马尔可夫链与泊松过程

Ch.7 马尔可夫链与泊松过程

马尔可夫过程是研究信号多级传输、分子的布朗运动、顾客服务、计算机网络流量等等诸多问题时使用的经典模型。

本章讨论：

1）马尔可夫过程的基本概念 2）转移概率与C-K 方程 3）状态分类及极限特性 4）独立增量过程定义及性质 5）泊松过程定义及相关问题 Ch.7 马尔可夫链与泊松过程

7.1 马尔可夫链

7.2 马尔可夫链的状态分类 7.3 独立增量过程 7.4 泊松过程

7.1 马尔可夫链 此句作为后面每页ppt 的标题

定义7.1

随机序列)(n X ，可数集状态空间E ，如果下式

)

(),,,(11110011n n n n n n n n i X i X P i X i X i X i X P =======++++

恒成立，则称)(n X 是马尔可夫链（Markov chain ）。 上式称为马尔可夫性（马氏性）、无后效性。 定义7.2

任意E j i ∈,，T n ∈，称条件概率

1(,1)()

ij n n p n n P X j X i ++===

为(n 时刻的)一步转移概率(One step transition probability )。 齐次马尔可夫链(Homogeneous Markov chain ) ：

满足下式条件的马尔可夫链：)1,(+=n n p p ij ij 转移概率性质：

（1）非负性：0>ij p （2）归一性：

1=∑∈E

j ij

p

m 步转移概率：n 时刻到m n +时刻的转移概率

()i m X j n X P n m p ij ===)()(),(

转移概率矩阵：()

E

j i ij n m p n m ∈=,),(),(P

并且： （1）

1),(=+∑∈E

j ij

m n n p

（2）()??

?≠==-=j

i j

i j i n n p ij 0

1

),(δ 。 齐次马尔可夫链：),()(m n n m +=P P

例7.1 设())1()()1(++=+n Z n X g n X ，0)0(=X ，其中

},3,2,1),({ =n n Z 是独立随机序列，试说明)(n X 是马尔

可夫链。 解：

()

()()

n n n n n n n n n n n n n x X x X P x X x Z X g P x X x X x X P =====+====++++++11111111)(,, 例7.2 级联的独立二进制传输系统如图所示

试说明},2,1,0),({ =n n X 是齐次马尔可夫链，并求（一步）转移概率。

解：（1）)(n X 是齐次马尔可夫链，因为

()()

n n n n n n n n x X x X P x X x X x X P ======++++110011,,

()()

1111n n n n n n n n P X x X x P X x X x ++--===== （2）一步转移概率矩阵为

???

? ??--=???? ??=ββαα1111100100

p p

p p P n 时刻的转移概率矩阵：E j i p ij ∈,,

()E j i ij n n p p p p p p p

p p p n n ∈+=????

?

?

?

?

?=+,222120121110

020100

)1,()1,(

P

对于齐次马尔可夫链：()

E

j i ij

p n n ∈=+=,)1,(P P

状态转移图：用带符号的圆圈表示状态，带箭头的弧线表示可能

的转移及其概率的一种有向图。

例7.3 直线上作随机游动的质点：时刻k 的游动位移为

{}1,0,1)(-+∈k Z 且统计独立， ,2,1=k 。相应取值概率

为()q r p ,,。令∑==n

k k Z n X 1

)()(，0)0(=X ，试说明)

(n X 是马尔可夫链。

解：是例7.1中函数x x g =)(时的一个特例。

)()1()()()()(1

1

1

n Z n X n Z k Z k Z n X n k n k +-=+==∑∑-==

定义7.3 若)(n X 是马尔可夫链，称行向量

)),(),(()(21 n n n p ππ=

为n 时刻的概率分布向量。))(()(i n X P n i ==π。 设0>≥m n ，则：

()∑∈=====E

j m m n n j X P j X i X P i X P )

()(

向量形式：

()()(,)p n p m m n =P

定理7.1

（查普曼-柯尔莫哥洛夫方程）设m r n >>，马尔可

夫链的转移概率矩阵满足

∑∈=E

k kj ik ij n r p r m p n m p ),(),(),(

简称C-K （Chapman-Kolmogorov ）方程。

矩阵形式：),(),(),(n r r m n m P P P =

证明思路：运用全概率公式和马尔可夫性 证明：当0)(≠=i X P m 时

)

()()()()(),()

,,(i X P i X k X P k X j X P i X P i X k X P i X k X j X P j X k X i X P m m r r n m m r m r n n r m ================K C -方程特点：一步转移概率矩阵为P 的齐次马尔可夫链

