图论模拟题

浙江师范大学《图论》考试卷

（2007－2008学年第一学期）

考试类别 闭卷 使用学生 行知数学 051.052. 考试时间 150 分钟 出卷时间 2008年1月4日 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、填空题 (25%)

1、给定图G

11

（1）给出图G 的一条最长路＿＿＿＿＿＿＿；

（2）给出图G 的二个参数值λ(G)= ,κ(G)= ； （3）给出图G 的一个最大独立集 ；

（4）作出子图G[u 2,u 5,u 7,u 9,u 11,u 12]________,G-{u 8,u 9,u 12}____________, G-{u 1u 3,u 1u 4,u 1u 7,u 1u 10}_________ _______；

2、图G 是二分图的充分必要条件是 ；

3、G=(X,Y,E)是二分图，无孤立点，则β1(G) 与α0(G)的关系是 ；

4、Ramsey 数r(k,t)、r(k-1,t) 和r(k,t-1) 的关系是 ；

5、G 是含有56个顶点的无回路图，且对Ｇ中任两个不相邻的顶点v u ,，Ｇ+uv 有唯一的回路，则Ｇ的边数为____________;

6、图G 有Euler 环游的充要条件是＿＿＿＿；

二、设七个字母在通迅中出现频率分别为a;25%,b;22%,c;20%,d;12%,e;10%,f;6%，g;5%。编一个最优前缀码，并画出相应的最优二元树。 (15%) 三、 证明：非平凡连通图G 至少有二个非割点。 (10%) 四、

G 是点色数χ(G)=2的k —正则简单图。证明G 有k 个边不交的完美对集M 1,M 2, ┄, M k ，

使 E(G)= M 1∪M 2∪┄∪M k 。 (13%) 五、

给出平面图G 的顶点数p(G)、边数q(G)、面数 )(G ?和连通分支数ω(G)的一个关系式，

并给予证明。 (15%) 六、

G 是p 个顶点的简单图，对G 中每一对不相邻的顶点u 、v,均有d G (u)+d G (v)≥p-1。

（1） 证明G 有Hamilton 路；（2） G 是二连通图吗？为什么？。 (12%)

七、设Ｇ是连通图，若对每个真子集V 0?V(G) ，只要∣V 0∣≤k-1，G- V 0仍连通.证明q(G)≥

kp(G)/2 。 (10%)

《图论》试卷参考答案和评分标准

(2007-2008学年第一学期)

命题教师卜月华使用学生行知学院数学051 052 班2008年1月4日

一、填空题

1、（1）C= u5u1u3u2u8u11u12u7u4u10u6u9(2分);

(2) λ(G)=2 ,κ(G)= 2 ；（4分）

(3) {u3,u5,u8,u9,u10,u12} (2分)

(4)

5

9(2分)

32

11

(2分)

u3

11

(2分)

2、不含奇圈的非平凡图(2分)

3、α0(G)=β1(G) (2分)

4、r(k,t)≤r(k-1,t) +r(k,t-1) (2分)

5、55 (2分)

6、G连通且无奇点。(3分)

二、（1）解：用100

w 1=5 w 2=6 w 3=10 w 4=12 w 5=20 w 6=22 w 7=25，用Huffman 算法求得权为5，6，10，12 22，25的最优二元树T 。 (8分 在T 上求一个最优前缀码 A ＝{0000，0001，001，100，101，01，11} 传送这六个字母的最优前缀码为：11表示a ，01表示b ，001表示c ，100表示d ， 101表示e, 0001表示f ，0000表示 (7分) 0000 0001

三、 证明；因为G 是非平凡连通图，故图G 有生成树T ，且至少有二个点。

（3分）

则T 中度为1的顶点个数至少有2个， （2分） 设u 1，u 2是T 中度为1的顶点，则对每一个u i ,T-u i 仍是树，且为G －u i 的生成树（i=1,2）,因此G －u i 是连通图，也即u 1，u 2都是图G 的个非割点。因此连通因G 至少有2个非割点。 （5分）

