2019-2020学年广东省阳江市江城区八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2019-2020学年广东省阳江市江城区八年级（上）期末数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为()
A. 2
B. 3
C. 4
D. 2或4
2.下列命题中是真命题的是()
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直
C. 三角形的一个外角等于两个内角的和
D. 等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
3.计算(2×10?4)×(5×10?2)，结果用科学记数法表示正确的是()
A. 10×10?6
B. 1×10?5
C. 1×10?6
D. 1×10?7
4.现规定一种运算a※b=ab+a?b，其中a，b为实数，则a※b+(b?a)※b等于()
A. a2?b
B. b2?b
C. b2
D. b2?a
5.若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是()
A. 2+x
x?y B. 2x
x?y
C. 2+x
xy
D. x2
x+y
6.方程x2?1
x+1
=0的解是()
A. 1或?1
B. ?1
C. 0
D. 1
7.如图，AB平分∠DAC，要用SAS条件确定△ABC≌△ABD，还需要有
条件()
A. DB=CB
B. AB=AB
C. AD=AC
D.
∠D=∠C
8.小明在做一道数学题时，看到这样的条件“如图，在△ABC中，AD=
BD=3，AE平分∠CAD，DE垂直AB，他马上得到了如下结论并说明了
理由，他发现的结论和理由正确的是()
A. 他发现CE=DE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 他发现CE=DE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C. 他发现AE=BE，理由是角平分线上的点到角两边的距离相等
D. 他发现AE=BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
9.点A(?3,2)关于y轴对称的点的坐标为()
A. (3,?2)
B. (3,2)
C. (?3,?2)
D. (2,?3)
10.如图，，AB=BC=CD，则∠A等于()
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）
11.如果一个长方形的长是(x+2y)米，宽为(x?2y)米，则该长方形的面积是______平方米．
12.已知a?b=3，ab=?2，则a2b?ab2的值为______．
13.若等腰三角形两边长分别是8和4，则它的周长是______．
14.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的
度数是______．
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=2√3，点P
是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，
则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．
16.计算m
m2?1?1
1?m2
的结果是______．
17.若分式方程x
x?1=m
x?1
无解，则m的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）
18.(1)已知x+y?4=0，求2x?2y+1的值．
(2)先化简，再求值：(?2a2b3)?(?ab2)2+(?1
2
a2b3)2?4b，其中a=2，b=1
19.解分式方程：x?3
x?2+1=?3
x?2
20.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC
交AD于点E，交AC于点F，求证：AE=AF．
21.如图，Rt△ABC≌Rt△CED(∠ACB=∠CDE=90°)，点D在BC上，AB与CE相交于点F．
(1)如图1，直接写出AB与CE的位置关系；
(2)如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH=DB，射线HG交AB于K，求
证：HK=BK．
22.已知x=√2+1，y=√2?1，求x
y ?y
x
的值．
23.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，点P从点A出发，以每秒2cm的
速度沿A→C→B→A运动，设运动时间为ts(t>
0)．
(1)若点P在∠BAC的平分线上，求t的值．
(2)边AB的垂直平分线交AC于点M，交AB于点N，在点P在运动的过程中，当点P运动到线
段AB的垂直平分线上时，求出此时t的值，并求出MN的长度；
(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形?