（1）(,)(,1)(1,2)(1,)n m

m n m m m m n n -=+++-=P P P P P

（2）k 步转移概率：),()(k m m p k p ij ij += （3）k 步转移概率矩阵：),()(k m m k +=P P （4）)()()(n p m p

n m p kj E

k ik

ij ∑∈=

+

（5）n m n m n m +==+P P P P )()()( （6）1(1)()(0)n p n p n p ++==P P

例7.4 随机序列{} ,2,1,0),(=n n X ，取值(0，1)，概率

q n X P ==]0)([，p n X P ==]1)([，经过累加器后得到

随机过程)(n Y 。（1） 证明)(n Y 是齐次马尔可夫链；（2）给出)(n Y 的转移概率矩阵与状态图；（3）求n 步转移概率

),(n k k p ij +。

解：（1）证： )()1()()(1

n X n Y i X n Y n

i +-==

∑=且)(n X 为独

立平稳序列，是例7.1的特例；

()()

(,1)(1)()(1)0101

ij p n n P Y n j Y n i P X n j i q

j i p j i j i +=+===+=--=??=-=??->?

因此)(n Y 是齐次马尔可夫链。 （2）)(n Y 的一步状态转移概率矩阵

??????

??

?

?

?

?=

p q p q p q p q 0000000000

00P

（3）利用二项分布特性

()

0()(,)0

j i j i n j i n ij C p q j i n p k k n ----?≤-≤+=?

?其它

例7.5 记)(n X 为在两个反射壁之间作一维随机游动粒子的位

置，状态空间为{}2,1,0=E ，???

?

? ??=0105.005.0010P

（1） 绘出状态图；

（2） 求时刻n 处于状态0且时刻3+n 处于各状态的概率； （3） 求时刻n 处于状态0且时刻4+n 处于各状态的概率。 解：（1）状态图

反射壁(Reflecting barrier)：由于在0与2状态上，以概率1转移（弹回）到下一状态。 （2）

()03,00=+n n p ,

()13,01=+n n p ,

()0

3,02=+n n p

（4）

()5.04,00=+n n p ,

()04,01=+n n p ,

()5.04,02=+n n p

例7.6 某个具有双吸收壁的质点随机运动的状态图如下，试给出

它的一步转移矩阵。

解：吸收壁（Absorbing barrier ）：进入状态0或3后，该链永远停留在那里。也称为吸收态(Absorbing state)。 一步转移概率矩阵：

????

??

? ??=10005

.005.0005.005.00001P 定义7.4

马尔可夫链)(n X 的一步转移概率矩阵为P ，如果存

在一种分布() )2()1(ππ=p ，下式恒成立

p p =P

则称p 为)(n X 的一个平稳分布。

因为一旦)(n X 进入该分布后，它就永远处于该分布上。也称为

)(n X 的极限分布或最终分布。

例7.7 {}1,0=E 的齐次马尔可夫链{}(),0,1,X n n = ，

???

? ??=0110P ，)5.05.0()0(=p ，求：

（1） 3=n 时刻的状态概率向量； （2） 给出其中的一个可能序列； （3） )(n p ij 当∞→n 时是否存在？ 解：（1）)5.05.0()0()3(3

==P p p

（2）)(n X 的可能样本序列为010101…或101010…。 （3）当n 为偶数时：???

?

?

?==10

01)(n n P P 当n 为奇数时：???

? ?

?==01

10)(n

n P P 所以，)(lim n p ij n ∞

→不存在极限。

例7.8 取值为)1,0(的有噪声对称二进制传输系统，

p p p ==1100，q p p ==1001，1=+q p ，其中

)(i X j X P p I O ij ===，I X 和O X 分别是输入输出随机变

量。将该类型传输系统进行n 级级联，并设输入到该级联系统的信源数据概率为)1,()0(r r p -=。求： （1）系统的转移概率。

（2）信源经过级联系统后，输出符号的取值概率。 （3）当n 趋于无穷大时，上述两问的结果又如何？ 解：该系统是一个齐次马尔可夫链，???

? ??=p q

q p

P （1）n 级级联后系统的转移概率为

n

n p q

q p

n ???

? ?

?==P P )( P 特征分解，故有，

()1

21

121

0000--???? ??=???

? ??????

??=V V V V P n

n

n λλλλ ()()()()?????

