研究生试卷(图论)
1 / 6 图论研究生试卷 （考试时间： 至 ，共__2_小时）
课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期 2009 年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写）
一．填空题(填表题每空1分，其余每空2分，共22分) 1. 已知图G 有21条边，有3个4度顶点，其余顶点的度均为3，则G 有 个顶点。 2．若自补图G 的顶点数是n ，则G 的边数()m G = ； 3．若图111(,)
G n m =，222(,)G n m =，则它们的联图12G G G =∨的顶点数=_____; 边数= ； 4．具有4个顶点的不同构树的棵数为 ；
5． 对下列图，试填下表（是??类图的打〝√〞，否则打〝×〞）。
G 1能否一笔画 G 1是否偶图 G 2是否哈密尔顿图 G 2是否可平面图 学 号
姓
名
学
院
……
………
……
… 密……
……
…
封…………
…
线…
…
…
…
…
以
……
…
…
…
内
…
…
…
…
…
答
…
…
…
…
…题
……
…
…
…
无
…
…
…
…
…效
…
…
……
……
……
G 2 G 1
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6. K 2n+1的2因子分解的数目是______；
7. 3阶以上的极大平面图的面数ф和顶点数n 的关系为 ;
8. 下图的点色数为_______;边色数为_______。
二、单项选择(每题3分，共12分)
1．下面给出的序列中，不能构成图的度序列的是( )
(A) (1,2,3,4,5); (B) (2,2,2,2,2); (C) (1,3,3,3).;
(D) (3,3,3,3)
2．下列有向图中是强连通图的是( )
3. 关于非平凡n 阶树T ，下面说法不正确的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
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(A)T 是偶图； (B) T 是可平面图； (C)T 中存在完美匹配； (D) T 中任意两点间有唯一路相连接。
4. 关于平面图G 和其几何对偶图G *的关系，下列说法中不正确的是( )
(A) 平面图G 的面数等于其对偶图的顶点数；
(B) 平面图G 的边数等于其对偶图的边数；
(C) 平面图(*)*G G ,其中*G 表示G 的对偶图；
(D) 平面图的对偶图是连通平面图。
三、(10分) 求下图的最优树T （不要求中间过程，只要求画出最小生成树, 并
给出T 的权和）。
四、(8分) 求下图G 的色多项式P k (G ).
2 3 4 6 1 6 2 7 4 3 1
5 5
G
五、(10分) 设树T是一棵二元完全树，已知树叶数为t，t≥2。求T的边数。六，(10分) 证明：在任何图中，奇度点个数为偶数。
七、(10分) 对k>0, 证明：
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(1) 每个k 正则偶图是1-可因子分解的；
(2) 每个2k 正则偶图是2-可因子分解的。
八、(10分)有8种化学药品需要空运飞越整个国家。某些药品之间要发生化学反应，所以不能放在同一个容器中。化学药品被标记为c 1,c 2,…,c 8。下面列出的是某种给定的化学药品能够发生反应的其它化学药品 ：
1256:,,c c c c 22357:,,,c c c c c 3247:,,c c c c
43678:,,,c c c c c 51267:,,,,c c c c c c
61458:,,,c c c c c 72345:,,,,c c c c c c 84567
:,,,c c c c c 求运送这批化学药品需要的最少容器，并给出这批药品的一种最少分类存
储方式。(要求用图论方法求解)
九、(8分) 设G是至少有三个面的平面图。证明若G的对偶图G*是简单图，则G*中至少存在三个度数小于6的点。
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集合论与图论 试题A
本试卷满分90分 （06级计算机、信息安全专业、实验学院） 一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分） （ 正确画“√”，错误画“×”） 1．对每个集合A ，A A 2}{∈。 （×） 2．对集合Q P ,，若?==Q P Q Q P ,，则P =?。 （√） 3．设,,:X A Y X f ?→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。 （×） 4．设,,:Y B Y X f ?→则有B B f f ?-))((1。 （×） 5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。 （√） 6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 至多可数的。（√） 7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。 （×） 8．设)(ij a A =是 p 个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v , 有∑==p j ij i a v 1deg 成立。 （√） 9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。 （×） 10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。（×）
