有限元的弱形式

计算专题实验报告平面有限元网格生成

报告人：寒涵

学院：数学与系统科学学院

班级：信计12-1

学号：20090801110

问题一重述：

平面有限元网格生成，节点、单元、边界点边信息获取

假定区域如图1所示,

Figure 1: 区域Ω示意图.

[][][][][ ; ; ;; ;; ][]inn inn inn inn inn Left Left Bottom Top Left Right Top Top Right Right Bottom Top Ω=?????(1)选取确定的区域参数值如 0;30;21;21;2[][][][]2;3[][2]0;Ω=?????采用一致三角形网格剖分。参考所给的程序完成本区域的PT 阵程序及边界点边界边信息。

(2)根据区域的构成0 rect Ω=Ω-Ω,直接利用所给程序信息、但编程寻找区域Ω0上的节点单元及内边界边点，并得到其标号信息。

(3)考虑一般区域参数; ;;; ; inn inn inn Left Left Right Right Bottom Top Top 选取与步长

12[; ]h h 选取的关系, 如找不出关系，请至少用三种具体数据显示不同情形(内部区域宽高型、宽矮型、窄高型)来说明其关系。

1问题一的解决方案：

L2=right_inn-left_inn; L3=right-right_inn; H1=top_inn-bottom; H2=top-top_inn;

h_partition(1)是L1,L2,L3的最大公约数的真分数倍数， h_partition(2)是H1,H2的最大公约数的真分数倍数，

[M,T]=generate_MM_TT_triangle(0,1,2,3,0,1,2,[1 1],1) M =

0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 T =

1 2 2 3 7 8 7 8 8 9 4 4 5 5 9 9 10 10 11 11 2 5 3 6 8 10 8 11 9 12

[boundary_nodes,boundary_edges]=generate_boundary_nodes_edges(0,1,2,3,0,1,2,[1 1],1) boundary_nodes =

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 4 6 3 2 5 7 10 11 12 9 8 boundary_edges =

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 2 4 3 1 5 6 7 8 10 10 7 1 4 6 3 2 5 9 7 10 11 12 8 4 5 3 2 1 8 6 10 11 12 9 7 对于最大公约数，有三种情况：

（1）：整数类型：例如，（L1,L2,L3）=（2,4,8），最大公约数为2

（2）：不循环小数类型：例如，（L1,L2,L3）=（0.2,4,8），将小数乘以10的倍数，转化为整数类型，即10*（L1,L2,L3）=（2,40,80），然后求出最大公约数后还原，得到最大公

约数为0.2

(3):循环小数类型：例如，（L1,L2,L3）=（2/3,4,8），将式子通分，得到（L1,L2,L3）=（2,12,24）/3，对分子进行最大公约数的求解，结果为2/3

2问题二重述：

二维椭圆方程的有限元程序及生成 考虑二维椭圆方程

(()())(, , , , ;, , , ;, )()()()()()a x y u x y u x y f x y x y u x y g x y x y κ-??+=∈Ω

=∈?Ω

?

其中κ为常数,, 1( )a x y =.真解()()(), u x y sin x sin y =，右端函数

2()()()(, )f x y sin x sin y πκ=+.

(1) 推导出该问题的弱形式、有限元空间及有限元方程。

(2) 给出误差inf L ，2L 误差，1H L 误差的计算公式。并且当κ= 0,编程计算该问题的线性元和二次元的解，并且给出其解的inf L 误差，2L 误差，1H L 误差及误差阶。

(3)当κ= 1，10，100，1000，10000 编程计算线性元的误差及误差阶,并分析其误差结果

与κ= 0的异同点，给出结论。

问题二的解决方案

(1).二维椭圆方程的弱形式：κΩ

Ω

Ω

??+

=

?

??

()()()u v dx u v dx f v dx 有限元空间：∈

∈120,.v H u H

有限元方程：(,)(,)()a u v k u v F v += (2).11

(())max max inf i i

j n

j i j L u u ?≤≤≤≤+=

-;

1

1

1

2

21(())j j

j n

x

i i x j i j

L u u dx ?++===-∑∑?

11122211

1

()()(()())j j n

n

i i i i H j i j j i j u u u u L dxdy dxdy x x y y ??++====????=-+-????∑∑∑∑?

? κ = 0的运行结果：

（3） = 1的运行结果：

= 10的运行结果：

= 100的运行结果：

= 1000

的运行结果：

= 10000的运行结果：

不同的误差阶的比较：

结论：根据以上数据，可以看出=1,10,100,1000,10000的误差和误差阶与κ=0的误差和误差阶大致吻合。在计算过程中，前者的误差和误差阶在κ增大时趋于稳定。

3问题三重述：

热传导方程的有限元程序的编写与实现 考虑下面问题

0,,, , , , ,;, , 0, ,()(()())()()[]

()() ,0 , ;, , , , , ;,, ()()()0)[,(]

t u x y t c x y u x y t f x y t x y t T u x y u x y x y u x y t g x y t x y t T -??=∈Ω?=∈Ω

=∈?Ω∈? 其中[] , , , , 2[](,)left right bottom top c x y Ω=?=真解为, , ()(),,u x y t exp x y t =,其他条件由真解推出。

(1) 推导热传导方程的弱形式,有限元空间及有限元形式,半离散格式及全离散_格式.

(2) 取 0,10[][],1, 1,T Ω=?=步长12 1/4,1/8,1/16,1/32, 1/2,1h h t θ==?==时线性元的三种误差,步长2121 1/4,1/8,1/16,1/32,4, 1/2,1h h t h θ==?==时线性元的三种误差.

(3) 取 0,10[][],1, 1,T Ω=?=步长23121 1/4,1/8,1/16,1/32,, 1/2

h h t h θ==?≈=以及318, 1t

h θ?==时二次元的三种误差.

(4)选取不同的θ= 0.1,0.3,0.7,0.9,分析θ对有限元误差的影响.

问题三的解决方案：

（1）弱形式：

t u v dxdy +c u v dxdy =fv dxdy Ω

Ω

Ω

???

??

有限元空间：10v H ∈，2

u L ∈

有限元形式：(,)(,)()t a u v c u v F v +=

半离散格式：1(,)(,)(,)n n

n n u u a v c u v f v τ

+-+=

全离散格式：

11(

,)(,)((1),)n n i i

n n n j i j j u u a c u f f ?????θθ?τ

++-+=+-∑∑∑∑∑∑

（2）12 1/4,1/8,1/16,1/32, 1/2h h t θ==?==的线性元误差

12 1/4,1/8,1/16,1/32, 1h h t θ==?==的线性元误差

2121 1/4,1/8,1/16,1/32,4, 1/2h h t h θ==?==的线性元误差

2121 1/4,1/8,1/16,1/32,4, 1h h t h θ==?==的线性元误差

23121 1/4,1/8,1/16,1/32,, 1/2h h t h θ==?≈=的二次元误差

3121 1/4,1/8,1/16,1/32,8, 1h h t h θ==?==的二次元误差

注：由于318t h ?=的值在12 1/16,1/32,h h t ==?=1/512,1/4096，迭代次数过多，运行时间

过长，在此不列出来.

（3）12 1/4, 0.1,0.3,0.5,0.7,0.9h h t θ==?==的误差

实验观察感悟，当θ=0.5时，各类误差都比其他θ值的误差小，无论数学还是其他再也不追求

绝对的真确答案，而是追求平衡.