? ??-+--

---+

=2

2122

12

2122

1n

n n

n q p q p q p q p （2）信源经过该级联系统后，输出符号的取值概率为

1(21)()1(21)()()2

222n

n r p q r p q p n ??

-+--+-=-

+ ???

===

（3）令n 趋于无穷大，

当1≠-q p 时，0.50.5()lim ()0.50.5n n →∞??

∞== ???

P P ，并且 ()5.05.0)(=∞p

当1=-q p 时，如果????

??=1001P ，因此???

?

??=∞1001)(P ，而)0()(p p =∞；如果???

?

??=0110P ，)(∞P 与)(∞p 都不存在。 本例说明了一个有趣的结果：不论原始信息的分布如何，经过很

多次有错（10<

7.2 马尔可夫链的状态分类 此句作为后面每页ppt 的标题

定义7.5

齐次马尔可夫链{(),0,1,2,...}X n n =，对任意给定的

两个状态E j i ∈,，存在整数01>N 使0)(1>N p ij ,则称状态i 可达状态j ，简记为j i →；若同时还存在整数

02>N ，使0)(2>N p ji 也成立，则称状态i 和状态j 是

互通的，简记为j i ?。

j i →包含了从状态i 出发到达状态j 的所有可能轨道。

定义7.6

对于两个状态E j i ∈,，从状态i 出发，经过n 步转移

后首次到达状态j 的步数，

{}

:(),(),0|(0),1,2,3,ij T n X n j X k j k n X i n ==≠<<== 称为从状态i 出发后首次到达状态j 的时间，简称为首达时间。 如果从状态i 出发，永远不能状态j ，则标记为ij T =+∞。

ij T 的取值空间：},,3,2,1{+∞= T N 。

例7.9 齐次马氏链},2,1,0),({ =n n X ，}2,1,0{=E

??

??? ??=4.06.001007.03.00P

分析三个状态之间的可达、互通及首达时间的取值空间。

解：

可达、互通：

（1） 03.0)1(01>=p ，07.0)1(02>=p ，

故状态0可达状态1和2。

（2） 任意0>N ，0)(10=N p ，0)(20=N p ，

故状态1和2不可达状态0。

（3） 01)1(12>=p ，06.0)1(21>=p ，

故状态1和2互通。

首达时间的取值空间：

01T 取值空间为{},,4,3,2,1 02T 取值空间为{}2,1

21T 取值空间为{},,4,3,2,1 12T 取值空间为{}1

1020,T T 取值空间为}{∞+。

定义7.7 任意},,3,2,1{+∞=∈ T N n ，称

()(|(0))ij ij f n P T n X i ===

为状态i 出发到达状态j 的n 步首达概率。 定义7.8

任意},,3,2,1{+∞=∈ T N n ，称

{}1

1

()(|(0))ij ij ij ij n n f f n P T n X i P T +∞

+∞

=======<+∞∑∑

为从状态i 出发到达状态j 的最终到达概率。 注意：求和式中上标不包括∞+，因此有，

{}()1ij ij ij

f P T f +∞==+∞=-

显然，0()1ij ij f n f ≤≤≤， 当i j =时有，

（1）()ii f n 简称为n 步首返概率； （2）ii f 简称为最终返回概率。 定义7.9

对状态E i ∈，若1=ii f ，则称状态i 是常返的

(Recurrent or persistent)；若1

定义7.10 对于状态i E ∈，称[]i ii E T μ= 为从状态i 出发的

平均返回步数。如果i 是常返态，则1

()i ii

n nf

n μ∞

==∑；否

则，因()0ii f +∞>，i μ=+∞。

定义7.11 对常返状态E i ∈，若i μ<+∞，则称状态i 是正常返

状态(Positive recurrent state)；若i μ=+∞，则称状

态i 是零常返状态(Null recurrent state)。 即：（1）1=ii f ，且i μ<+∞，则i 是正常返状态； （2）1=ii f ，且∞=i μ，则i 是零常返状态。

定义7.12 非空集合{}0,0)(:>>n n p n ii ，记其最大公约数为

i d ，则称i d 为状态i 的周期。

通常，如果1=i d ，则称状态i 是非周期状态，否则称为周期状态。且仅当 ,2,1,==k kd n 时，有0)(>n p ii 。 定义7.13 非周期的正常返状态称为遍历态(Ergodic state )。如果一个马尔可夫链的所有状态都是遍历态，则称该马尔可夫链是遍历马尔可夫链。

例7.10 设齐次马氏链转移矩阵为

????

??

?