二.填空(本题40分，每空各2分) 1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 }}}{,{}},{{},{,{φφφφφ 。 2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 φ==B A 。 3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X , 3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 2，3 。 4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的 个数为 !m C m n 。 5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 22-n 。 6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则 =)(R S R )}2,3(),4,2(),4,1{( 。 7． 设???? ??=???? ??=5123454321,415235432121σσ，则???? ??=235411234521σσ 。 8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则 )},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c a b c b c a b a c c b b a a R =+ 。 9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数 为 22222222n n n n n n +--+- 。 10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的 X 上的等价关系为 )},(),,(),,(),,(),,(),,{(d d c c a b b a b b a a 。 11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 6，7，8，9，10 。 12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应， 这个函数为 x ctg π或-x ctg π或)2/(ππ-x tg 。 13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 p 。
电子科技大学研究生试题《图论及其应用》(参考答案)
电子科技大学研究生试题 《图论及其应用》(参考答案) 考试时间：120分钟 一．填空题(每题3分，共18分) 1．4个顶点的不同构的简单图共有__11___个； 2．设无向图G 中有12条边，已知G 中3度顶点有6个，其余顶点的度数均小于3。则G 中顶点数至少有__9___个； 3．设n 阶无向图是由k(k ?2)棵树构成的森林，则图G 的边数m= _n-k____; 4．下图G 是否是平面图？答__是___; 是否可1-因子分解？答__是_. 5．下图G 的点色数=)(G χ______, 边色数=')(G χ__5____。 图G 二．单项选择(每题3分，共21分) 1．下面给出的序列中，是某简单图的度序列的是( A ) (A) (11123); (B) (233445); (C) (23445); (D) (1333). 2．已知图G 如图所示，则它的同构图是（ D ） 3． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 4． 下列图中，不是哈密尔顿图的是（B ） 5． 下列图中，是可平面图的图的是（B ） A C D A B C D
6．下列图中，不是偶图的是（ B ） 7．下列图中，存在完美匹配的图是（B ） 三．作图(6分) 1．画出一个有欧拉闭迹和哈密尔顿圈的图； 2．画出一个有欧拉闭迹但没有哈密尔顿圈的图； 3．画出一个没有欧拉闭迹但有哈密尔顿圈的图； 解： 四．(10分)求下图的最小生成树，并求其最小生成树的权值之和。 解：由克鲁斯克尔算法的其一最小生成树如下图： 权和为：20. 五．(8分)求下图G 的色多项式P k (G). 解：用公式 (G P k -G 的色多项式： )3)(3)()(45-++=k k k G P k 。 六．(10分) 22，n 3个顶点的度数为3，…，n k 个顶点的度数为k ，而其余顶点的度数为1，求1度顶点的个数。 解：设该树有n 1个1度顶点，树的边数为m. 一方面：2m=n 1+2n 2+…+kn k 另一方面：m= n 1+n 2+…+n k -1 v v 1 3 图G
北大集合论与图论往年考题.pdf
一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。 二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。 三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？ 四、用花括号和空集来表示1?2（注意?表示集合的叉乘）. 五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射. 1．简单叙述构造的思路； 2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。 2008年期末考题： 一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。回答下列问题： 1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？ 2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？ 3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？ 