计量经济学第五章

第五章练习题参考解答

设消费函数为

i i i i u X X Y +++=33221βββ

式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；

i u 为随机误差项，并且222)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2

σ为常数）

。试回答以下问题：

(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；

(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

根据本章第四节的对数变换，我们知道对变量取对数通常能降低异方差性，但须对这种模型的随机误差项的性质给予足够的关注。例如，设模型为u X Y 2

1ββ=，对该模型中的变量取对数后得如下形式

u X Y ln ln ln ln 21++=ββ

(1)如果u ln 要有零期望值，u 的分布应该是什么 (2)如果1)(=u E ，会不会0)(ln =u E 为什么 (3)如果)(ln u E 不为零，怎样才能使它等于零

由表中给出消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题：

（1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式；

（2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性；（3）选用合适的方法修正异方差。

Y X Y X Y X 558015222095140 65100144210108145 7085175245113150 80110180260110160 79120135190125165 84115140205115180 98130178265130185 95140191270135190 90125137230120200 7590189250140205 741055580140210 1101607085152220 1131507590140225 12516565100137230 10814574105145240 11518080110175245 14022584115189250 12020079120180260 14524090125178265 13018598130191270

由表中给出1985年我国北方几个省市农业总产值，农用化肥量、农用水利、农业劳动力、每日生产性固定生产原值以及农机动力数据，要求：

（1）试建立我国北方地区农业产出线性模型；

（2）选用适当的方法检验模型中是否存在异方差；

（3）如果存在异方差，采用适当的方法加以修正。

地区农业总产值农业劳动力灌溉面积化肥用量户均固定农机动力（亿元）（万人）（万公顷）(万吨）资产（元）（万马力）

北京

天津

河北1639 .0

山西

内蒙古

辽宁

吉林

黑龙江

山东

河南

陕西764新疆

表中的数据是美国1988研究与开发（R&D）支出费用（Y）与不同

部门产品销售量（X）。试根据资料建立一个回归模型，运用Glejser方法和White方法检验异方差，由此决定异方差的表现形式并选用适当方法加以修正。

单位：百万美元

工业群体销售量X R&D费用Y利润Z

1.容器与包装

2.非银行业金融

3.服务行业

4.金属与采矿

5.住房与建筑

6.一般制造业1083

7.休闲娱乐

8.纸张与林木产品

9.食品

10.卫生保健

11.宇航95294

12.消费者用品

13.电器与电子产品

14.化工产品

15.五金

16.办公设备与电算

机

17.燃料

18.汽车293543

由表中给出的收入和住房支出样本数据，建立住房支出模型。

假设模型为i i i u X Y ++=21ββ,其中Y 为住房支出,X 为收入。试求解下列问题:

(1)用OLS 求参数的估计值、标准差、拟合优度

(2)用Goldfeld-Quandt 方法检验异方差（假设分组时不去掉任何样本值）

(3)如果模型存在异方差，假设异方差的形式是222i i X σσ=，试用加权最小二乘法重新估计1β和2β的估计值、标准差、拟合优度。

表中给出1969年20个国家的股票价格（Y ）和消费者价格年百分率变化（X ）的一个横截面数据。

国家股票价格变化率%Y 消费者价格变化率%X

1.澳大利亚 5

2.奥地利

3.比利时

4.加拿大

5.智利

6.丹麦

7.芬兰

8.法国

9.德国

10.印度4

11.爱尔

兰4

12.以色

列

13.意大

利

14.日本

15.墨西

哥

16.荷兰

17.新西

兰

18.瑞典84

19.英国

20.美国9

试根据资料完成以下问题:

(1)将Y对X回归并分析回归中的残差；

(2)因智利的数据出现了异常，去掉智利数据后，重新作回归并再次

分析回归中的残差；

(3)如果根据第1条的结果你将得到有异方差性的结论，而根据第2条的结论你又得到相反的结论，对此你能得出什么样的结论

表中给出的是1998年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据资料

试完成以下问题:

(1)求销售利润岁销售收入的样本回归函数，并对模型进行经济意义检验和统计检验；

(2)分别用图形法、Glejser方法、White方法检验模型是否存在异方差；

(3)如果模型存在异方差，选用适当的方法对异方差性进行修正。

下表所给资料为1978年至2000年四川省农村人均纯收入

X和人均

生活费支出

Y的数据。

四川省农村人均纯收入和人均生活费支出单位：元/人

时间农村人均纯

收入X 农村人均生

活费支出Y

时间农村人均纯

收入X

农村人均生

活费支出Y

19781990

19791991

19801992

19811993

19821994

19831995

19841996

19851997

19861998

19871999

19882000

1989

数据来源：《四川统计年鉴》2001年。

(1)求农村人均生活费支出对人均纯收入的样本回归函数，并对模型进行经济意义检验和统计检验；

(2)选用适当的方法检验模型中是否存在异方差；

(3)如果模型存在异方差，选用适当的方法对异方差性进行修正。

在题中用的是时间序列数据，而且没有剔除物价上涨因素。试分析如果剔除物价上涨因素，即用实际可支配收入和实际消费支出，异方差的问题是否会有所改善由于缺乏四川省从1978年起的农村居民消费价格定基指数的数据，以1978年—2000年全国商品零售价格定基指数（以1978