??=05.05.005.005.005.05.00005.05.00P 判断该链所有状态的遍历性。 解：分别设为状态3,2,1,0,

状态0是非常返状态：0000

1()01n f f

n ∞

==

=<∑。

状态1是遍历态：11111

1

2

()0.51

n n n f f

n ∞

∞

-===

==∑∑

11111

2

()0.52n n n nf n n μ∞

∞

-====?=<∞

∑∑，11=d

状态2和状态3也是遍历态。

因此，该链不是遍历链，但有三个遍历状态。 令??

?≠==j

n X j

n X n Y )(0

)(1)(，则

∑∑∞

=∞

==??????=1

1

)()0()(n jj n n p j X n Y E 是平均返回次数。

常返状态平均返回次数为无穷多次，非常返状态平均返回次数为

有限多次。

例7.11 设{}5,4,3,2,1,0=E ，转移矩阵为

??????

??

?

?

?

?=5.05.000005.05.00000005.05.000005.05.00005.005.00000

000

1P

对状态进行分类。

=== 解：

状态0为遍历状态：100=f ，10=d 。 状态1为非常返态：11()0,1f n n =≥。

状态2为遍历状态： 2222

1

()1n f f

n ∞

==

=∑，12=d 。

同理可得，状态3、状态4和状态5也是遍历状态。

所有状态可以分为常返状态集{}5,4,3,2,0=C 和非常返状态集

{}1W =。

7.3 独立增量过程 此句作为后面每页ppt 的标题

推论1：连续参数马尔可夫过程：如果{}T t t X ∈),(具有无后效性，即条件概率满足

[]

n n n n x t X x t X x t X P ===++)(,)(|)(0011

[]n n n n x t X x t X P ===++)(|)(11

推论2：连续参数的马尔可夫链：如果)(t X 的取值状态空间是离散的，有限（或无限）可列的。

定义7.14 随机过程(){}

,0X t t ≥，2≥?n ,n t t <<= 00,

记增量()(

)1i i i X X t X t -?=-，1,2,...,i n =。若12,,...,n X X X ???彼此独立，则称)(t X 为独立增量过程

（Independent increment process ）。

令()0(0)0X t X ==，则∑=?=

n

i i

n X

t X 1

)(

增量i X ?也可以表示为

,()(),

(0)

i i t i i i i i i X X t X t t t τττ?=-->-≥

独立增量过程是马尔可夫过程：条件概率为

121,,...,,n n X X X X +????彼此独立，1n X +?与所有

(),i X t i n

≤都独立，有 ()()()111[[|]n n n n n P X t P X t x X t x +++===

定义7.15 若

(){},0X t t ≥是独立增量过程且对任意

0>->τt t 与0>T ，,t X τ?与,t T X τ+?恒有相同的概率

分布，则称该过程为平稳独立增量过程。

性质1 设),()(,τφφτv v X X t =?，则(){}

,0X t t ≥的一维特征函数为∏=--=

n

i i i X

n X t t v t v 1

1),();(φ

φ

性质2 平稳独立增量过程)(t X 的基本矩

（1） ()E X t mt =???? m ：均值变化率

()2Var X t t σ=????

2

σ：方差变化率 （2） ()()2

,min ,C s t s t σ=

（3） ()()st m t s t s R 22

,min ,+=σ

（4） ()()()

t s t s t s ,max ,min ,=

ρ

证明（3）：任取0≥≥s t ，利用均值和方差特性

()22,R s t m st s σ=+

因此有：()),min(,2

2t s st m t s R σ

+=

例7.10 零初值累积平稳独立噪声过程)(t Y 。均值与方差变化率

为1m 和21σ。试求：)()(12t Y t Y -的均值和方差，12()t t ≤。 解： ()()()()2121121E Y t Y t E Y t t m t t -=-=-????????

()()()22121121()Var Y t Y t Var Y t t t t σ-=-=-????????

例7.11 设()00Y =与1

()(),0n

i Y n X i n ==

>∑，

其中()X n 取值（0-1）概率分别为,q p 的伯努利序列，则)(n Y 为二项（计数）过程（Binomial counting process ）。说明该过程是平稳独立增量过程，并讨论其基本特性。

解：因)(n X 是独立同分布的，故(){

} ,2,1,0,=n n Y 是平稳独立增量过程。

(1) 特征函数：()()()

