九年级数学实际问题与一元二次方程1(20200806105855)

一元二次方程的基本解法

第一讲：一元二次方程的基本解法【知识要点】 ① 一元二次方程及其标准形式：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程叫一元二次方程。形如ax 2+bx+c=0(a 、b 、c 为常数，且a≠0)的方程叫一元二次方程的标准形式。任何一元二次方程都可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等过程，转化为标准形式。 ② 一元二次方程的解法主要有：直接开方法、配方法、求根公式法、因式分解法。一元二次方程的求根公式为x 1,2=)04(2422≥--±-ac b a ac b b . ③一元二次方程解（根）的含义：使方程成立的未知数的值【经典例题】例1、直接开平方法（1）x 2－196＝0; （2）12y 2－25＝0；（3）（x ＋1）2－4＝0；（4）12（2－x ）2－9＝0. 例2 、配方法：（1）x 2－2x ＝0；（2）2 12150x x +-= （3）24x 2x 2=+ （4）17x 3x 2+= 例3 、求根公式法： (1) 1522-=x x (2) 052222 =--x x

（3）（x ＋1）（x －1）＝x 22 （4）3x (x －3) ＝2(x －1) (x ＋1). 例4 、因式分解法： (1) x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. (2)4x 2 ＋19x －5＝0； (3) ()()2232 -=-x x x （4）x （x ＋1）－5x ＝0. 例5、换元法解下列方程：（1）06)12(5)12(2=+---x x (2) 06)1 (5)1(2=+---x x x x 例6、配方法的应用：求证：代数式122+--x x 的值不大于 4 5.

九年级数学专训1一元二次方程的解法归类

2020-2021学年专训1　一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果．限定方法解一元二次方程形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解

6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )　A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( )　A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝

七年级一元二次方程

二元一次方程二元一次方程：每个方程都含有两个未知数（x 和y ），并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做二元一次方程。二元一次方程的解：是二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程和在一起，就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程组的解：二元一次方程组两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。代入消元法：例1 二元一次方程组的解法加减消元法：巩固提升：用代入消元法解下列方程组（1）???=+=53x y x （2）???==+y x y x 3232 （3）? ??+-=+8257 3y x y x 练习： 1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）Ａ、???=+=321y x Ｂ、???=-=+01y x y x Ｃ、???==+01xy y x Ｄ、???=-=1 2y x x y 2、已知x ，y 的值：①???==22y x ②???==23y x ③???-=-=23y x ④? ??==66 y x 其中，是二元一次方程42=-y x 的解的是（）Ａ、① Ｂ、② Ｃ、③ Ｄ、④ 3、若方程826=-y kx 有一解?? ?=-=2 3 y x 则k 的值等于（）Ａ、61 - Ｂ、61 C 、32 Ｄ、3 2- 4、已知一个二元一次方程组的解是???-=-=2 1 y x 则这个方程组是（）Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、 ???=-=+23xy y x ???=--=+123y x y x ???-=-=32x y y x ?????-=+=-4 21 6 532y x y x

九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章一元二次方程第 1 讲一元二次方程概念及解法知识要点】 . 知识结构网络、一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x 2 b b 0 或 2 x a 2 b 的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。 2. 因式分解法解方程的步骤：（ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（ 3）令每个一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为（x m ）2 n 的形式（ 5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式 ax 2 bx c 0 ，确定 a 、 b 、 c 的值；（2）计算 2 2 b b 2 4ac b 2 4ac 的值并判别其符号；（3）若b 2 4ac 0，则利用公式 x 求方程的解，若 2a 2 b 2 4ac 0，则方程无实数解。典型例题】 2

解：(3x 1)( 2x 3) 0 ，x 2 解： x 2 11 4 经典练习】、直接开方法二、配方法注：（1） 2x 2 2x 30 0 二、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 2 （1）x 2 2x 2 0； ∴ 3x 1 0或 2x 2)3x 2 4x 1（用公式法）解： 3x 4x 4) 2 3×( 1) 28 0 ( 4) 28 2 × 3 ±7 x 1 27 3 ，x 2 2 3 27 3 3） 2x 2 2x 30 用配方法） x 2 (x 2 x 2 22 4) ( 42) 2 4 15 ( 42)2 121 8 ∴ x 1 3 2， x 2 5 2 2 1) (x 1)2 (1 2x)2 2)(x a)2 b x 1 15 ∴x 2 2)3x 2 4x 1