24.近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室
内安装空气净化装置，需购进A，B两种设备．每台B种设备比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
(1)求A，B两种设备每台各多少万元．
(2)根据单位实际情况，需购进A，B两种设备共20台，总费用不高于15万元．求A种设备至
少要购买多少台．
25.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长．
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的
面积及AD的长．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：C
解析：解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，
能组成三角形，
所以，第三边为4；
②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，
综上所述，第三边为4．
故选：C．
分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
2.答案：B
解析：
本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．利用全等三角形的判定方法对A进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义对B进行判断；根据三角形外角性质对C进行判断；根据等边三角形的性质和中心对称的定义对D进行判断．解：A、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，所以A选项为假命题；
B、如图，已知AB//CD，OP，MN分别平分∠BOM，∠OMD，OP，MN交于G点，
求证：MN⊥OP．
证明：∵AB//CD，
∴∠BOM+∠OMD=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵MN、OP分别是平分∠BOM，∠OMD，
∴2∠POM+2∠NMO=180°，
∴∠POM+∠GMO=90°，
∴∠MGO=90°，
∴MN⊥OP，
两条平行直线被第三条直线所截，则一组同旁内角的平分线互相垂直两直线平行，所以B选项为真命题；
C、三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，所以C选项为假命题；
D、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D选项为假命题．
故选B．
3.答案：B
解析：解：(2×10?4)×(5×10?2)
=2×5×10?6
=1×10?5．
故选：B．
直接利用单项式乘以单项式以及科学记数法得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.答案：B
解析：
规定的新运算题，要按题目规定的运算规则进行计算．本题考查学生阅读理解，迁移应用的能力．(1)去括号法则的依据是乘法的分配律；(2)去括号是代数变形，是“形变值不变”；(3)去括号时，要连同括号前的符号一起去掉，括号前是“?”号，要注意括号里各项变号；(4)添括号与去括号一样，当括号前面添“?”号时，括进括号的各项符号要全改变．
解：a※b+(b?a)※b，
=ab+a?b+(b?a)×b+(b?a)?b，
=ab+a?b+b2?ab+b?a?b，
=b2?b．故选B．5.答案：B
解析：解：A．2+3x
3x?3y ≠2+x
x?y
，不符合题意；
B.2×3x
3x?3y =2x
x?y
，符合题意；
C.2+3x
3x×3y ≠2+x
xy
，不符合题意；
D.(3x)2
3x+3y ≠x2
x+y
，不符合题意；
故选：B．
根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
6.答案：D
解析：
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：x2?1
x+1
=0，
x2?1=0，
∴x=1或x=?1，
检验：当x=?1时，x+1=0，
x=1时，x+1≠0，
∴x=?1是方程的增根，
∴方程的解为x=1．
故选D．
7.答案：C
解析：解：∵AB平分∠DAC，
∴∠CAB=∠DAB，
A、根据DB=CB，BA=BA，∠CAB=∠DAB不能推出两三角形全等，故本选项错误；
B、根据BA=BA，∠CAB=∠DAB不能推出两三角形全等，故本选项错误；
C、∵在△CAB和△DAB中
{AC=AD
∠CAB=∠DAB AB=AB
，
∴△CAB≌△DAB(SAS)，故本选项正确；
D、根据BA=BA，∠CAB=∠DAB，∠D=∠C，根据AAS可证△CAB≌△DAB，根据本选项错误；故选：C．
根据角平分线得出∠CAB=∠DAB，隐含条件AB=AB，根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．8.答案：D
解析：解：∵AD=BD=3，DE垂直AB，
∴AE=BE，理由是垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
故选：D．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9.答案：B
解析：解：A(?3,2)关于y轴对称的点的坐标为(3,2)，
故选：B．
关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
10.答案：C
解析：
本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理.熟练这些性质是解题的关键．
∵AB=BC，∠A=∠ACB，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=2∠A，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB==2∠A，
∴∠A+∠CDB+∠ACD=∠A+2∠A+120°=180°，
