《向量在几何中的应用》习题
《向量在几何中的应用》习题
一、选择题
1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝ ( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－6)
C ．(－4，－8)
D ．(－5，－10)
2．(2015·潍坊五校联考)已知向量a ＝(3，4)，b ＝(x ，－3)，c ＝(0，1)，若(a ＋b)·(b －c)＝0，则x ＝
( )
A ．1或－4
B ．－1或4
C ．2或－3
D ．－2或3
3．(2014·济南针对性训练)已知平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝2，且(a －b)⊥a ，则a 与b 的夹角为
( )
A.π
6
B.π
3
C.2π3
D.
5π6
4．(2015·浙江五校联考)已知|a|＝|b|＝|a －2b|＝1，则|a ＋2b|＝
( )
A ．9
B ．3
C ．1
D ．2
5．(2014·南昌模拟)设a ，b 为平面向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，则有
( )
A.AO →＝2OD →
B.AO →＝OD →
C.AO →＝3OD →
D ．2AO →＝OD →
7．平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →
)＝0，则△ABC 的形状是
( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．无法确定
8．已知两点A(1，0)，B(1，3)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝5π
6，设OC →＝
－2OA →＋λOB →
(λ∈R)，则λ等于
( )
A ．－12
B.1
2
C ．－1
D ．1
9．(2014·大连二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对应的三角形的边长，若
4aBC →＋2bCA →＋3cAB →
＝0，则cos B ＝ ( ) A ．－1124
B.1124
C.
29
36
D ．－2936
10．设向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－1
2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c|的最大值
等于
( )
A ．2
B. 3
C. 2
D ．1
二、填空题
11．设向量a ＝(x ，3)，b ＝(2，1)，若对任意的正数m ，n ，向量ma ＋nb 始终具有固定的方向，则x ＝________．
12．(2014·南京、盐城模拟)已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →
，则OA →与
OC →
的夹角大小为________．
13．(2014·成都诊断)如图，在平行四边形ABCD 中，BH ⊥CD 于
点H ，BH 交AC 于点E ，已知|BE →|＝3，AB →2－AC →·AE →＋AC →·BE →－CB →·AE →
＝15，若AE →＝λEC →
，则λ＝________．
14．(2015·日照重点中学诊断考试)在△ABC 中，A ＝60°，M 是AB 的中点，若AB ＝2，BC ＝23，D 在线段AC 上运动，则DB →·DM →
的最小值为________． 15．(2014·合肥质量检测)有下列命题：
①已知a ，b 是平面内两个非零向量，则平面内任一向量c 都可表示为λa ＋μb ，其中λ，μ∈R ；
②对平面内任意四边形ABCD ，点E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则2EF →＝AD →＋BC →
； ③a ＝(1，－1)，A ，B 为直线x －y －2＝0上的任意两点，则AB →
∥a ； ④已知a 与b 夹角为π
6，且a·b＝3，则|a －b|的最小值为3－1；
⑤a ∥c 是(a·b)·c＝a·(b·c)的充分条件． 其中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
三、解答题
16．(2015·沈阳调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2，1)，A(1，0)，B(cos θ，t)．
(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →
的坐标；
(2)若a ∥AB →
，求y ＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值． 17．(2014·潍坊模拟)已知函数f(x)＝sin x ＋cos x. (1)求函数y ＝f(x)在x ∈[0，2π]上的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m ＝(a ，b)， n ＝(f(C)，1)，且m ∥n ，求B.
18．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝ (2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos2B
2－1)，且m ∥n.
(1)求锐角B 的大小；
(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值．
19．(2015·惠州模拟)已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →
＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．
(1)若β＝α－π
6
，求向量OA →与OB →的夹角；
(2)若|AB →|≥2|OB →
|对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．
参考答案：
一、选择题
1．解析 由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m)，且a ∥b ，得1×m＝2×(－2)?m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝(－4，－8)． 答案 C
2．解析 a ＋b ＝(3＋x ，1)，b －c ＝(x ，－4)，则(a ＋b)·(b－c)＝(3＋x)x ＋1× (－4)＝x2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4.故选A. 答案 A
3．解析 因为(a －b)⊥a ，所以(a －b)·a＝0，a2－a·b＝0， 1－2×1×cos 〈a ，b 〉＝0，cos 〈a ，b 〉＝12，得〈a ，b 〉＝π
3.