二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。 1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）； 2．画出所有互不同构的这种树。 三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程 的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小 边覆盖、一个最大匹配。 四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。8阶3 正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？ 五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。 六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j
图论及其应用答案电子科大
图论及其应用答案电子科 大 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
习题三： 证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e . 证明：充分性: e是G的割边，故G ?e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G中的u ,v不连通， 而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。 必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G ?e中不存在从 u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价： （1） G 是块 （2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上； （3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。 （1）→（2）： G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。 （2）→（3）： G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。 （3）→（1）： G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。 证明：v是单图G的割点，则G ?v有两个连通分支。现任取x ,y ∈V (G ?v ), 如果x ,y 不在G ?v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G ?v的补图中连通。若x ,y在G ?v的同一分支中，则它们在G ?v的补图中邻接。所以，若v是G 的割点，则v不是补图的割点。 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。 解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}
离散数学试卷及答案(2)
一、填空 20% （每小题2分） 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
集合论与图论试卷2
哈工大 2007 年 秋季学期 本试卷满分90分 （06级计算机、信息安全专业、实验学院） 一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分） （ 正确画“√”，错误画“×”） 1．对每个集合A ，A A 2}{∈。 （×） 2．对集合Q P ,，若?==Q P Q Q P ,，则P =?。 （√） 3．设,,:X A Y X f ?→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。 （×） 4．设,,:Y B Y X f ?→则有B B f f ?-))((1。 （×） 5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。 （√） 6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 至多可数的。（√） 7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。 （×） 8．设)(ij a A =是p 个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v , 有∑==p j ij i a v 1deg 成立。 （√） 9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。 （×） 10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。（×）