四、 证明；因为G 的点色数χ(G)=2，所以图G 不包含长为奇数的回路，由定理5.1.1,G 是k —正则二分图。 （3分）

由推论5.3.3，图G 有完美对集M 1. （4分）

因G 是k —正则二分图，故G －M 1是(k-1)—正则二分图,故当k-1≥1时， 同样由推论5.3.3，图G －M 1有完美对集M 2，依次类推，可得图G 的k 个边不交的完美对集M 1,M 2, ┄, M k ，使 E(G)= M 1∪M 2∪┄∪M k （6分）

五、 证明：若图G 连通，则由Euler 公式p(G)-q(G)+)(G ?=ω(G)+1。（3分）

设G 的连通分支为G 1，G 2，┄┄，G ω，则对G 的每一个连通分支G i , G i 是连通平面图，由Euler 公式，有p(G i )-q(G i )+ ?(G i )= 2。 （4分）

又对G ，有 p(G)=

)(1∑=ωi i

G p ,q(G)=)(1∑=ωi i

G q , ?(G i

)=)(1

∑=ω

?i i

G - (ω-1) （3分）

现对式子p(G i )-q(G i )+?(G i )= 2关于i 求和，并将上面三个式子代入，可得

p(G)-q(G)+?(G)= ω+1 （3分）

六、证明：构造图H ：在G 中增加一个不在G 中的顶点w ，使w 与G 中的每一个顶点相邻。

（2分）

现在H 的顶点数为p(G)+1,而且G 中两个顶点不相邻当且仅当这两个顶点在H 中不相邻，对H 中每一个不同于w 的顶点u ，均有d H (u) ＝d G (u)+1。故对H 中任二个不相邻的顶点u,v,有d H (u) +d H (v)＝d G (u) +d G (v)+2>p 。即

d H (u) +d H (v) ≥p(H) （4分）

由定理 4.3.2，图H 有Hamiltom 回路C ，则C-w 就是G 的Hamiltom 路。(3分）

图G 不一定是二连通图，如二个完全图有一个公共顶点所产生的图就是一个反例 。(3

分）

七、 设V 1是G 的一个最小顶点割集，则G-V 1是非连通图且∣V 1∣＝)(G κ

（3分）

由己知条件可知，∣V 1∣≥k ，所以)(G κ≥k 。但δ(G) ≥)(G κ≥k 。

（4分）

再由定理1.3.1

2q(G)=

∑u

u d )( ≥p(G)δ(G) ≥p(G)k

故有 q(G) ≥kp(G)/2 （3分）

模拟试题1

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一、填空题（20分，每空2分） 1、给定图

(1)、给出图 的一个最长回路 ；

(2)、给出图 的一个生成树 ；

(3)、给出图 的点连通度 ；

(4)、给出图 的最大对集 ；

(5)、作出图

的闭包 ；

2、任一个圈中奇点的个数必为 ；

3、若

有44个点的连通图，且对

每条边 ，

非连通，则的边数为 ；

4、设有个连通分支且无回路，则；

5、非平凡连通图是Euler图的充分必要条件是；

6、简单图至少有3个点,

,为的非空真子集,则的连通分支数至多是.

o 1. (1)

o(2)

o(3) 3

o(4)

o(5)

o

4. 5. 无奇点 6.

o 2. 偶数 3. 43

二、(本题满分12分)试给出一个算法,求连通赋权图中权最大的生成树.

o算法：

1)在中选取边，使尽可能的大；

2)若已经选定边，则在中选取边

，使满足以下两条：

I.不含回路；

II.在满足Ⅰ的前提下，使尽可能的大。

3)当2)不能继续执行时，停止。

三、（本题满分10分）设是阶连通图,若对每个,只要

,仍连通,证明:.