答案 B
4．解析 由|a|＝|b|＝|a －2b|＝1，得a2－4a·b＋4b2＝1， ∴4a·b＝4，∴|a ＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝5＋4＝9， ∴|a ＋2b|＝3. 答案 B
5．解析 由|a·b|＝|a|·|b|可得a ＝0，或b ＝0，或a 与b 的夹角为0°或180°，所以由|a·b|＝|a|·|b|可推得a ∥b.反之，若a 与b 中至少有一个为零向量，则|a·b|＝0，|a|·|b|＝0，可推得|a·b|＝|a|·|b|；
若a 与b 中没有一个为零向量，则由a ∥b 可得a 与b 的夹角为0°或180°，可推得|a·b|＝|a|·|b|.
综上所述，“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分必要条件． 答案 C
6．解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →，即OB →＋OC →＝2OD →＝2AO →，所以OD →＝AO →
，即O 为AD 的中点． 答案 B
7．解析 由(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →
)＝0， 得[(DB →－DA →)＋(DC →－DA →)]·(AB →－AC →
)＝0， 所以(AB →＋AC →)·(AB →－AC →
)＝0.
所以|AB →|2－|AC →|2＝0，∴|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 是等腰三角形． 答案 B
8． 解析 如图，已知∠AOC ＝5π
6，
根据三角函数的定义可设 C ? ??
??
－
32r ，12r ，其中r ＞0. ∵OC →＝－2OA →＋λOB →， ∴? ??
??
－
32r ，12r ＝(－2，0)＋(λ，3λ)， ∴?????－3r 2＝λ－2，r
2＝3λ，解得λ＝12.
答案 B
9．解析 由4aBC →＋2bCA →＋3cAB →
＝0，得 4aBC →＋3cAB →＝－2bCA →＝－2b(BA →－BC →)＝2bAB →＋ 2bBC →
，所以4a ＝3c ＝2b.
由余弦定理得cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝b24
＋4b29－b22·b 2·2b
3
＝－1124.
答案 A
10． 解析 ∵|a|＝|b|＝1，a·b＝－1
2，∴向量a ，b 的夹角为120°.如图所示，设OA →＝a ，
OB ＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →
＝b －c ，则∠AOB ＝120°，∠ACB ＝60°， ∴∠AOB ＋∠ACB ＝180°，
∴A ，O ，B ，C 四点共圆，不妨设为圆M. ∵AB →＝b －a ，∴AB →
2＝a2－2a·b＋b2＝3，
∴|AB →|＝3，由正弦定理，可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径2R ＝|AB →
|sin ∠AOB ＝2，∴当|OC →|
为圆M 的直径时，|c|取得最大值2. 答案
A 二、填空题
11．解析 当a 与b 共线时，向量ma ＋nb 始终具有固定的方向，则1×x＝2×3，所以x ＝6. 答案 6
12．解析 以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，与OA 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则A(1，0)，B(－1，3)，OC →＝12OA →＋14OB →＝? ????14，34.设OA →，OC →
的夹角为θ，θ∈[0，
π]，则cos θ＝OA →·OC →
|OA →||OC →|
＝1
412＝12，所以θ＝π
3.
答案
π3
13．解析 设AE →＝μAC →，由题意知AB →2－AC →·μAC →＋AC →·(μAC →－AB →)－(AB →－AC →)·μAC →
＝15， 即AB →2－(μ＋1)AC →·AB →＋μAC →
2＝15， 得(AB →－AC →)·(AB →－μAC →)＝15，CB →·EB →
＝15， 所以|CB →|·|EB →
|cos ∠CBH ＝BH·EB＝15， 故BH ＝5，EH ＝2，得λ＝BE HE ＝3
2.
答案 32
14．解析 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ，即12＝b2＋4－2b ，即b2－2b －8＝0，解得b ＝4.设AD →＝λ AC →
(0≤λ≤1)，则DB →·DM →＝(AB →－AD →)·(AM →－AD →)＝(AB →－λ AC →)·(12AB →－λ AC →)＝λ2|AC →|2－32λ AB →·AC →＋
12|AB →|2＝16λ2－6λ＋2，当λ＝316时，16λ2－6λ＋2最小，最小值为23
16.
