信号与系统复习要点.2

信号与系统复习 第一章 信号与系统 1、信号的分类

①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足

f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足

f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号

2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）

2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号

3.1 单位冲激函数的性质

f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)

例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质

4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）

②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]

T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2

(·) }, {0}](零状态线性)

)0(d )()(f t t t f =?∞∞

-δ)

(d )()(a f t a t t f =-?

∞

∞-δ?d )()4

sin(9

1=-?

-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=?∞∞

-δ)

0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=?

∞

∞

-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞

∞-?

t t t t t

t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ?=)(||1)(t a at δδ=)(||1

)(00a t t a t at -=-δδ)

0()()(f k k f k =∑

∞-∞

=δ

T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性)

4.4时不变系统与时变系统

T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d

)(时不变性质)

直观判断方法：

若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI 连续系统的微分特性和积分特性

①微分特性：

若 f (t ) → y f (t ) ， 则 f ’(t ) → y ’ f (t ) ②积分特性：

若 f (t ) → y f (t ) ， 则

4.5因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述

第二章 连续系统的时域分析 1、LTI 连续系统的响应 1.1微分方程的经典解

y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）

描述某系统的微分方程为

y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t)

求（1）当f(t) = 2e -t

，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t

，t ≥0；y(0)= 1，y ’(0)=0时的全解 2、冲激响应

系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法

①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等 ②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()

()d t t dt

εδ=

例y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)

求其冲激响应h(t)。 3、阶跃响应

系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。 4、卷积积分

4.1定义 1212()()()()f t f t f f t ττ∞

-∞

*=

-?

4.2 任意信号作用下的零状态响应 4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法 4.4 卷积积分的性质

①交换律②结合律③分配律

④积分性质

??

∞

-∞

-→t

t

x

x y x x f d )(d )(f ]

d )([*)()(*]d )([d )](*)([212121τττττ

ττ?

?

?∞

-∞

-∞

-==t

t

t f t f t f f f f

⑤微分性质 ⑥任意时间函数与冲激函数的卷积

f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f ’(t) ；f(t)*ε(t) ⑦卷积的时移性质 f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f(t –t 1 –t 2)

第三章 离散系统的时域分析

1、LTI 离散系统的响应 1.1差分与差分方程

1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似） 1.

2.1y(k) = y h (k) + y p

(k)

当特征根λ为单根时，齐次解y n

(k)形式为： C λk

当特征根λ为r 重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1k r-1+ C r-2k r-2+…+ C 1k+C 0)λk

当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解y n (k)形式为：

1.2.2 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r ≥1） 。 ①所有特征根均不等于1时;

y p (k)=P m k m

+…+P 1k+P 0

②有r 重等于1的特征根时;

y p (k)=k r [P m k m

+…+P 1k+P 0]

（2） 激励f(k)=a k

①当a 不等于特征根时; y p (k)=Pa k

②当a 是r 重特征根时;

y p (k)=（P r k r +P r-1k r-1+…+P 1k+P 0)a k

（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e ±j β

； y p

(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) 若描述某系统的差分方程为

y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)

已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k ，k ≥0。求方程的全解。 1.3 零输入响应和零状态响应

[]n n n n n n

t t f t f t f t t f t f t f t d )(d *)()(*d )(d )(*)(d d 212121==1,2j e βλρ±=[]cos()sin()k

C k

D k ρββ+

2、单位序列响应和阶跃响应 2.1 单位序列响应 2.1.1定义 2.1.2 求法

递推求初始值，求齐次差分方程的解

例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。 例 若方程为：

y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2) 求单位序列响应h(k) 2.2 阶跃响应 2.2.1定义 2.2.2 求法

3 常用序列

01

()()(1)()()

()(1)()1

()(1)()2

1()(1)1i k

i k

i k k

i

i k k k k k i i k k i i k k k a a i a a δεεεδεεεεε∞

==-∞=-∞

+=-∞

=--=-=+=

+-=<-∑∑∑∑

4 离散信号的卷积和 4.1 任意序列的分解 f(k)

4.2列作用下的零状态响应

4.3 定义

4.4 卷积和的求法

4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步：

（1）换元： k 换为 i →得 f 1(i )， f 2

(i )

（2）反转平移：由f 2(i )反转→ f 2(–i )右移k → f 2

(k – i )

∑

∑∞=-∞=-==0)()()(j k j j k h i h k g ，h (k) =?g (k)

∑

∞

-∞

=-=i i k i f )()(δ∑

∞

-∞

=-=i f i k h i f k y )()()(∑

∞

-∞=-=i i k f i f k f )

()()(21

（3）乘积： f 1(i ) f 2

(k – i )

（4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。

注意：k 为参变量。 4.1.2 不进位乘法求卷积 例f 1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 f 2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0}

↑k=0 4.2 卷积和的性质

4.2.1法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.