证：由条件知,是连通图，则

四、（本题满分12分）证明：简单图是树当且仅当中存在一个顶点到中其余每个顶点有且只有一条路。

o证：必要性：由定理3.1.1立即可得。

充分性：首先可见连通。否则，设有两个连通分支、，且，则到中的顶点没有路，与题设矛盾。

其次，中无回路。否则，若有回路。由于连通，到上的点有路，且设与的第一个交点为，则到上除外

其余点都至少有两条路，又与题设矛盾。

故是树。

五、(本题满分13分) 设是简单图若，则中有一个长度至少是的

回路。

?答案

o证：在的所有路中，取一条最长的路 ,记，则和的所有邻点全在中，由于，所以至少有个邻点，设有

，则就是的一个长为

的回路，显然。

六、(本题满分18分) 设是连通图中某一回路，若删去中任意一条边就得到

的一条最长路。证明：(1)是的H—回路；(2)讨论此时中是否有完美对集。

?答案

o证：(1)设的长度为。反证法，假设不是连通图

的H—回路，即连通，存在路

，设与最后一个交点为。在中去掉与关联的一条边，再加上路，就可以得到一条长度至少是的路，与删去中任意一

条边就得到的一条最长路矛盾。故，则含个

点，是H—回路

(2)当为奇数时，无完美对集。

当为偶数时，则令，则是的一个完美对集，也是的一个完美对集，故此时有完美对集。

七、(本题满分15分)设是无奇圈的-正则图简单图()，证明：中有个边

不交的完美对集，使。

答案

o证：对用归纳法。

当 =1时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。

假设当时命题也成立，则当时，是正则二分图，由推论

5.3.3，有完美对集是正则二分图，由归纳假设，存在

个边不交的完美对集，使：

。从而有存在个边不交的完美对集

，使：，即命题成立。

模拟试题2

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一、填空题（20分，每空2分）

1、是阶简单图，则，等号成立当且仅当是图。

2、的图是图或图。

3、边数最少的连通图是。

4、是简单图且，则。

5、

是有40个点的简单图且中任两个点之间有且只有1条路，则

6、二分图中若与满足，则必有完美对集。

7、若二分图有Hamilton回路，则与满足。

8、的一个对集是最大对集的充要条件是。

o1、，完全图 2、平凡图，不连通图 3、树， 4、 5、

39

6、7、8、中无可扩路

二、(本题满分12分)对下图，求一个最优生成树。

?答案

o

o

三、(本题满分13分)证明任意六个人中有三个人互相认识，或有三个人互不认识。.