答案
23
16
15．解析 对于①，注意到当a ，b 共线时，结论不正确；对于②，注意到EF →＝EA →＋AD →＋DF →
，EF →＝EB →＋BC →＋CF →，EA →＋EB →＝CF →＋DF →＝0，因此2EF →＝AD →＋BC →
，②正确；对于③，取点A(0，－2)，B(2，0)，则AB →＝(2，2)，此时AB →
＝(2，2)与a 不共线，因此③不正确；对于④，依题意得|a|·|b|cos π
6＝3，|a|·|b|＝2，|a －b|2＝|a|2＋|b|2－23≥2|a|·|b|－23＝
4－23，因此|a －b|的最小值是4－23＝3－1，④正确；对于⑤，注意到，当a ∥c 时，
若a ，c 中有一个为0，等式显然成立，若a ，c 均不为0，可设c ＝ka ，则有(a·b)·c＝(a·b)·ka＝a·(b·ka)＝a ·(b·c)，即由a ∥c 可得(a·b)·c＝a·(b·c)；反过来，由(a·b)·c＝a·(b·c)不能得知a ∥c ，因此“a∥c”是“(a·b)·c＝a·(b·c)”的充分不必要条件，⑤正确．综上所述，其中正确的是②④⑤. 答案 ②④⑤ 三、解答题
16．解 (1)∵AB →
＝(cos θ－1，t)，
又a ∥AB →
，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t. ① 又∵|AB →|＝5|OA →
|，∴(cos θ－1)2＋t2＝5.
②
由①②得，5t2＝5，∴t2＝1.∴t ＝±1.
当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B(－1，－1)，∴OB →
＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－1
2
，
∴y ＝cos2θ－cos θ＋（cos θ－1）2
4
＝54cos2θ－32cos θ＋14＝54? ????cos2θ－65cos θ＋1
4
＝54?
?
???cos θ－352－15，
∴当cos θ＝35时，ymin ＝－1
5
.
17．解 (1)f(x)＝sin x ＋cos x ＝2sin ?
????x ＋π4，
令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π
4(k ∈Z)，
令k ＝0，得－3π4≤x ≤π4，令k ＝1，得5π4≤x ≤9π
4，
又∵x ∈[0，2π]，
∴f(x)在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π4]，[5π
4，2π]．
(2)由题意f(C)＝sin C ＋cos C ，
∵m ∥n ，∴a ·1－f(C)·b＝0，即a ＝b(sin C ＋cos C)，由正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
得sin A ＝sin B(sin C ＋cos C)＝sin Bsin C ＋sin Bcos C.
在△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ， ∴sin Bsin C ＝cos Bsin C. 又sin C ≠0，∴sin B ＝cos B ， ∴tan B ＝1，又∵0＜B ＜π，∴B ＝π
4.
18．解 (1)∵m ∥n ，
∴2sin B ? ????2cos2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3. 又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)， ∴2B ＝2π3，∴B ＝π
3.
(2)∵B ＝π
3
，b ＝2，
由余弦定理cos B ＝a2＋c2－b2
2ac ，
得a2＋c2－ac －4＝0.
又a2＋c2≥2ac ，代入上式，得ac≤4， 当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． 故S △ABC ＝12acsin B ＝3
4ac ≤3，
当且仅当a ＝c ＝2时等号成立， 即S △ABC 的最大值为 3.
19．解 (1)设向量OA →与OB →
的夹角为θ，
则cos θ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝λsin （α－β）|λ|＝λ
2|λ|，
当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝π
3；当λ＜0时，
cos θ＝－12，θ＝2π
3.故当λ＞0时，
向量OA →与OB →的夹角为π
3；当λ＜0时，
向量OA →与OB →的夹角为2π3
.
(2)|AB →|≥2|OB →
|对任意的α，β恒成立，
即(λcos α＋sin β)2＋(λsin α－cos β)2≥4对任意的α，β恒成立， 即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，
所以?????λ＞0，λ2－2λ＋1≥4或?
????λ＜0，λ2＋2λ＋1≥4，解得
λ≥3或λ≤－3.
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
另法一 由λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，可得λ2＋1－2|λ|≥4，解得|λ|≥3或|λ|≤－1(舍去)，由此求得实数λ的取值范围；
另法二 由|AB →|＝|OB →－OA →|≥||OB →|－|OA →||＝||λ|－1|，可得|AB →
|的最小值为 ||λ|－1|，然后将已知条件转化为||λ|－1|≥2，由此解得实数λ的取值范围．