一元二次方程的解法(二)配方法(基础)

一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础）【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】

初中数学七年级一元二次方程的四种解法

二元一次方程组知识点 1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。 2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。 4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数由多变少。（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这个方法叫做代入消元法，简称代入法。（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤： 1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”. 2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。 3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。 4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代” 5、把x、y的值用｛联立起来即“联”｝ 6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。（2）用加减消元法解二元一次方程组的解 1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数也不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。 2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。 3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。 4、将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。 5、把求得的两个未知数的值用{联立起来，即“联”。二元一次方程组应用题 1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即： 2、审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； 3、找：找出能够表示题意两个相等关系； 4、列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； 5、解：解这个方程组，求出两个未知数的值； 6、答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案一．解答题（共16小题）

实际问题与一元二次方程(单、双循环)

实际问题与一元二次方程—比赛问题教学目标知识技能:能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型.能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理. 数学思考:经历将实际问题抽象成为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对其进行描述. 解决问题:通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性发展实践应用意识. 情感态度:通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点: 体育比赛场次中的数量关系。教学难点:发现问题中的等量关系. 教学过程设计回顾引入：解下列方程 x （x －1）=90 x(10－x)=24 x （x+2）=168 452)1(=-n n 202 )3(=-n n 新课讲授要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排15场比赛，问应邀请多少个球队参加比赛？分析思考：1、什么是单循环？ 2、什么是双循环？解：设邀请x 个球队参加比赛。

拓展变形：举办一次足球联赛，赛制为双循环形式，一共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？归纳总结当个体为x 个，总数为n 时单循环公式：n x x =-2 )1( 双循环公式：x （x －1）=n 做题时先判断是单循环还是双循环，再套公式变式练习，巩固强化 1、在一个QQ 群里有n 个网友在线，每个网友都向其他网友发出一条信息，共有20条信息，则n 为（）（思考：这题是循环） A 、10 B 、6 C 、5 D 、4 2、一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送了 72 张，则这个小组共有多少人？（思考：这题是循环） 3、一次开会时，同事们见面后，倍感亲切，相互握手恭贺，这次共握手 28 次，一共有多少人参加开会？（思考：这题是循环）小结：1、怎样判断单、双循环。 2、套用公式作业：各教师自定

数学人教版七年级上册一元二次方程

21．1 一元二次方程一、教学内容解析 1、内容一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的项与系数和一元二次方程的解（根）． 2、内容解析本节在引言的基础上，安排了两个实际问题，得出一元二次方程的具体例子，然后再引导学生观察出它们的共同点，给出一元二次方程的概念及其表示. 一元二次方程的一般形式是以未知数的个数和次数为标准定义的，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），根据概念的要求，在具体例子的归纳方向上做出引导，有利于学生思考并给出辨析性问题“为什么规定a≠0” 本节都有列方程的内容，这样安排既可以使学生认识引入一元二次方程概念的必要性，也可以分散列方程这一教学难点，循序渐进地培养由实际问题抽象出方程模型的能力。本节的重点是理解一元二次方程及其有关概念，期中设计一元二次方程根的概念，但是教学中不要过早把学生的注意力引向解方程. 二、教学目标设置知识与技能使学生正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项及系数，一次项及系数，常数项，并知道一元二次方程的解（根）. 过程与方法 1、经历由事实问题抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使学生体会到，一元二次方程是刻画现实世界中的数量关系的一个有效模型 2、通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，

