高考数学压轴题之六、十年选择、填空题压轴题讲解教材

1．（2014?）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

2．（2010?）设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x2∈S．给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；

②若m=﹣，则≤n≤1；③若n=，则﹣≤m≤0．其中正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

3．（2014?）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）

A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}

4．（2011?）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆壁的一周，点M，N在大圆所绘出的图形大致是（）

A． B． C． D．

5．（2005?）设f（n）=2n+1（n∈N），P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，记={n∈N|f（n）∈P}，={n∈N|f （n）∈Q}，则（∩C N）∪（∩）=（）

A．{0，3} B．{1，2} C．{3，4，5} D．{1，2，6，7}

6．（2011?新课标）函数y=的图象与函数y=2sinπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8

7．（2014?）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）

A． B． C． D．﹣1

8．（2011?）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）

A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克

9．（2006?）已知函数y=f（x）的图象与函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y=g（x）在区间上是增函数，则实数a的取值围是（）

A．[2，+∞）B．（0，1）∪（1，2）C． D．

10．（2014?）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值围为（）

A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]

11．（2014?）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

12．（2014?）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A． B．4πC．2πD．

13．（2000?）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）

A． B． C． D．

14．（2004?）如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）

A．arcsin B．arccos C．arcsin D．arccos

15．（2005?）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）

A．3个B．4个C．6个D．7个

16．（2005?）在函数y=x3﹣8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0

17．（2014?）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）

A．7 B．42 C．210 D．840

18．（2013?）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

A．08 B．07 C．02 D．01

19．（2011?）在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量=（a，b）从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作为平行四边形的个数为n，其中面积不超过4的平行四边形的个数m，则=（）

A． B． C． D．

20．（2013?）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）?（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}?{1，

A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0

21．（2013?）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值围是（）

A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]

22．（2013?）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=?=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）

A． B． C． D．

23．（2014?）已知△ABC的角A，B，C满足sin2A+sin（A﹣B+C）=sin（C﹣A﹣B）+，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，在下列不等式一定成立的是（）

A．bc（b+c）＞8 B．ab（a+b）＞16 C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24

24．（2002?）已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）

A．（0，1）∪（2，3）B． C． D．（0，1）∪（1，3）

25．（2012?）设a，b，c，∈R+，则“abc=1”是“”的（）

A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要的条件

26．（2010?）记实数x1，x2，…x n中的最大数为max{x1，x2，…x n}，最小数为min{x1，x2，…x n}．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}?min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）

A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

27．（2004?）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC的距离为（）

A．1 B． C． D．2

2．（2014?）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）

A． B． C． D．

28．（2013?）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）

A． B． C． D．

29．（2007?）f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则必有（）

A．af（b）≤bf（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤f（b）D．bf（b）≤f（a）

30．（2008?）已知z∈C，且|z﹣2﹣2i|=1，i为虚数单位，则|z+2﹣2i|的最小值是（）

31．（2014?）设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）

A．60 B．90 C．120 D．130

32．（2007?）以Φ（x）表示标准正态总体在区间（﹣∞，x）取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则概率P（|ξ﹣μ|＜σ）等于（）

A．Φ（μ+σ）﹣Φ（μ﹣σ）B．Φ（1）﹣Φ（﹣1）C． D．2Φ（μ+σ）

33．（2013?）已知x与y之间的几组数据如下表：

x 1 2 3 4 5 6

y 0 2 1 3 3 4

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）

A．＞b′，＞a′B．＞b′，＜a′C．＜b′，＞a′D．＜b′，＜a′

34．（2011?）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）=n﹣k

（1）设k=1，则其中一个函数f（x）在n=1处的函数值为；

（2）设k=4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为．

35．（2010?）设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

④若S为封闭集，则满足S?T?C的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是．（写出所有真命题的序号）

36．（2005?）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f （4）+f（5）= ．

37．（2013?）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= ．

38．（2004?）若直线y=2a与函数y=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值围是．

39．（2012?）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值围是．

40．（2009?）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是．

①相对棱AB与CD所在的直线异面；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；

④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；

⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．

41．（2008?）如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））

A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半

B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P

C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P

D．若往容器再注入a升水，则容器恰好能装满．

其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．

42．（2004?）如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最大．

43．（2011?）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线．

44．（2008?）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．

45．（2002?）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．

46．（2010?）（卷理14）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f （x），则f（x）的最小正周期为；y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为

说明：“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

47．（2010?模拟）关于函数f（x）=4sin（x∈R），有下列命题：

①由f（x1）=f（x2）=0可得x1﹣x2必是π的整数倍；

②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos；

③y=f（x）的图象关于点对称；

④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．

其中正确的命题的序号是．（把你认为正确的命题序号都填上）

48．（2005?）函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值围是．

49．（2005?）ω是正实数，设Sω={θ|f（x）=cos[ω（x+θ）]是奇函数}，若对每个实数a，Sω∩（a，a+1）的元素不超过2个，且有a使Sω∩（a，a+1）含2个元素，则ω的取值围是．

50．（2013?）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．

51．（2007?）2002年在召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于．

52．（2013?）如图，在等腰直角△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上，

（Ⅰ）若OM=，求PM的长；

（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

53．（2006?）将辉三角中的每一个数C n r都换成，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，则= ．

54．（2013?）对于E={a1，a2，...．a100}的子集X={a i1，a i2，...，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2 (x100)

其中x i1=x i2=…x ik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0

（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；

（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，p i+p i+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，q j+q j+1+q j+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为．

55．（2010?）若数列{a n}满足：对任意的n∈N﹡，只有有限个正整数m使得a m＜n成立，记这样的m的个数为（a n）+，则得到一个新数列{（a n）+}．例如，若数列{a n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a n）+}是0，1，2，…，n﹣1…已知对任意的n∈N+，a n=n2，则（a5）+= ，（（a n）+）+= ．

56．（2010?）已知数列{a n}满足a1=33，a n+1﹣a n=2n，则的最小值为．

57．（2008?）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点P k（x k，y k）处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，T（a）表示非负实数a 的整数部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为．

58．（2008?）已知数列{a n}中，，则= ．

59．（2006?）设函数，点A0表示坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），若向量，θn是与的夹角，（其中），设S n=tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则= ．

60．（2005?）已知函数f（x）=2x+log2x，数列{a n}的通项公式是a n=0.1n（n∈N），当|f（a n）﹣2005|取得最小值时，n= ．

61．（2011?）若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．

62．（2010?）若a＞0，b＞0，a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）．

①ab≤1；

②；

③a2+b2≥2；

④a3+b3≥3；

⑤．

63．（2009?）若函数则不等式的解集为．

64．（2013?）定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：

①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a；

②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b；

③若a＞0，b＞0，则；

④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

其中的真命题有（写出所有真命题的序号）

65．（2013?）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．

（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为．

（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）

①?x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；

②?x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；

③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．

66．（2009?）设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：

A．M中所有直线均经过一个定点

B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上

D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．

67．（2009?）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使，则该椭圆的离心率的取值围为．

68．（2009?）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．

69．（2004?）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值围为．

70．（2009?）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0，1]对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标变成，原来的坐标变成1，等等）．那么原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标是；原闭区间[0，1]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n≥1），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为．

72．（2013?）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为．

73．（2013?）在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．

（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；

（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S= （用数值作答）．

74．（2013?）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为．

75．（2011?）给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种，（结果用数值表示）