1

;(1)n

n

jv Y X i v n v q pe n φφ==

=+≥∏

(2) 展开式：jnv

n

jv

n n n Y e

p e pq C q n v +++=- 11),(φ

(3) 概率取值为： n n n n n n p p q C p q

C q ...,,,,2

2211--

[(1)]m E X p ==， 2[(1)]Var X pq σ==

(4) 均值、方差与协方差函数为：

()[]np n Y E =， ()[]npq n Y Var =

()()n m pq n m C Y ,min ,=

7.4 泊松过程 此句作为后面每页ppt 的标题

定义7.16 如果随机过程{}0),(≥t t N 具有以下特性

（1） 是一个0)0(=N 的计数过程；

（2） 增量)()(1--n n t N t N 独立； （3）增量平稳：即s ?,0≥t ,0≥n

])([])()([n t N P n s N t s N P ===-+；

（4）当t ?很小时()()[t N t t N P -?+>]()t o ?=1

和()()[]()t o t t N t t N P ?+?==-?+λ1

则称)(t N 是参数为λ的（齐次）泊松过程（Poisson Process ）。 定义7.17 如果随机过程{}0),(≥t t N 具有以下特性

（1） 是一个0)0(=N 的计数过程； （2） 具有平稳独立增量；

（3） 其概率密度函数是泊松的

()

()!

k

t

t e P N t k k λλ-==

????

则称{}0,)(≥t t N 是参数为λ的（齐次）泊松过程。 上述两个定义是完全等价的，证明略。

泊松过程是一种典型的独立增量过程 泊松过程是非平稳过程

泊松过程是连续参数马尔可夫链

应用于通信、交通、日常零售业务等各个领域 泊松过程是各类问题建模时最常用的一种输入模型 泊松过程是一种典型的独立增量过程，有：

()[]λ=1N E ()[]λ=1N Var

故：均值与方差：()[]t t N E λ= ；()[]t t N Var λ=

相关函数：()()22

21211,min ,t t t t t t R N λλ+=

协方差函数：

()()2121,min ,t t t t C N λ=

相关系数函数：()()()

212121,max ,min ,t t t t t t N =

ρ 例7.12 N (t )参数为λ的齐次泊松过程，求

()()1122,P N t k N t k ==????，012≥≥t t ，012≥≥k k 。

解：

()()[]()[]()()[]()()()

21

2

1

2

!

!]

)()(,)([,1211211212111212112211t k

k k k e k k k t t t k k t N t N P k t N P k k t N t N k t N P k t N k t N P λλ----=

-=-==-=-====

定义7.18 泊松事件：泊松计数过程中被统计的事件。如顾客到

达、服务器收到申请等。

到达时间（arrival time ）：泊松事件发生的）时刻。i S 表示第

i 个事件得到达时间。

时间间隔（Interarrival time ）：相邻两个泊松事件发生（或称到达）时刻之间的间隔。n T 表示第1-n 次事件到达和第

n 次事件到达之间的的时间间隔。

关系：n n

i i

n T T

T T S +++==

∑= 2

1

1

两个序列都是随机的

（1） 事件发生时刻随机序列： {} ,3,2,1=i S i ，。

（2） 事件发生的间隔时间随机序列： {} ,3,2,1=i T i ，。 性质1 时间间隔序列n T 的独立指数分布，概率密度函数为

()()0≥=-t e t f t

T n λλ

证明：)(1)()(t T P t T P t F n n T n >-=≤=

事件{}t T n ≥等价于事件{}0)(=t N ，有

t T e t N P t F n λ--==-=1]0)([1)(，

（0≥t ） 0()()00

n n

t T T e t d f t F t dt t λλ-?≥==?

n T 之间的独立性证明略。

性质2 到达时间n S 服从),(λn Γ分布，其概率密度函数为：

()()

10(1)!

n n

n t

S f t t e t n λλ--=

≥-

也称为爱尔朗（Erlang ）分布。

证明：事件等价：

][)(t S P t F n S n ≤={P =至时刻t 至少发生n 次泊松事件}

})({n t N P ≥=()!k t

k n

t e k λλ-∞

==∑

于是有：

)()(t F dt d

t f n

n S S =

t n n

e t n λλ---=

1)!

1(,(0≥t )

特征函数法：

n T 特征函数：()jv

dt e e v v t j t T n -=

=?∞

+∞

--λλλφλ

()()()()()n n

T T T S jv v v v v n

n

-=

=λλφφφφ 2

1

上式的傅立叶反变换，即得n S 的概率密度函数式。 定义7.19 称()()()t

t N t t N t t A ?-?+=

?,为泊松过程)(t N 在时

间t 到t t ?+的平均变化率。

()t t A ?,也称为泊松增量。其物理函数是在时间t 到t t ?+时间

上，泊松计数事件的平均次数。

在i j t t t ->?时，()()

t t A t t A j i ??,,与统计独立。

()t t A ?,的统计特性：

1． 一阶概率：()()()!exp ,k t t t k t t A P k

?-?=??