4.2.4f 1(k – k 1)* f 2(k – k 2) = f 1(k – k 1 – k 2)* f 2(k)

第四章 连续系统的频域分析 1 傅里叶级数

1.1 傅里叶级数的三角形式

1.2 波形的对称特性和谐波特性

A .f(t)为偶函数——对称纵坐标 展开为余弦级数

B .f(t)为奇函数——对称于原点 展开为正弦级数

C f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t ±T/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量

D f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t ±T/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。 1.3 傅里叶级数的指数形式

2 周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。

例：周期信号 f (t ) =

试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。

4.2.2f （k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k – k 0) = f(k – k 0) 4.2.3.

f(k)*ε(k) =

∑

-∞

=k

i i f )

(4.2.5 ?[f 1(k)* f 2(k)] = ?f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ?f 2(k) ∑

∑∞

=∞

=Ω+Ω+=110)

sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ?-Ω=22d )cos()(2T T n t t n t f T a ?

-Ω=22

d )sin()(2T

T n t t n t f T b ∑

∞-∞=Ω=n t jn n F t f e )(22

1()e d T jn t T

n F f t t T -Ω-=?

n = 0, ±1, ±2，…

1211cos sin 243436t t ππππ????--+- ? ?????

3 傅里叶变换 3.1 定义

3.2 常用函数的傅里叶变换

（1）单边指数函数f(t) = e –αt

ε(t)， α >0实数

（2）双边指数函数f(t) = e –?αt ?

, α >0

（3）门函数(矩形脉冲)

（4）冲激函数δ(t)、δ′(t)

（5）常数1 （6）符号函数

（7）阶跃函数

3.3 傅里叶变换的性质 （1）线性

（2）时移性质(Timeshifting Property)

（3）对称性质(Symmetrical Property)

（4）频移性质(Frequency Shifting Property)

（5）尺度变换性质(Scaling Transform Property)

（6）卷积性质(Convolution Property)

ω

αω

αωωαωαj j t j F t

j t

j t

+=

+-

==∞+-∞

--?1e 1

d e

e

)(0

)(02

200

21

1

d e e

d e

e )(ωαα

ωαωαωωαωα+=++-=+=??∞

--∞--j j t t j F t

j t

t

j t ??

???>≤=2,02,1)(τ

ττt t t g ωωτω

τωττωj t j F j j t j --==---?

222/2/e e d e )()2

Sa()2sin(2ωττωωτ==1d e )()(=←→?

∞∞--t t t t j ωδδωδδωωj t

t t t t t j t

j =-=←→=-∞∞--?

0e d d d e )(')(')(2)(2d e 1ωπδωπδω=-=←→?

∞∞

--t t

j 220022sgn()lim ()lim j t F j j αααωωαωω→→?

?←→=-= ?+??111()sgn()()22t t j επδωω

=+←→+[a f 1(t ) + b f 2(t ) ] ←→ [a F 1(j ω) + b F 2(j ω) ] 0

0()e

()j t f t t F j ωω--←→F ( j t ) ←→ 2πf (–ω) 00[()]e ()j t

F j f t ωωω-←→1()||f at F j a a ω??←→ ?

??If f 1(t ) ←→F 1(j ω)， f 2(t ) ←→F 2(j ω) Then

f 1(t )*f 2(t ) ←→F 1(j ω)F 2(j ω) Then f 1(t ) f 2(t ) ←→ F 1(j ω)*F 2(j ω)

1

2π

（7）时域的微分和积分

（8）频域的微分和积分

（9）怕赛瓦尔关系

（10）奇偶性(Parity) 4 周期信号的傅里叶变换 5 连续系统的频域分析 5.1 5.2 无失真传输y(t) = K f(t –t d

)

Y(j ω)=Ke – j ωt d F(j ω)

例：系统的幅频特性|H (j ω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是

6 抽样定理

第五章 连续系统的s 域分析

()()()()n n

f t j F j ωω←→()

()d (0)()t F j f x x F j ωπδωω

-∞←→+?0(0)()()d F F j f t t ωω∞=-∞==?

(–jt)n f (t ) ←→F (n)(j ω) 1(0)()()()d f t f t F jx x jt ωπδ-∞+←→-?1(0)()d 2f F j ωωπ∞-∞=?

?

?∞∞

-∞∞-==ω

ωπd )(21d )(2

2j F t t f E ∑

∑∞

-∞

=∞-∞=ΩΩ-=←→=n n T n t

jn n T n F j F F t f )

(2)(e )(ωδπω?

-Ω-=22d e )(1T

T t

jn T n t t f T F Y(j ω) = F(j ω)H(j ω)

(a)(b)

(A)

f (t ) = cos(t ) + cos(8t ) (B) f (t ) = sin(2t ) + sin(4t ) (C)

f (t ) = sin(2t ) sin(4t ) (D) f (t ) = cos 2(4t )