菱形的性质与判定

菱形的性质与判定

目标:

掌握菱形的定义，了解菱形与平行四边形的关系；掌握菱形的性质与判定；能运用菱形性质与判定解决相关问题；通过实际应用提高学生用数学的意识。重点:

菱形的性质及判定

难点：

区别菱形的性质与判定并正确运用其解决相关问题。

知识要点：

1、菱形的定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

2、菱形的性质：

性质1菱形的四条边相等。

性质2菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角。

已知：菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O（如图1）

求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝AD（菱形的四条边相等）

在等腰△ABD中，∵BO＝OD，

∴AC⊥BD，AC平分∠BAD。

同理：

AC平分∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC。

图1

3、菱形面积计算方法：

(1) S＝底×高

(2) S＝对角线1×对角线2＝ab

例已知菱形ABCD的边长为2cm ，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O（如下图），求这个菱形的对角线长和面积。

解：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，∠BAO＝＝×120°＝60°

（菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）

在Rt△AOB中，

∵∠ABO＝90°－∠BAO＝30°

∴AO＝＝×2＝1（cm）

BO＝（cm）

∵AO＝，BO＝

∴AC＝2AO＝2（cm），BD＝2BO＝2（cm）

＝AC×BD＝2（cm2）

∴S

菱形ABCD

4、菱形的判定：

判定定理1四边都相等的四边形是菱形。

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

本周典型例题分析：

1．已知：如图，□ABCD中，AB=2BC，E、F是直线BC上的点，BE=BC=CF，求证：AF⊥ED

分析：若连结MN，欲证DE⊥AF，只要证四边形AMND是菱形。

证明：连结MN

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD BC，AB DC

在△ABF中，∵BC=CF，AB∥CN

∴AN=NF

又∵AD∥BF，∴DN=NC

同理可证：AM=MB

又∵AB=2BC

∴AM DN，

∴四边形AMND是平行四边形

而AD=DN，∴四边形AMND是菱形

∴AN⊥MD，即AF⊥ED

换个思路想一想，如果利用“如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半，那么这条边所对的角是直角。”这个直角三角形的判定定理,如何证？

解法2：如图，延长BE至G，使得EG=EB，

连结AG

∵AB=2BC，EB=BC=CF

∴在△AGF中，AB=GB=FB

∴∠GAF=90°，即GA⊥AF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD BC

又∵GE=BC，∴GE AD

∴四边形AGED是平行四边形

∴AG∥ED，

∴AF⊥ED

想一想，例1还有哪些证法？

2. 已知：如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACB=90°，AF平分∠BAC，

交CD于E，FG⊥AB于G，求证：四边形GFCE是

菱形

分析：可先证四边形GFCE是平行四边形，再证

它是菱形

证明：如图所示，

∵AF平分∠BAC，FG⊥AB、FC⊥AC，

∴FG=FC

在△ABC中，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠B=∠ACD

∴∠CEF=∠CAF+∠ACD=∠BAF+∠B=∠EFC

在△CEF中，∵∠CEF=∠CFE，∴CE=CF

又∵CD⊥AB，FG⊥AB

∴CE FG

∴四边形CEGF是平行四边形

又∵CE=CF

∴四边形CEGF是菱形

3. 已知：如图，四边形ABCD中，

∠ADC=90°，AC=CB，E、F分别是AC、AB的中点，

∠DEA=∠ACB=45°，BG⊥AE于G点。求证：

(1)四边形AFGD是菱形；

(2)若AC=BC=10cm，求菱形AFGD的面积。

证明提示：

①在Rt△ABG中，由F是斜边AB的中点，可得AF=GF

②在△ABC中，若连结EF，由E、F分别是AC、AB的中点，得EF BC，

而由已知，AC=CB，，则DE=EF，

由EF∥BC，则∠AEF=∠ACB=45°

③连结DF，由DE=FE，AE平分∠DEF，则AE垂直平分DF，从而AD=AF，GD=GF

④由AF=FG=GD=DA，得四边形AFGD为菱形

(2)解法提示：

①

②

③

4．请阅读下列材料：

问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．

小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；

（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线

恰好与菱形的边

在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）

中得到的两个结论是否发生

变化？写出你的猜想并加以证明．

解：（1）线段与的位置关系是；．

（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．

证明：如图，延长交于点，连结．

是线段的中点，

．

由题意可知．

．

，

．

，．

四边形是菱形，

，．

由，

且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直

线上，

可得．

．

四边形是菱形，

．

．

．

，．

．

即．

，，

，．

．

5. 已知：如图，由菱形ABCD的顶点C作CF⊥射线AD于F点，CE⊥射线AB于E点，试确定CF与CE的大小关系，并证明你的结论。

分析与提示：对于提出的猜想CF=CE，许多同学采

取证明△CFD≌△CEB，但是此方法显然不如“连结AC”

这个证法好。

解：CF=CE证明如下，连结AC∵四边形ABCD是

菱形，

∴∠CAE=∠CAF

又∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴CF=CE

6. 已知：如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于H，交CB 的延长线于F点，交AB于G点。

求证：AB与EF互相平行分于G点

分析：欲证AB与EF互相平分于G点，连结AF、EB，只要证四边形AFBE

是平行四边形，又需证AE FB，为此，就要考虑E

是AD边中点及EF⊥AC的条件如何运用。

证明：如图，分别连结AF、BE、BD∵四边

形ABCD是菱形

∴AD∥BC，AC⊥BD

又∵EF⊥AC，∴EF∥BD

∵EF∥BD，ED∥FB

∴四边形EFBD是平行四边形∴ED FB

又∵AE=ED,∴AE FB

∴四边形AFBE是平行四边形∴AB、EF互相平分于G点