数列与数学文化
数列与中国文化
1.(2019·山东新高考适应性调研)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2018这2018个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列共有()
A.98项
B.97项
C.96项
D.95项
解析能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故a n＝21n －20，由1≤a n≤2018得1≤n≤97，又n∈N*，故此数列共有97项.
答案B
2.(数学文化)著名的斐波那契数列{a n}：1，1，2，3，5，8，…，满足a1＝a2＝1，
a n＋2＝a n＋1＋a n，n∈N*，那么1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017是斐波那契数列的第________项.
解析1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a2＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a4＋a5＋a7＋a9＋…＋a2017＝a6＋a7＋a9＋…＋a2017＝a8＋a9＋…＋a2017＝…＝a2016＋a2017＝a2018，即为第2018项.
答案2018
3.(2019·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是()
A.174斤
B.184斤
C.191斤
D.201斤
解析用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴8a1＋8×7
2×17＝996，解之得a1
＝65.
∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.
答案B
4.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与
它的前一个单音的频率的比都等于12
2.若第一个单音的频率为f，则第八个单音
的频率为()
A.3
2f B.
3
22f C.
12
25f D.
12
27f
解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为12
2的等比数列，
设此数列为{a n}，则a8＝12
27f，即第八个单音的频率为
12
27f.
答案D
5.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
解析设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则依题意S7
＝381，公比q＝2.∴a1（1－27）
1－2＝381，解得a1
＝3.
答案B
6.某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？
解设该学生工作n天，每天领工资a n元，共领工资S n元，则第一种方案a n(1)＝38，S n(1)＝38n；
第二种方案a n(2)＝4n，S n(2)＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝2n2＋2n；
第三种方案a n(3)＝0.4×2n－1，S n(3)＝0.4（1－2n）
1－2＝0.4(2
n－1).
令S n(1)≥S n(2)，即38n≥2n2＋2n，解得n≤18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).
令S n(1)≥S n(3)，即38n≥0.4×(2n－1)，
利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，
所以少于10天时，选择第一种方案.
比较第二、第三种方案，S10(2)＝220，S10(3)＝409.2，S10(3)>S10(2)，…，S n(3)>S n(2).所以等于或多于10天时，选择第三种方案.
7.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N 的大小关系是(
)A.ω>N
B.ω C.ω＝N D.不确定解析投入资金逐月值构成等比数列{b n }，利润逐月值构成等差数列{a n }，等比数列{b n }可以看成关于n 的指数式函数，它是凹函数，等差数列{a n }可以看成关于n 的一次式函数.由于a 1＝b 1，a 12＝b 12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a 1＋a 2＋…＋a 12比总投资N ＝b 1＋b 2＋…＋b 12大，故选A. 答案A 8．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏解析：选B 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1(1－27)1－2 ＝381，解得a 1＝3.9．[数学建模]一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB ＝210KB)． 解析：由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，∵2n ＝64×210＝216，∴n ＝16，即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟)． 答案：48 10.(1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( ) A ．60里 B ．48里 C ．36里 D ．24里(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a 元的一年期定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元． [解析](1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为12 的等比数列{a n }， 设等比数列的首项为a 11－12 378，解得a 1＝192，所以a 4＝192×18＝24，a 5＝24×12 ＝12，则a 4＋a 5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里． (2)2022年1月1日可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p ) ＝a p [(1＋p )5－(1＋p )]＝a p [(1＋p )5－1－p ]．[答案](1)C (2)a p [(1＋p )5－1－p ]