二.填空(本题40分，每空各2分) 1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 }}}{,{}},{{},{,{φφφφφ 。 2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 φ==B A 。 3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X , 3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 2，3 。 4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的 个数为 !m C m n 。 5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 22-n 。 6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则 =)(R S R )}2,3(),4,2(),4,1{( 。 7． 设???? ??=???? ??=5123454321,415235432121σσ，则???? ??=235411234521σσ 。 8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则 )},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(b c a c a b c b c a b a c c b b a a R =+ 。 9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数 为 22222222n n n n n n +--+- 。 10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的 X 上的等价关系为 )},(),,(),,(),,(),,(),,{(d d c c a b b a b b a a 。 11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 6，7，8，9，10 。 12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应， 这个函数为 x ctg π或-x ctg π或)2/(ππ-x tg 。 13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 p 。
集合论与图论
集合论与图论习题册 软件基础教研室 刘峰 2015.02
第一章 集合及其运算 8P 习题 1. 写出方程2210x x ++=的根所构成的集合。 2.下列命题中哪些是真的，哪些为假 a)对每个集A ，A φ∈； b)对每个集A ，A φ?； c)对每个集A ，{}A A ∈； d)对每个集A ，A A ∈； e)对每个集A ，A A ?； f)对每个集A ，{}A A ?； g)对每个集A ，2A A ∈； h)对每个集A ，2A A ?； i)对每个集A ，{}2A A ?； j)对每个集A ，{}2A A ∈； k)对每个集A ，2A φ∈； l)对每个集A ，2A φ?； m)对每个集A ，{}A A =； n) {}φφ=； o){}φ中没有任何元素； p)若A B ?，则22A B ? q)对任何集A ，{|}A x x A =∈； r)对任何集A ，{|}{|}x x A y y A ∈=∈； s)对任何集A ，{|}y A y x x A ∈?∈∈； t)对任何集A ，{|}{|}x x A A A A ∈≠∈。 答案： 3.设有n 个集合12,,,n A A A 且121n A A A A ???? ，试证：12n A A A === 。 4.设{,{}}S φφ=，试求2S ？ 5.设S 恰有n 个元素，证明2S 有2n 个元素。
16P 习题 6.设A 、B 是集合，证明:(\)()\A B B A B B B φ=?= 。 7.设A 、B 是集合，试证A B A B φ=?=?。 9.设A ，B ，C 为集合，证明：\()(\)\A B C A B C = 。 10.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。 11.设A ，B ，C 为集合，证明：()\(\)(\)A B C A C B C = 。 12.设A ，B ，C 都是集合，若A B A C = 且A B B C = ，试证B=C 。 15.下列命题是否成立？说明理由（举例）。 (1)(\)\(\)A B C A B C = ；(2)(\)()\A B C A B C = ； (3)\()()\A B C A B B = 。（答案：都不正确）
07年研究生试卷(答案)
电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共_____小时） 课程名称 图论及其应用 教师 学时 60 学分 教学方式 讲授 考核日期_2007__年___月____日 成绩 考核方式： （学生填写） 一．填空题(每题2分，共12分) 1．简单图G=(n,m)中所有不同的生成子图(包括G 和空图)的个数是___2m __个； 2．设无向图G=(n,m)中各顶点度数均为3，且2n=m+3,则n=_ 6__; m=_9__； 3．一棵树有i n 个度数为i 的结点，i=2,3,…,k,则它有2+(i ?2)∑n i i 个度数为1的结点； 4．下边赋权图中，最小生成树的权值之和为__20___; 5、某年级学生共选修9门课。期末考试时，必须提前将这9门课先考完，每天每人只在下午考一门课，则至少需要___9__天才能考完这9门课。 二．单项选择(每题2分，共10分) 1．下面给出的序列中，不是某简单图的度序列的是( D ) (A) (11123); (B) (22222); (C) (3333); (D) (1333). 2． 下列图中，是欧拉图的是（ D ） 学 号 姓 学 …………………… 密……………封…………… 线……………以……………内……………答…… ………题… …………无……………效…………………… v 5 v v 6A B
3．下列图中，不是哈密尔顿图的是（B） A B C D 4．下列图中，是可平面图的图的是（B） A B C D 5．下列图中，不是偶图的是（B） C A B D 三、 (8分)画出具有7个顶点的所有非同构的树 解：m=n?1=6 …… 四，用图论的方法证明：任何一个人群中至少有两个人认识的朋友数相同(10分) 证明：此题转换为证明任何一个没有孤立点的简单图至少有两个点的度数相同。 参考教材P5。 五．(10分) 设G为n 阶简单无向图，n>2且n为奇数，G与G的补图G中度数为奇数的顶点个数是否相等？证明你的结论 证明：根据补图定义d G(v i)+d G(v i)=n?1。相等。 由频序列相同证明有同样奇数的顶点个数。 参考教材P5。