????

?=?λλ 2． 均值：()[]()()()λ=??

?

?????=???????-?+=?t t N E t t N t t N E t t A E , 3． 相关函数：

()()()[]??

????>-?<-?--?+=??=t

t t t t t t t t t t t A t t A E t t R A 2122122122121,,,λλ

λλ 由()21,t t R A 可知()t t A ?,是广义平稳过程。

例7.13 设)(t N 是[]

0,t 某电话交换台受理的呼叫次数，它是泊松

过程，min 2次=λ，求在任意5分钟里平均呼叫次数

()t t A ?,的均值与方差。

解：()()()()

[]555,,t N t N t A t t A -+==?

均值：()[]()

min 25,次==λt A E

方差：

()[]()()[]

()

2

22

22min 4.05,,5,次=-?+

=-=λλ

λt

t A E t t R t A Var A

定义7.20 若泊松事件发生时刻为 ,2,1,=i S i ，称

()()

1

()N t i i Z t t S δ==-∑

为泊松冲激序列(Poisson impulse train)，是广义平稳序列。 也称为瞬时增长率。 其另外两种描述形式

)(t N 的微分描述：()()t N dt

d

t Z =

()t t A ?,极限式描述：()t t A t Z t ?=→?,lim )(0

泊松冲激序列的基本矩特性： 1． 均值：()[]()[]λ==

t N E dt

d

t Z E 和 ()[]()[]t t A E t Z E t ?=→?,lim 0

2． 相关函数

()()()()212

12

211121,,t t R t t t N dt d t N dt d E t t R N Z ???=??????=

= ()221λδλ+-t t 和()()210

21,lim ,t t R t t R A t Z →?=

3．协方差函数：

()21,t t C Z =()()[]()[]()212121,t t t Z E t Z E t t R Z -=-δλ

例7.14 雷电、电火花等突发放电对电子设备造成的干扰是一种泊

松冲激序列，干扰的平均功率为6个单位，而每个泊松冲击的平均功率为3个单位。求单位时间内出现3次泊松冲激的概率。 解：()()26===t Z E λ。于是

()[]18.0!

32!312

3====--e k e N P k λ

λ。

定义7.21 记第i 个泊松事件发生的随机时刻i S 引起的响应为

)(i S t h -，则所有响应的输出和称为过滤泊松过程

（Filtered Poisson process ），记为：

()()∑=-=)

(1

t N i i S t h t X

冲激序列描述：()()()()()()1

N t i

i X t t S h t Z t h t δ==

-*=*∑

在电子学领域：如果)(i S t -δ是由阴极发射到板（阳）极的电子，则)(i S t h -称为散弹噪声(Shot noise)，是广义平稳过程。 过滤泊松过程（或散弹噪声）的常用矩： 1. 均值 ()[]()()[]()?+∞

∞

-=*=du u h t h t Z E t X E λ

2. 相关函数与协方差函数

()()()()ττττ-**=h h R R Z X

()()2

2

()h u h u du h u du λτλ+∞

+∞

-∞-∞??=-+????

??

()()()()2

()Z Z C R E X t h u h u du ττλτ+∞

-∞=-=-?????

3. 方差与均方值

()[]()()?+∞

∞

-==du u h C t X Var Z 20λ：也称为交流功率

()()2

2

2

)0(??∞

+∞-∞

+∞-??

????+=du u h du u h R Z λλ也称为总功率

例7.15 到达阳极的电子计数是参数为3

10=λ电子/秒的泊松过

程，单个电子到达阳极时的电流脉冲为

()[]

00()()i t I u t u t b =--

)(t u :单位阶跃信号，b 为常数。求：

（1） 散弹噪声)(t X 的表达式； （2） ()[]t X E 和()[]

t X E 2。

解：（1） 令电子到达随机时刻为i S ，则散弹噪声电流为：

()()∑=----=

)(0

)()(t N i i

i

b S

t u S t u I t X

（2） 电流平均值：()[]()b I du u h t X E 0310==?

+∞

∞

-λ

。

电流总功率()[

]t X

E 2

可以表示为：

()[]

()()220620

32

2

2

2

1010b I b I du u h du u h t X E +=??

? ??+=??+∞

∞-+∞

∞-λλ