∴∠A=20°，
故选C．
11.答案：x2?4y2
解析：解：∵长方形面积为长乘以宽，
∴该长方形的面积=(x+2y)(x?2y)=x2?4y2平方米．
故答案为：x2?4y2．
根据平方差公式即可解题．
本题考查了长方形面积的计算，考查了平方差公式的计算，本题熟练运用平方差公式是解题的关键．12.答案：?6
解析：解：a2b?ab2=ab(a?b)=?2×3=?6，
故答案为：?6．
首先提公因式ab进行分解，再代入a?b=3，ab=?2即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确分解因式．
13.答案：20
解析：解：∵等腰三角形有两边分别分别是4和8，
∴此题有两种情况：
①4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20，
②8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去．
∴该等腰三角形的周长为20．
故答案为：20．
解决本题要注意分为两种情况4为底或8为底，还要考虑到各种情况是否满足三角形的三边关系来进行解答．
本题考查了等腰三角形性质；解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
14.答案：22.5°
解析：
由四边形ABCD是正方形，即可求得∠BAC=∠ACB=45°，又由AE=AC，根据等边对等角与三角形内角和等于180°，即可求得∠ACE的度数，又由∠BCE=∠ACE?∠ACB，即可求得答案．
此题考查了正方形的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠E=180°?45°
=67.5°，
2
∴∠BCE=∠ACE?∠ACB=67.5°?45°=22.5°．
故答案为：22.5°．
15.答案：√3
2
解析：解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBE=60°，
∵BE=AE，
∴CE=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60°，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBE(SAS)，
∴QC=PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE=√3，∠A=30°，
∴PE=1
2AE=√3
2
，
∴CQ的最小值为√3
2
．
如图，取AB的中点E，连接CE，PE.由△QBC≌△PBE(SAS)，推出QC=PE，推出当EP⊥AC时，QC的值最小；
本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
16.答案：1
m?1
解析：解：原式=m
m2?1+1
m2?1
=
1
故答案为：1
m?1
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．17.答案：1
解析：解：关于x的分式方x
x?1=m
x?1
无解即是x=1，
将方程可转化为x=m，
当x=1时，m=1．
故答案为1．
关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=1，再按此进行计算．
本题是一道基础题，考查了分式方程的解，要熟练掌握．
18.答案：解：(1)∵x+y?4=0，
∴x+y=4，
∴2x?2y+1=2x+y+1=25=32；
(2)原式=?2a2b3?a2b4+1
4
a4b6?4b
=?2a4b7+a4b7
=?a4b7
当a=2，b=1时，
原式=?24×1=?16．
解析：(1)直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案；
(2)直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．19.答案：解：两边同乘最简公分母(x?2)，得x?3+x?2=?3，
移项，得x+x=?3+3+2，
合并同类项，得2x=2，
两边同时除以2，得x=1，
检验：把x=1代入最简公分母(x?2)得：x?2=?1≠0，
所以x=1是原方程的解．
解析：分式方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20.答案：解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，
∴∠AFB=∠BED，
∵∠AEF=∠BED，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
解析：根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论．
此题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．21.答案：解：(1)AB与CE的位置关系是垂直，AB⊥CE
(2)证明：∵Rt△ABC≌Rt△CED
∴AC=CD，BC=ED，∠E=∠B
又∵∠ACB=90°
∴∠ADC=45°
又∵∠CDE=90°
∴∠EDG=∠HDG=45°
∵CH=DB
∴CH+CD=DB+CH
即HD=CB
∴HD=ED
在△HGD和△EGD中{HD=ED
∠GDH=∠GDE GD=GD
∴△HGD≌△EGD(SAS)
∴∠H=∠E 又∵∠E=∠B
∴∠H=∠B
∴HK=BK
解析：(1)根据垂直的判定解答即可；
(2)根据全等三角形的判定和性质解答．
此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质的理解和掌握，证明此题的关键是求证△HGD≌△EGD.难度不大，属于基础题．
22.答案：解：由题意得：x+y=2√2，x?y=2，xy=1，
原式=x 2?y2
xy
=
(x+y)(x?y)
xy
=
2×2√2
1
=4√2．
解析：本题考查了含有二次根式的分式化简求值，在其求值过程要注意：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
由条件可得x+y，x?y，xy的值，再把以上数值代入化简的结果即可．