使学生对概念的理解具备完整性和深刻性. 情感态度与价值观通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识. 教学目标解析达成目标标志：学生能从实际问题抽象出一元二次方程并理解认识一元二次方程，及其一般形式，识别二次项及系数，一次项及系数，常数项，并知道一元二次方程的解（根）. 学生能积极参与交流讨论，得出结论使学生对概念的理解更加完整和深刻. 三、学生学情分析学生在七年级和八年级已经学习了一元一次方程，二元一次方程组，分式方程，学生已经对整式方程和分式方程有了辨析，整式方程按其中未知数（元）的个数和未知数的最高次数分类，在教学过程中也是通过这三个方面来掌握本节课的重点一元二次方程的概念。为了通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识，从中抽象出一元二次方程成为本节课的难点. 四、教学策略分析 1、本节课采用了概念教学的一半进程：分析典型丰富的具体例证，抽象不同事例的共同特征、舍弃非本质特征，概括得到概念，给出符号表示，并对关键词进行辨析，再通过例子巩固概念. 2、难点突破方法：通过问题设计引导学生进行分析，并通过交流、讨论得出结论. 教学难点：理解一元二次方程及其有关概念. 教学重点：通过现实问题认识概念，增强学生对一元二次方程与现实生活的联系的认识，从中抽象出一元二次方程. 教学方法：引导、探究式教学

一元二次方程的实际问题

一元二次方程的实际问题一、传播问题例：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？归纳总结：按这样的感染速度，n轮后有多少台电脑被感染？第1轮：（1+x）第2轮： 1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（） A．5 B．6 C．7 D．8 二、变化率问题例：2010年某市出口贸易总值为22.52亿美元，至2012年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来该市出口贸易的高速增长．（1）求这两年这个市出口贸易的年平均增长率；（2）按这样的速度增长，请你预测2013年这个市的出口贸易总值．（温馨提示：2252=4×563，5067=9×563） 2、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．三、数字问题

1、有一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，则原来的两位数为． 2、已知有一个两位数，它的十位数字比个位数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数． 3、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．四、销售利润问题 1、百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 2、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间满足一次函数关系y=kx+b．且当x=7时，y=2000；x=5时，y=4000．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实

一元二次方程及解法归类

寒假培训八年级下数学资料一、一元二次方程及其相关概念 1、只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0(a,b,c 是已知数且0≠a )，其中ax 2叫做 ________, bx 叫做_______, a 叫做___________系数，b 叫做___________系数，c 叫做_________. 典型例题： 1. 下列方程是一元二次方程的有___________ (1) 215)25(3x x x =-.(2) 035)12(22=---x x ; (3) 2 33432-+x x =0; 【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( ) A. x 2+2x+1=0 B. x 2=1-3x C. +1=0 D. x 2+x=(x+1)(x-2) 2. 方程4x 2=13-2x 化为一般形式为_____________，它的二次项系数是______, 一次项系数是 ________，常数项是______. 【变式练习】把一元二次方程（1-3x ）(x+3)=2x 2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________. 3. ; 4. 当m=______时，关于x 的方程(m-2)x 2+mx=5是一元一次方程；当m______时，关于x 的方程 (m-2)x 2+mx=5是一元二次方程。【变式练习】已知m 是方程012=--x x 的一个根，则m m -2=（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5. 关于x 的方程01)1(1=+++-kx x k k 是一元二次方程，则k 的值为________ 【变式练习】已知关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-k x x k 的一个根是0，则k=_______ 二、直接开平方法若x 2 =25,由平方根定义可以知：5±=x , 即x 1=5, x 2=-5；若（2x-1）2=5,那么2x-1=±______, 即2x-1=______, 2x-1=_____; 从而可以得到方程两根为：x 1=______, x 2=_______ 、解下列方程：（1）1) 3(2=+x （2）18)54(22=-x 三、配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 化二次项系数为1； ② 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

七年级数学下一元二次方程

二元一次方程组复习学案一、知识回顾 1.1 建立二元一次方程组（1）二元一次方程：叫二元一次方程。（2）二元一次方程组：叫做二元一次方程组。（3）方程组的解：叫方程组的一个解。例题： 1、下列各方程哪个是二元一次方程（） A 、8x －y ＝y B 、xy ＝3 C 、2x2－y ＝9 D 、 2、已知是方程2x ＋ay ＝5的解，则a ＝。同类练习： 1、下列方程组：（1）（2）（3）（4）中，属于二元一次方程组的是（）（A ）只有一个（B ）只有两个（C ）只有三个（D ）四个都是 2、是二元一次方程ax －2＝－by 的一个解，则2a －b －6的值等于。 1.2 二元一次方程组的解法（1）解二元一次方程的基本思想：。（2）代入消元法：这种解方程组的方法叫做代入消元法。（3）加减消元法：这种解方程组的方法叫做加减消元法。例题： 1、由2x －3y －4＝0，可以得到用x 表示y 的式子y ＝。 2．以下方程，与???=+=+75252y x y x 不同解的是（） A ．???=+=+104252y x y x B ．? ??=+=+75214104y x y x C ．???=+=+2352y x y x D ．???=+=+7523y x y x 3、已知方程组的解是，则2m+n 的值为。 4、选择恰当的方法解下列方程组 21=-y x ???==12y x ???-==-1253y x y x ???==+y x xy 01? ??+=+=+416z y y x ???=+=326x y x ???-==12y x ???=+=+30ny x y mx ???-==21y x