哈工大年集合论与图论试卷
-- 本试卷满分90分 (计算机科学与技术学院0９级各专业) 一、填空（本题满分１0分,每空各1分) 1.设B A ,为集合,则A B B A = )\(成立的充分必要条件是什么？(A B ?) ２.设}2,1{},,,2,1{==Y n X ,则从X 到Y 的满射的个数为多少?（22-n ) ３．在集合}11,10,9,8,4,3,2{=A 上定义的整除关系“|”是A 上的偏序关系， 则 最大元是什么? ( 无 ） 4．设{,,}A a b c =，给出A 上的一个二元关系,使其同时不满足自反性、反自 反性、对称性、反对称和传递性的二元关系。({(,),(,),(,),(,)}R a a b c c b a c =） ５．设∑为一个有限字母表,∑上所有字(包括空字）之集记为*∑，则*∑是 否是可数集? （ 是 ) ６.含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为多少？ （ ４ ） 7.若G 是一个),(p p 连通图，则G 至少有多少个生成树? （ 3 ） 8. 如图所示图G ,回答下列问题： (１）图G 是否是偶图? ( 不是 ) (2）图G 是否是欧拉图? ( 不是 ） (3)图G 的色数为多少？ ( 4 ) 二、简答下列各题（本题满分40分） 1．设D C B A ,,,为任意集合，判断下列等式是否成立?若成立给出证明，若不 成立举出反例。(6分) (1))()()()(D B C A D C B A ??=? ； （2）()()()()A B C D A C B D ?=??。 解:（1）不成立。例如}{,a c B D A ====φ即可。 （2）成立。(,)x y ?∈()()A B C D ?，有,x A B y C D ∈∈，即 ,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。所以(,),(,)x y A C x y B D ∈?∈?,因此 (,)()()x y A C B D ∈??,从而()()A B C D ??()()A C B D ??。 反之,(,)x y ?∈()()A C B D ??，有,,,x A x B y C y D ∈∈∈∈。即 (,)x y ∈()()A B C D ?，从而()()A C B D ???()()A B C D ?。
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1．设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???0101 010******* 11100100110 则G 的边数为( )． A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 2．已知图G 的邻接矩阵为 ， 则G 有（ ）． A ．5点，8边 B ．6点，7边 C ．6点，8边 D ．5点，7边 3．设图G ＝
图三 7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) ． 图四 A ．（a ）是强连通的 B ．（b ）是强连通的 C ．（c ）是强连通的 D ．（d ）是强连通的 应该填写：D 8．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ ）时，K n 中存在欧拉回路． A ．m 为奇数 B ．n 为偶数 C ．n 为奇数 D ．m 为偶数 9．设G 是连通平面图，有v 个结点，e 条边，r 个面，则r = ( )． A ．e －v ＋2 B ．v ＋e －2 C ．e －v －2 D ．e ＋v ＋2 10．无向图G 存在欧拉通路，当且仅当( )． A ．G 中所有结点的度数全为偶数 B ．G 中至多有两个奇数度结点 C ．G 连通且所有结点的度数全为偶数 D ．G 连通且至多有两个奇数度结点 11．设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，必须删去G 的( )条边，才能确定G 的一棵生成树． A ．1m n -+ B ．m n - C ．1m n ++ D ．1n m -+ 12．无向简单图G 是棵树，当且仅当( )． A ．G 连通且边数比结点数少1 B ．G 连通且结点数比边数少1 C ．G 的边数比结点数少1 D ．G 中没有回路． 二、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结 点，则G 的边数是 ． 2．设给定图G (如图四所示)，则图G 的点割 ο ο ο ο c a b f
集合论与图论SG2017-期中试题-答案(1)
一、（20分）对于任意集合A和B， （1）证明：P(A)?P(B) = P(A?B)；（14分） 对任意的x∈P(A)?P(B)，有x∈P(A)且x∈P(B)。即x?A并且x?B，则x?A?B。所以x∈P(A?B)。故P(A)?P(B)?P(A?B)。（7分）对任意的x∈P(A?B)，有x?A?B，即x?A并且x?B，所以x∈P(A)且x∈P(B)。因此P(A?B)?P(A)?P(B)。（7分）综上所述，P(A)?P(B)=P(A?B) （2）举例说明P(A)?P(B) ≠ P(A?B). （6分） A={1}, B={2}, A?B={1, 2}; P(A)={?, {1}}, P(B)={?, {2}}, P(A)?P(B)= {?, {1}, {2}}, P(A?B)= {?, {1}, {2}, {1, 2}}; 所以P(A)?P(B)≠P(A?B) 二、（20分）设R, S是A上的等价关系且R?S=S?R，证明： R?S是A上的等价关系. 自反性和对称性容易证明，略。（5分） 传递性证明： 对任意a, b, c∈A，如果(a, b)∈R?S, (b, c)∈R?S，要证明(a, c)∈R?S。 因为R?S=S?R，则有(b, c)∈S?R，即存在e, f∈A，使(a, e)∈R，(e, b)∈S，(b, f)∈S，(f, c)∈R。 因为S是传递的，(e, b)∈S，(b, f)∈S，所以(e, f)∈S；因为(a, e)∈R，所以(a, f)∈R?S；R?S是对称的，则(f, a)∈R?S；因为R是对称的，(f, c)∈R，则(c, f)∈R。因为(f, a)∈R?S，则存在g∈A，使得(f, g)∈R，(g, a)∈S；因为R是传递的，
