为_____． 16．把31 a a - 根号外的因式移入根号内，得________ 17．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“ ”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________. 18．化简：3222＝_____． 19．函数y ＝ 42 x x --中，自变量x 的取值范围是____________． 20．28n n 为________．三、解答题 21．计算： 2232234334 1009999100 + ++++【答案】 910 【解析】【分析】先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算

21.2二次根式的乘除(第二课时)教案

21．2 二次根式的乘除第二课时教学内容 =a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标 a≥0，b>0a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键 1a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学方法三疑三探教学过程一、设疑自探——解疑合探自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．填空（1=____；（2=_____；（3=_____；（4=________． 2．利用计算器计算填空: （1，（2，（3，（4=_____．；。每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们进行合探：二次根式的除法规定：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

八年级初二数学二次根式(讲义及答案)附解析

一、选择题 1．下列计算，正确的是（） A ．= B ．= C ．0= D ．10= 2．下列运算中，正确的是 ( ) A ． 3 B ．×=6 C ． 3 D ．3．下列各式计算正确的是（） A = B 6= C ．3+= D 2=- 4．已知m 、n m ，n ）为（） A ．（2，5） B ．（8，20） C ．（2，5），（8，20） D ．以上都不是 5．1在3和4中x 的取值范围是1x ≥-； ③3；④5=-5 8 >．其中正确的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列运算中错误的是（） A = B = C 2÷= D ．2 (3= 7．下列二次根式中是最简二次根式的是（） A B C D 8．如果实数x ，y =-(),x y 在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第一象限或坐标轴上 D ．第二象限或坐标轴上 9．下列运算正确的是（） A = B 2= C = D 9= 10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记 2 a b c p ++= ，那么三角形的面积为S =ABC ?中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ?的面积为（）

A ．66 B ．3 C ．18 D ． 192 二、填空题 11．使函数21 122y x x x =-+有意义的自变量x 的取值范围为_____________ 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 -22 --（）的结果为_____． 13．若a ，b ，c 是实数，且21416210a b c a b c ++=---，则 2b c +=________． 14．3x x =，且01x <<2691x x x =+-______． 15．若实数x ，y ，m 满足等式 ()2 3532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________． 161262_____． 17．若实数23 a =-，则代数式244a a -+的值为___. 18．函数y 4x -中，自变量x 的取值范围是____________． 19．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号） 20．4 x -x 的取值范围是_____．三、解答题 21．阅读下面问题：阅读理解： 2221(21)(21) ==++-1； 32 3232(32)(32) ==++-

二次根式的化简与计算(讲义及答案)

二次根式的化简与计算（讲义） ? 课前预习 1. 回顾实数的相关概念，并完成下列各题．（1）二次根式： ①定义：一般地，形如___________的式子叫做二次根式． ②性质： 2=_______（a ≥0=_______（a ≥0）． =_______（a ≥0，b ≥0=______（a ≥0，b ＞0）． ③乘除法则： =_____（a ≥0，b ≥0=_____（a ≥0，b ＞0）． ④加减法则：先化成最简二次根式，再合并_______________．（2）实数混合运算顺序：先算__________，再算______，最后算______．同级运算，从左向右进行．如果有括号，先算括号里面的． 2. 成立的x 的取值范围是（） A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x ≤2 ? 知识点睛 1. 二次根式的双重非负性： a ____00． 2. 二次根式双重非负性的常见应用：（120b c +=，则a =______，b =______，c =_____．（2a =______． 3. 实数混合运算处理方法： ①观察________，划________； ②有序操作，依________； ③每步推进一点点．

做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算．4.二次根式与数形结合：被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．．解决问题． ?精讲精练 1.若x，y 为实数，且满足10 x-=，则xy=______． 2.若x，y，z 2 (3)20 y x z -++= ，则 =_______． 3.若实数x，y 2210 y y ++=，则x y=_______． 4.若实数a，b (0 b-=，则a2+2b的平方根为________． 5.若实数x，y 满足3 y=，则2xy=________． 6.若实数x，y 满足1 y= =____． 7.已知a，b为一等腰三角形的两边长，且a，b 满足等式4 b =-，则此等腰三角形的周长为______． 8.计算：（1 2 1 3 - ? ? ---+ ? ???

二次根式第二课时

21.1 二次根式(2) 第二课时教学目标 a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． a≥0）是一个非负数，用具 2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．课标要求：了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）的运算。教学重难点 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法 2=a（a≥0）．教学过程课前三分钟育人：父母教须敬听，父母责须顺承一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0a<0 老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空： 2=_______；2=_______；2=______；）2=_______； 2=______；2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4 ）2=4．

同理可得：）2=2，2=9，2=3，2=13，2=72，）2=0，所以例1 计算 1．2 2．（2 3．2 4．）2 分析）2=a （a ≥0）的结论解题．解：2 =32 ，（2 =32·2=32·5=45， 2=56 ，274=．三、巩固练习计算下列各式的值： 2 2 2 ）2 （）2 22- 四、应用拓展例2 计算 1．2（x ≥0） 2．2 3．2 4． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 2=x+1 （2）∵a 2≥02=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 2+2a+1

初二数学经典讲义二次根式(基础)知识讲解

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】 1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质. 2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算. 3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如1 3, ,0.02,02 等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）. 要点诠释：（1）一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2 a =（0a ≥），如2 2211 22); );)33 x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .

（3 a ，再根据绝对值的意义来进行化简. （4 2 的异同 a 可以取任何实数，而2 中的a 必须取非负数； a ，2=a （0a ≥）. 相同点：被开方数都是非负数，当a 2 . 3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 次根式. 要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断. 显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型法则逆用法则二次根式的乘法 0,0) a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥≥ 二次根式的除法 0,0)a b ≥> 商的算术平方根化简公式： 0,0)a b =≥> 要点诠释：（1 ）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 = （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）. ≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：