23.答案：解：(1)过P作PE⊥AB于E，
∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴由勾股定理得AC=√102?62=8cm，
∵点P在∠BAC的角平分线上，且∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
∴CP=EP，
∵∠C=∠AEP=90°，AP=AP，
∴△ACP≌△AEP(HL)
∴AC=AE=8cm，
∴BE=AB?AE=2cm，
设CP =x ，则BP =6?x ，PE =x ， 在Rt △BEP 中，BE 2+PE 2=BP 2， 即22+x 2=(6?x)2， 解得x =8
3， ∴CP =83
，
∴CA +CP =8+8
3=
323
，
∴t =
323÷2=163
(s); 当点P 沿折线A ?C ?B ?A 运动到点A 时，点P 也在∠BAC 的角平分线上， 此时，t =(10+8+6)÷2=12(s);
综上，若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，t 的值为16
3s 或12s; (2)如图，连接BM ，
当点P 运动到线段AB 的垂直平分线上与点M 重合时，有MA =MB =2t ，MC =8?2t ， 在Rt △MCB 中，MC 2+CB 2=MB 2，
即(8?2t)2+62=(2t)2， 解得：t =
258
，
∴AM =2t =
254
，
∵AN =1
2AB =5，
在Rt △AMN 中，MN =√AM 2?AN 2=√(254
)2
?52=154
；
当点P 运动到线段AB 的垂直平分线上与点N 重合时，有NA =NB =12AB ，2t ?8?6=1
2AB =5， ∴t =
192
，
此时线段MN 的长度不变；
综上，满足条件的t的值为25
8s或19
2
s，线段MN的长度为15
4
．
(3)?①若点P在CA上，如图2，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，则2t=8?6，
解得t=1(s);
?②如图3，当BP=BC=6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP=8+6+6=20，
∴t=20÷2=10(s);
?③如图4，若点P在AB上，CP=CB=6，作CD⊥AB于D，则根据面积法1
2AC·BC=1
2
AB·CD求
得CD=4.8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=3.6，
∴PB=2BD=7.2，
∴CA+CB+BP=8+6+7.2=21.2，
此时t=21.2÷2=10.6(s);
?④如图5，当PC=PB时，△BCP为等腰三角形，∠PCB=∠PBC，∴∠A+∠ABC=∠ACP+∠PCB，
∴∠A=∠ACP，
∴AP=PC，
∴AP=BP=1
2
AB=5，
∴AC+CB+BP=8+6+5=19，
∴t=19÷2=19
2
(s);
综上所述，t为1s或10.6s或10s或19
2
s时，△BCP为等腰三角形．
解析：本题以动点问题为背景，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，、进行分类讨论是解决问题的关键.解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形．
(1)过P作PE⊥AB，设CP=x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可;
(2)连接BM，分两种情况讨论：当点P运动到线段AB的垂直平分线上与点M重合时和当点P运动到线段AB的垂直平分线上与点N重合时，分别列方程即可得到t的值，再根据勾股定理求出MN的长度即可；
(3)分类讨论：若点P在AC上，当CP=CB时，△BCP为等腰三角形，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，分BP=BC，CP=CB，PC=PB三种情况求解t的值．
24.答案：解：(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.7)万元，
根据题意得：3
x =7.2
x+0.7
，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(20?m)台，
根据题意得：0.5m+1.2(20?m)≤15，
解得：m≥90
7
．
∵m为整数，
∴m≥13．
答：A种设备至少要购买13台．
解析：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，列出关于x的分式方程；(2)根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，列出关于m的一元一次不等式．
(1)设每台A种设备x万元，则每台B种设备(x+0.7)万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
(2)设购买A种设备m台，则购买B种设备(20?m)台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15
万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．25.答案：解：(1)全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
{CD=CE
∠BCD=∠ACE BC=AC
，
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)如图3，由(1)得：△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，
∵△DCE都是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=2，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，
∴AE=√AD2+DE2=√9+4=√13，
∴BD=√13；
(3)如图2，过A作AF⊥CD于F，