离散数学图论部分经典试题及答案
离散数学图论部分综合练习 一、单项选择题 1.设图G 的邻接矩阵为 ??? ???? ? ????? ???01010 1001000001 1100100110 则G 的边数为( ). A.6 B.5 C.4 D.3 2.已知图G 的邻接矩阵为 , 则G 有( ). A.5点,8边 B.6点,7边 C.6点,8边 D.5点,7边 3.设图G ＝
图三 7.设有向图(a )、(b )、(c )与(d )如图四所示,则下列结论成立的就是 ( ). 图四 A.(a )就是强连通的 B.(b )就是强连通的 C.(c )就是强连通的 D.(d )就是强连通的 应该填写:D 8.设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当( )时,K n 中存在欧拉回路. A.m 为奇数 B.n 为偶数 C.n 为奇数 D.m 为偶数 9.设G 就是连通平面图,有v 个结点,e 条边,r 个面,则r = ( ). A.e －v ＋2 B.v ＋e －2 C.e －v －2 D.e ＋v ＋2 10.无向图G 存在欧拉通路,当且仅当( ). A.G 中所有结点的度数全为偶数 B.G 中至多有两个奇数度结点 C.G 连通且所有结点的度数全为偶数 D.G 连通且至多有两个奇数度结点 11.设G 就是有n 个结点,m 条边的连通图,必须删去G 的( )条边,才能确定G 的一棵生成树. A.1m n -+ B.m n - C.1m n ++ D.1n m -+ 12.无向简单图G 就是棵树,当且仅当( ). A.G 连通且边数比结点数少1 B.G 连通且结点数比边数少1 C.G 的边数比结点数少1 D.G 中没有回路. 二、填空题 1.已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数就是 . 2.设给定图G (如图四所示),则图G 的点割 集就是 . 3.若图G=
离散数学试卷及答案
一、填空 20% 1、 P ：你努力，Q ：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y yP x ??真值为 。 2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 的子集，则由B 31所表达的子集是 。 3、 设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系R= ； A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 6、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 7、4阶群必是 群或 群。 8、下面偏序格是分配格的是 。
9、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 10、公式R Q P Q P P ?∧∨?∧∧?∨)(())(( 的根树表示为 。 二、选择 20% （每小题2分） 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→ 。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为
图论及其应用
图和子图 图 图 G = (V, E)， 其中 V = {νv v v ,......,,21} V ---顶点集， ν---顶点数 E = {e e e 12,,......,ε} E ---边集， ε---边数 例。 左图中， V={a, b,......,f}, E={p,q, ae, af,......,ce, cf} 注意， 左图仅仅是图G 的几何实现（代表）， 它们有无穷多个。真正的 图G 是上面所给出式子，它与顶点的位置、边的形状等无关。不过今后对两者将经常不加以区别。 称 边 ad 与顶点 a (及d) 相关联。也称 顶点 b(及 f) 与边 bf 相关联。 称顶点a 与e 相邻。称有公共端点的一些边彼此相邻，例如p 与af 。 环（loop ，selfloop ）：如边 l 。 棱（link ）：如边ae 。 重边：如边p 及边q 。 简单图：（simple graph ）无环，无重边 平凡图：仅有一个顶点的图（可有多条环）。 一条边的端点：它的两个顶点。 记号：νε()(),()().G V G G E G ==。 习题 1.1.1 若G 为简单图，则 εν≤?? ?? ?2 。 1.1.2 n ( ≥ 4 )个人中，若每4人中一定有一人认识其他3人，则一定有一 人认识其他n-1人。 同构 在下图中， 图G 恒等于图H , 记为 G = H ? V （G)=V(H), E(G)=E(H)。 图G 同构于图F ? V(G)与V(F), E(G)与E(F)之间各存在一一对应关系，且这二对应关系保持关联关系。 记为 G ?F 。 注 往往将同构慨念引伸到非标号图中，以表达两个图在结构上是否相同。 d e f G = (V, E) y z w c G =(V , E ) w c y z H =(V ?, E ?) ?a ? c ? y ? e ?z ? F=(V ??, E ??)
集合论与图论