年为100）代替，数据如下表所示：

数据来源：《中国统计年鉴2001》

练习题参考解答

（1）因为22()i i f X X =，所以取221

i i

W X =

，用i W 乘给定模型两端，得

312322221i i i i i i i

Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即

22221

(

)()i i i i

u Var Var u X X σ== （2）根据加权最小二乘法及第四章里（）和（）式，可得修正异方差后的参数估计式为

***12233???Y X X βββ=-- ()()()()

()()()***2****

2223232232

2*2

*2**2223223?i

i i i i i i i i i i i i

i i

i i i

W y x W x W y x W x x W x

W x

W x x

β-=

-∑∑∑∑∑∑∑

()()()()()()()

***2****2322222233

*2**2223223?

i i i i i i i i i i i i

i i

i i i

y x W x W y x W x x W

x x

β-=

-∑∑∑∑∑∑∑

其中

22232***

222,,i i

i i

W X W X W Y X

∑∑∑∑∑∑

****222333i i i i i x X X x X X y Y Y =-=-=-

练习题参考解答

（1）该模型样本回归估计式的书写形式为

2?9.34750.6371(2.5691)(32.0088)

0.9464,..9.0323,1023.56

i i

Y X R s e F =+===

（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。

a.将样本按递增顺序排序，去掉1/4，再分为两个部分的样本，即1222n n ==。

b.分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即

2122

603.01482495.840

==∑∑

求F 统计量为

2221

2495.84

4.1390603.0148

e F e

=∑∑

给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为(20,20) 2.12F =。

c.比较临界值与F统计量值，有F=>

0.05(20,20) 2.12

F ，说明该模型的随机误差项存在异方差。

其次，用White法进行检验。具体结果见下表

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic Probability

Obs*R-squared Probability

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2

Method: Least Squares

Date: 08/05/05 Time: 12:37

Sample: 1 60

Included observations: 60

Variable Coeffic

ient

Std.

Error

t-Statis

tic

Prob.

X^2

R-squared Mean dependent

var

Adjusted R-squared . dependent var

. of regression Akaike info

criterion

Sum squared resid Schwarz criterion

Log likelihood F-statistic

Durbin-Watson

stat Prob(F-statistic)

给定0.05

α=，在自由度为2下查卡方分布表，得2 5.9915

χ=。

比较临界值与卡方统计量值，即22

10.8640 5.9915

nRχ

=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。

（2）用权数

=，作加权最小二乘估计，得如下结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares

Date: 08/05/05 Time: 13:17 Sample: 1 60

Included observations: 60 Weighting series: W1

Variable Coeffic

ient

Std.

Error

t-Statis

tic

Prob.

C X

Weighted

Statistics

R-squared Mean dependent

var

Adjusted R-squared . dependent var

. of regression Akaike info

criterion

Sum squared resid Schwarz criterion

Log likelihood F-statistic Durbin-Watson

stat Prob(F-statistic) Unweighted

Statistics

R-squared Mean dependent

var

Adjusted R-squared . dependent var

. of regression Sum squared

resid

Durbin-Watson

stat

其估计的书写形式为

2?10.37050.6310(3.9436)(34.0467)

0.2114,..7.7789,1159.18

X R s e F =+===

练习题参考解答

（1）建立样本回归模型。

2?192.99440.0319(0.1948)(3.83)

0.4783,..2759.15,14.6692

X R s e F =+===

（2）利用White 检验判断模型是否存在异方差。 White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared

Probability

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares

Date: 08/08/05 Time: 15:38 Sample: 1 18

Included observations: 18

Variable

Coeffic

ient

Std. Error

t-Statis tic

Prob.

C -6219633.

6459811.

X X^2

R-squared

Mean dependent var

6767029.

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info criterion

Sum squared resid

+15 Schwarz

criterion

Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

给定0.05α=和自由度为2下，查卡方分布表，得临界值2 5.9915χ=，而

White 统计量2 5.2125nR =，有22

0.05

(2)nR χ<，则不拒绝原假设，说明模型中不存在异方差。

（3）有Glejser 检验判断模型是否存在异方差。经过试算，取如下函数形式

e β?=

得样本估计式

2?(4.5658)0.2482

R == 由此，可以看出模型中随机误差项有可能存在异方差。

（4）对异方差的修正。取权数为1/w X =，得如下估计结果

2?243.49100.0367( 1.7997)(5.5255)

0.1684,..694.2181,30.5309

X R s e F =-+-===

练习题参考解答（1）求回归估计式。

2? 4.61030.7574(4.2495)(5.0516)

0.5864,.. 3.3910,25.5183

X R s e F =+===

作残差的平方对解释变量的散点图

0102030

1520

E 2

由图形可以看出，模型有可能存在异方差。

（2）去掉智利的数据后，回归得到如下模型

2? 6.73810.2215(2.8254)(0.3987)

0.0093,.. 3.3906,0.1589

X R s e F =+===

作残差平方对解释变量的散点图

010

1520

E 2

从图形看出，异方差的程度降低了。

（3）比较情况（1）和情况（2），实际上根据所给的数据，我们发现情况（1）的异方差性比情况（2）的异方差性要低。

练习题参考解答

（1）建立样本回归函数。

2?43.89670.8104(2.1891)(37.7771)

0.9854,..60.4920,1427.112

X R s e F =+===

从估计的结果看，各项检验指标均显着，但从残差平方对解释变量散点图可以看出，模型很可能存在异方差。

05000

10000

15000

20000

500

10001500

2000

E 2

（2）用White 检验判断是否存在异方差。

White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared

Probability

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares

Date: 08/08/05 Time: 17:04 Sample: 1978 2000

Included observations: 23

Variable

Coeffic

ient

Std. Error

t-Statis tic

Prob.

C X X^2