九年级数学一元二次方程练习题

九年级数学一元二次方程练习题一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下面关于的方程中：①;②;③; ④();⑤-1.一元二次方程的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列方程中，一定有实数解的是() 3.要使方程+是关于的一元二次方程，则() A.B. C.且 D.且 4.若，则的值是() 5.若关于的一元二次方程有实数根，则() 6.一元二次方程的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是() 8.某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价() 9.一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，?则这个两位数为() 10.已知分别是三角形的三边长，则方程的根的情况是() A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根

C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根二、填空题(每小题3分，共24分) 11.若是关于的一元二次方程，则不等式的解集是________. 12.已知关于的方程的一个根是，则_______. 13.关于的一元二次方程的一个根为，则实数的值是_______. 14.若(是关于的一元二次方程，则的值是________. 15.若且，则一元二次方程必有一个定根，它是_______. 16.若矩形的长是，宽是，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_______. 17.若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是__________. 18.关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为. 三、解答题(共46分) 19.(5分)在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程(43)的解. 20.(5分)求证：关于的方程有两个不相等的实数根. 21.(5分)方程较大根为，方程较小根为，求的值. 22.(6分)若方程的两根是和，方程的正根是，试判断以为边长的三角形是否存在.若存在，求出它的面积;若不存在，说明理由. 23.(6分)已知关于的方程(的两根之和为，两根之差为1，?其中是△的三边长. (1)求方程的根;(2)试判断△的形状. 24.(5分)在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长.

一元二次方程实际问题

22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）启东市合作初级中学：董燕飞

当堂反馈（10分钟）一、选择题 1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、?三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（）． A ．100（1+x ）2=250 B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250 C ．100（1-x ）2=250 D ．100（1+x ）2 2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，?所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）． A ．（1+25%）（1+70%）a 元 B ．70%（1+25%）a 元 C ．（1+25%）（1-70%）a 元 D ．（1+25%+70%）a 元 3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，?售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为（）． A ．100p p + B ．p C ．1001000p p - D ．100100p p + 二、填空题 1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x ，第一年的产量为6万kg ，?第二年的产量为_______kg ，第三年的产量为_______，三年总产量为_______． 2．某糖厂2002年食糖产量为at ，如果在以后两年平均增长的百分率为x ，?那么预计2004年的产量将是________． 3．?我国政府为了解决老百姓看病难的问题，?决定下调药品价格，?某种药品在1999年涨价30%?后，?2001?年降价70%?至a?元，?则这种药品在1999?年涨价前价格是__________．三、综合提高题 1．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率2．洛阳东方红拖拉机厂一月份生产甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，?从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐年递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比是3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，?求乙型拖拉机每月的增长率及甲型拖拉机一月份的产量． 3．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．（1）如果第一年的年获利率为p ，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式来表示）（注：年获利率=年利润年初投入资金 ×100%）（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