《集合论与图论》课程示范性教学设计 1 本课程教学方法 （一）教学方法 在这里，仅总结一下我的教学方法，不细展开，因此不涉及专业术语和与专业有关的例子。以下仅是一些指导思想： （1 ）启发式、由浅入深、从直观到抽象。要用些生动的例子帮助学生理解抽象概念的含义，但要做到生动而有趣又不失概念的准确性和推理的严格性，使学生易于接受，又了解直观背景。 （2 ）突出基本思想及方法，强调规律性，提高学生的抽象能力。要从哲学的高度强调概念是第一位的，引导学生思考问题时必须清楚理解所涉及的概念，使问题有一个明确的提法，引导学生掌握从问题到建立数学模型这一抽象过程的方法。 （3 ）利用集合论某些概念和理论与方法总结已学过的知识（如微积分、线性代数）找出本质的规律或主线，使学生认识事物内部的深刻规律。其次，随时指出在后继课如何应用这些知识、在科技论文中将怎样出现这些知识的应用。这不仅提高了学习的积极性，也使学生增强了学习的目的性。 （4 ）只要有可能就要以建立数学模型组织教学，讲习题也不例外。这样，能使学生加深印象—任何时候都要抓住事物的本质与事物之间的联系。 （5 ）鼓励学生多问为什么，为什么会是这样子而不是那个样子。不是教会学生怎样去使用工具、去模仿或复制，而是要教会学生独立思考，发现问题，提出问题和解决问题的思考，否则思维会退化。 （5 ）适当地提出一些未解决的问题。尚无答案的问题是摆在我们及学生面前的有无限价值的东西，因为支持大学的最高准则是探究未知领域。事实上，在每年教此课时，提一些问题确实有学生在思考。 （6 ）注意每个学科（内部）的美。如果某部分很丑或太复杂，人们倾向于认为是不清楚的和暂时的，它没有真正反映客观规律，因为我们相信，越接近终极真理，我们的解释中的不自然的东西就越少。科学是以越来越完美、有力的理论向终极真理发展的。 （二）关于素质教育、培养创新精神的人才的思考 素质教育应该是各类教育的核心，而培养创新人才则是高等教育的任务（见高等教育法，第五条）。在这里讨论这个题目不太合适，因为题太大。其实，在（五）中就本课的特点贯穿了素质教育和培养创新人才的思想。以下只扼要地总结一下。 1 ）教会学生如何进行逻辑推理，如何进行正确地思维，如何在纷繁的事物中抓住主要的联
集合论图论 期中考试试题及答案
08信安专业离散数学期中考试试题 1.设A, B, C, D为4个集合. 已知A?B且C?D.证明: A∪C?B∪D; A∩C?B∩D . (15分) 2.化简以下公式: A∪((B―A)―B) (10分) 3.设R是非空集合A上的二元关系.证明:R∪R-1是包含R的 最小的对称的二元关系. (15分) 4.设A={1,2,…,20},R={
期中考试试题解答 1.证明: ?x, x∈A∪C x∈A∩C ?x∈A∨x∈C ?x∈A∧x∈C ?x∈B∨x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∧x∈D (A?B,C?D) ?x∈B∪D ?x∈B∩D ∴A∪C?B∪D ∴A∩C?B∩D 2.解: A∪((B―A)―B) =A∪((B∩∽A)∩∽B) =A∪(∽A∩(B∩∽B)) =A∪(∽A∩φ) =A∪ф =A . 3.证明:首先证R∪R-1是对称关系. ?
图论及其应用(精)
图论及其应用 学时：40 学分：2 课程属性：专业选修课开课单位：理学院 先修课程：高等代数后续课程：无 一、课程的性质 《图论及其应用》是数学与应用数学专业的专业选修课程。 二、教学目的 通过教学，使学生掌握图论及其算法的基本理论和基本技巧，初步掌握图论及其算法的基本应用手段、基本算法设计及编程，并能用所学理论解决一些应用问题。 三、教学内容 1.图的基本概念 2.图的连通性 3.树的基本性质及其应用 4.Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 5.平面图性质 6.匹配，求最大匹配算法及应用 7.图的染色及应用 8.极图理论 四、学时分配 章课程内容学时 1 图的基本概念 4 2 图的连通性 6 3 树的基本性质及其应用 6 4 Euler Graphs and Hamilton Graphs with Applications 4 5 平面图性质 6 6 匹配，求最大匹配算法及应用 6
7 图的染色及应用 4 8 极图理论 4 合计40 五、教学方式 本课程采用多媒体课堂讲授，结合实际范例深入浅出讲解讨论。 六、考核方式 本课程考核采用平时与期末考核相结合的办法，特别注重平时的考核，作业采用简单练习、论文等形式，期末考试采用简单考题或论文形式。 七、教材及教学参考书 参考教材： [1] J.A.Bondy and U.S.R.Murty. Graph Theory with Applications, The Macmillan Press LTD,1976. [2] 蒋长浩．图论与网络流．北京：中国林业出版社，2000． 参考书目： [1] Bela Bollobas．Modern Graph Theory（现代图论，影印版）．北京：科学出版社，2001． [2] 殷剑宏、吴开亚．图论及其算法．合肥：中国科学技术大学出版社，2003． [3] 谢金星、邢文训．网络优化．北京：清华大学出版社．2000． [4] 程理民、吴江、张玉林．运筹学模型与方法教程．北京：清华大学出版社，2000． [5] 三味工作室．SPSS V10.0 for Windows 实用基础教程．北京：北京希望电子出版社2001． [６] 孙魁明、张海彤．Mathematica工具软件大全．北京：中国铁道出版社，1994． [７] 楼顺天、于卫、闫华梁．MATLAB程序设计语言．西安：西安电子科技大学出版社，1997．八、教学基本内容及要求 第一章图的基本概念 1．教学基本要求 掌握的图的基本概念、特殊图概念，了解最短路问题。 2．教学具体内容 图的基本概念，路和圈，最短路问题。
集合论与图论复习题
集合论图论复习题 1、填空题 ⑴ 设A={2，a ，{3}，4}，B={Φ，4，{a}，3}，则A ⊕B= ； ⑵ 设A={2，3，4}，则P （A ）= ； ⑶ 设A={{2}，{2，4}}，则 A — A= ； ⑷ 设