初中数学经典几何题及答案-附知识点及结论总结

经典难题（一）

1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）

2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、

CC 1、DD 1的中点．

求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC

的延长线交MN 于E 、F ．

求证：∠DEN ＝∠F ．

经典难题（二）

A P C D

B A F

G C

E B

O D D 2 C 2

B 2 A 2

D 1 C 1 B 1

C B D

A A 1 B

F

1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O

（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）

2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB

及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）

3、如果上题把直线MN 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）

4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC CBFG ，点P 是EF 的中点．

求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

经典难 1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝求证：CE ＝CF ．（初二）

2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．

求证：AE ＝AF ．（初二）

3、设P 是正方形ABCD 一边

求证：PA ＝PF ．（初二）

4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF

B 、D ．求证：AB ＝D

C ，BC ＝A

D ．（初三）

经典难

1、已知：△ABC 是正三角形，P

求：∠APB 的度数．（初二）

2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）

3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝

4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） 经典难题（五）

1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝

≤L ＜2．

2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC

3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a

4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC

0，

∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．

经典难题（一）

1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆，所以∠GFH ＝∠即△GHF ∽△OGE,可得

EO GF =GO GH =CO

CD

,又CO=EO ，所以CD=GF 得证。

2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形

3.如下图连接BC

1和AB

1

分别找其中点F,E.连接C

2

F与A

2

E并延长相交于Q点，

连接EB

2并延长交C

2

Q于H点，连接FB

2

并延长交A

2

Q于G点，

由A

2E=1

2

A

1

B

1

=1

2

B

1

C

1

= FB

2

，EB

2

=1

2

AB=1

2

BC=F C1 ，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，

可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，

又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,

从而可得∠A2B2 C2=900 ，

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠

DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,

又∠F=∠ACB=∠BHD，

可得BH=BF,从而可得HD=DF，

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，

从而可得∠BOM=600,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于

2

2

AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG

，

由此可得△ADF ≌△ABG ，从而可得∠AFC=∠AGE 。

又因为PFOA 与QGOA 四点共圆，可得∠AFC=∠AOP 和∠AGE=∠AOQ ， ∠AOP=∠AOQ ，从而可得AP=AQ 。

4.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。可得PQ=

2

EG

FH 。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。 从而可得PQ=

2

AI BI

=

2

AB

，从而得证。

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG. 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。 推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。又∠EFC=∠DFA=450+300=750.

可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，

可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，

又∠FAE=900+450+150=1500，

从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。

tan∠BAP=tan∠EPF=X

Y

=

Z

Y X Z

，可得YZ=XY-X2+XZ，

即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ，得到PA＝PF ，得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.

可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

BE BC =

AD

AC

，即AD?BC=BE?AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

AB AC =

DE

DC

，即AB?CD=DE?AC，②

由①+②可得: AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)= AC·BD ，得证。

4.过D 作AQ ⊥AE ，AG ⊥CF ，由ADE S

=

2

ABCD

S

=DFC

S

，可得：

2AE PQ =2

AE PQ

，由AE=FC 。 可得DQ=DG ，可得∠DPA ＝∠DPC （角平分线逆定理）。

经典难题（五）

1.（1）顺时针旋转△BPC 600 ，可得△PBE 为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要AP ，PE ，EF 在一条直线上，

即如下图：可得最小L=；

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D，F。

由于∠APD>∠ATP=∠ADP，

推出AD>AP ①

又BP+DP>BP ②

和PF+FC>PC ③

又DF=AF ④

由①②③④可得：最大L< 2 ；

由（1）和（2）既得：≤L＜2 。

2.顺时针旋转△BPC 600，可得△PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，

即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。

既得213(1) = 2

3=

4

23

=

2

31) = 1)2 =

62

。

3.顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：

既得正方形边长L = 22

22(2

)(

)a = 522a 。

4.在AB 上找一点F ，使∠BCF=600 ，

连接EF ，DG ，既得△BGC 为等边三角形，

可得∠DCF=100 , ∠FCE=200 ,推出△ABE ≌△ACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。

推出 ： △FGE 为等边三角形 ，可得∠AFE=800 ，

既得：∠DFG=400 ① 又BD=BC=BG ，既得∠BGD=800 ，既得∠DGF=400 ② 推得：DF=DG ,得到：△DFE ≌△DGE ， 从而推得：∠FED=∠BED=300 。

附：平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||

AB AB ±

)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三

点A B C 、、共线? AB AC 、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若

(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322

a b -）；

4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，

AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，

反向，当θ＝

2

π

时，，垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量

||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC 中，3||=?→

?AB ，4||=?→

?AC ，5||=?→

?BC ，则=?_________（答：－9）；

（3）在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→

a ，

5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：

5

12） （4）a ?b 的几何意义：数量积a ?b 等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：①0a b a b ⊥??=；

②当，同向时，?＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =?==；当与反向时，

?＝－a b ；当θ为锐角时，?＞0，且 a b 、不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要

非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b 、

不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b

θ?=

；④||||||a b a b ?≤。如（1）

已知)2,(λλ=→

a ，)2,3(λ=→

b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：4

3λ<-或0λ>且13

λ≠）

； 6、向量的运算： （1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；

②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；

（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：

①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，

(7,10)C ，若()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上

（答：

12

）；

②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设(2,3),(1,5)A B -，且1

3

AC AB =，

3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11

(1,

),(7,9)3

-）

； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+。如已知向量a ＝（sinx ，cosx ）, b ＝（sinx ，sinx ）, c ＝（－1，0）。（1）若x ＝

3

π

，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数

b a x f ?=λ)(的最大值为21，求λ的值（答：1

(1)150;(2)2

或21--）

； ⑤向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =

+==+。如已知,a b 均为单位向量，它们的夹

角为60，那么|3|a b +＝_____（答：13）；

⑥两点间的距离：若()()1122,,,A x y B x y ，则()()

22

2121||AB x x y y =

-+-。如如

图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）

若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）2

2

10x y xy ++-=）；

7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，()

()a a λμλμ=，a b b a ?=?；(2)结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ?=?=?；（3）分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +?=?+?。如下列命

题中：① →

→→

→→

→

→

?-?=-?c a b a c b a )(；② →

→

→→

→→

??=??c b a c b a )()(；③ 2

()a b →

→

-2

||a →

=

2

2||||||a b b →→→

-?+；④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→

b ；⑤若,a b

c b ?=?则a c =；

⑥2

2

a a =；⑦

2

a b b a

a

?=

；⑧222()a b a b ?=?；⑨22

2()2a b a a b b -=-?+。其中正确的是

______（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，