一元二次方程的解法归纳总结

一元二次方程综合一元二次方程的解法归纳总结一元二次方程的解法是每一个中学生都必须掌握的,共有5种解法,其中直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法是教材上重点讲解的四种方法,并没有提到换元法,我们在这次归纳总结中给于详细的讲解.另外,还将介绍某些特殊的一元二次方程的解法. 在上面提到的四种解一元二次方程的方法中,直接开平方法是最直接的方法,因式分解法是最简单的方法,配方法是最基本的方法,而公式法是最万能的方法. 我们要根据一元二次方程的特点选择合适的解法,如一元二次方程缺少一次项,选择用直接开平方法求解;一元二次方程缺少常数项,选择用因式分解法（缺常选因）求解. 一、直接开平方法解形如（≥0）和（≥0）的一元二次方程,用直接开平方法. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤: （1）把一元二次方程化为（≥0）或（≥0）的形式; （2）直接开平方,把方程转化为两个一元一次方程; （3）分别解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 注意: （1）直接开平方法是最直接的解一元二次方程的方法,并不适合所有的一元二次方程的求解; （2）对于一元二次方程,当时,方程无解; （3）对于一元二次方程: 当时,一元二次方程有两个不相等的实数根; 当时,一元二次方程有两个相等的实数根; 当时,一元二次方程没有实数根. 例1. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解.当一元二次方程缺少一次项时,考虑使用直接开平方法求解.

解:（1） ∴; （2） ∴. 例2. 解下列方程: （1）; （2）. 分析:观察到两个方程的特点,都可以化为（≥0）的形式,所有选择用直接开平方法求解. 解:（1） ∴或 ∴; （2） ∴ ∴或 ∴. 习题1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是【】（A）（B）（C）（D）习题2. 若,则_________.

人教版七年级数学上册第三章：一元二次方程基础检测题

人教版七年级数学上册第三章《一元一次方程》基础检测题 (时间：80分钟满分：100分) 一、单项选择题(共12题,共48分) 1.下列方程为一元一次方程的是（）. A. x 2-4x=3 B.x=0 C.x+2y=3 D. x-1=x 1 2.已知方程2x+3=5，则等于（） A. 15 B. 16 C.17 D. 34 3.若关于x 的方程mx m-2-m+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（）. A. 0 B. 3 C.-3 D. 2 4.下列等式变形正确的是（）. A.如果s=21ab ，那么b=a s 2； B.如果 2 1 x=6，那么x=3； C.如果x-3=y-3 ，那么x-y=0； D.如果mx=my ，那么 x=y. 5.下列解方程去分母正确的是( ) A.由,得； B.由 ,得； C.由 ,得； D.由 ,得 . 6.服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多（）. A ．60元 B ．80元 C ． 120元 D ．180元 7.把一根长为100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm ，则锯出的木棍不可能是（） A ．65cm B ．35cm C ． 65cm 或35cm D ．70cm 8.某市举行的青年歌手大奖赛今年共有人参加，比赛的人数比去年增加20%还多3人，设去年参赛的有x 人，则为（）. A. B. C. D. 9.某校七年级数学竞赛共有10道题，每答对一题得5分，不答或答错一题倒扣3分，要得到34分，必须答对的题数是（）. A.6 B. 7 C.9 D.8 10.某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人（）. A.赚16元 B.赔16元 C.不赚不赔 D.无法确定 11.某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造成林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把公顷旱地改成林地，则可列方程为（）. A. B. C. D. 12.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是（）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(共6题,共24分) 13.当=m_________时，方程的解为2x+m=x+1,x=-4 14.当=x_________时，式子与的值互为相反数． 15.甲水池有水31吨，乙水池有水11吨，甲池的水每小时流入乙池2吨，________小时后，甲池的水与乙池的水一样多.

人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习

一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的 a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。

当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。 5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。练习一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是（） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（）Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --=

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义课题一元二次方程的解法教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

实际问题与一元二次方程的几种常见模型

实际问题与一元二次方程的几种常见模型繁殖问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？解：1设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得 1+x+（1+x）x=81 整理得： X2 +2x-80=0 解得 X1=8 x2=-10(舍去) 三轮后被感染的电脑总数为： 1+ x+ x（x +1）+x（x +1）2=739(台) 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑为739台，超过700台 2．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x小分支，依题意得 1+x（x +1）=91 解得：X1=9 x2=-10(舍去) 答：每个支干长出9小分支

单（双）循环问题 1．参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？解：设共有x队参加依题意列方程得 x（x -1）=90 解得：X1=10 x2=-9(舍去) 答：共有10队参加 2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会? 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得 2)1 (- x x=66 解得：X1=12 x2=-11(舍去) 答：共有12人参加聚会 3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得 2)1 (- x x=28 解得：X1=8 x2=-7(舍去) 答：应邀8个球队参加 4.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少人? 解：有x人，依题意列方程得