?答案

o证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。则对于图中任意一个点

或。不妨设及它的3

个邻点为。若中有任意两个点，不妨设为，相邻，则

对应的3个人互相认识；否则，中任意两个点不邻，即它们对应的3

个人互不认识。

四、(本题满分10分)连通图的一条边是割边当且仅当不含在的任何回路上。

?答案

o证：必要性：假设在的某一回路上，，中存在路，

1、若，则是中的路；

2、若，则是中的途径，从而中存

在路。

故连通。，与是割边矛盾。故不在回路中。

充分性：假设不是割边，则仍连通，存在路，则就是含的一个回路，与不在回路中矛盾。故是割边。

五、(本题满分12分)设是至少有3个顶点的连通图，证明中存在两个顶点，使得仍是连通图。

?答案

o证：是至少有3个顶点的连通图，有生成树，设是的悬挂点，则连通，是的生成子图，从而连通。

六、(本题满分15分)是无奇点的连通图()。证明：中每个顶点，均有

。

?答案

o证：由题意知，是Euler图。设的每个连通分支为，则每个中至少有两个点与邻。否则的话，由于是Euler图，中

每个顶点的度数为偶数。若中只有一个点与邻，设为，则中除

了外其余点度数都是偶数，与推论1.3.2矛盾。故每个中至少有两个

点与邻。从而。

(本题满分18分)图 ( )无奇圈，则

七、

(1)证明有完美对集的充分必要条件是；

(2)举例说明若去掉无奇圈这个条件，则上述结论不成立。

答案

o证：(1)由题意知是二分图，

必要性：。设二分

图的完美对集为，则在下分别与

配对，故

。

充分性：由于，则。另一方

面，令，则；令，则

。故。从而由推论5.3.2，二分图有完美对集。

(2)反例见

o1、 (1)、

o

o (2)、3 (3)、(4) 、 (5)、2 ，2

o2、恰好有2个奇点3、4、5、

二、(本题满分12分)若有Hamilton路，则。

o证：令是的一个Hamilton路，则

。而是生成子图，

故。

三、(本题满分13分)平面上有条线段，其中任3条线段有公共端点，则这条线段有公共端点。

o证：构图，其中代表平面上线段的端点，两个顶点相邻当且仅当这两个点是同一条线段的端点。则所得图是简单图，且题目条件转化为

证明存在一个顶点，使得。

是连通图。否则，不连通，至少有两个连通分支。令其一个连通

分支为。则分别在中取条边，在中取

条边，可见这3条边没有公共端点，与题设矛盾。故连

通。

用反证法。令是图的最大度点，且设与相关联。假设中有一个顶点与不相邻。由题意知存在边与点相关

联。从而没有公共端点，与题设矛盾。故存在一个顶点，使得

，即这条线段有公共端点。

四、(本题满分12分)连通图的边是割边的充分必要条件是在的每个生成树中。

o证：必要性：假设不是的割边，即连通，有生成树，与在的每个生成树矛盾。故不是的割边。

充分性：假设存在一棵生成树，使得不在中，从而连通，与

是的割边矛盾。故在的每个生成树中。

五、(本题满分15分)证明：中有个边不交的完美对集，使：

。

答案

o证：是正则二分图，故只要证正则二分图中有个边不交的完美对集，使：。对用归纳法。

1.当 =1时，图本身可以看成是一个对集，故此时命题成立。

2.假设当时命题也成立，则当时，是正则二分图，

由推论5.3.3，有完美对集是正则二分图，由归纳假设，

存在个边不交的完美对集，使：

。从而有存在个边不交的完美对集

，使：，即命题成立。

六、(本题满分10分)设是简单图，。证明：中存在长度至少是的路。

?答案

o证：选取的一条最长路，则的所有邻点都在中，所以，即中存在长度至少是的路。

(本题满分18分)是简单图，对中每一对不相邻的顶点均有

七、

。证明：

（1）有Hamilton路；(2)讨论此时是否有完美对集。

?答案

o证：（1）在中添加顶点，并使与中所有点都相邻，记所得图为。则在中，，且

，

由定理4.3.2，有H—回路就是的Hamilton路。

(2)如果为奇数，则没有完美对集。

如果为偶数，设的Hamilton路为，则

是完美对集。

模拟试题4

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一、填空题（20分，每空2分）

1、若是 -正则图，则。

2、简单图满足，则是图。

3、的图是图或图。

4、树恰有两个悬挂点，则。

5、有生成树的充要条件是。

6、若是有31个点的连通图且中每条边都是割边，则。

7、阶图是连通图，则。

8、若是的一个对集，则，等号成立当且仅当是对集。

o1、2、不连通图 3、不连通图，平凡图

4、2

5、连通

6、30

7、 1

8、，完美

对集

二、(本题满分12分) 求下图的生成树个数。

答案

o

o

三、(本题满分10分) 设是连通图，若对每个，只要

仍连通，证明。.

?答案

o证：由题意知，是边连通图，

。

四、(本题满分12分)有一个六人团体，已知任意三人中总有二个人互相认识。证明：这六个人中总有三个人互相认识。

?答案

o证：构图如下：图的顶点代表这6个人，两个顶点相邻当且仅当对应的两个人互相认识。则对于图中任意一个点或

。1.及它的3个邻点为。由题意知，中

有两个点相邻，不妨设为，则对应的3个人互相认识；2.，

及与不相邻，由题意知中有两个点相邻，则必有

。同理，即对应的3个人互相认识。

五、(本题满分13分)连通图无回路的充分必要条件为的每条边是割边。

?答案

o证：假设不是割边，连通，有一条路，则是一个回路，矛盾。

设有回路，令是回路上的任一条边。

，中存在路，

1、若，则是中的路；

2、若，则是中的途径，从而中存

在路。

故连通。与图上的一条边是割边矛盾。

六、(本题满分15分)设是连通简单图，证明中存在个顶点，使得

仍是连通图。

?答案

o证：是连通简单图，设其最大度点为。设是关于的保距生成树，则，故中至少有个悬挂

点，不妨设为，则连通，是的

生成子图，即连通。

七、(本题满分18分)设是连通图，证明：是Euler图当且仅当存在边不交的回路

，使：。

答案

o证：充分性：若中存在边不交的回路，使：

。则对中任意一个顶点，假设在个回

路中，由回路的边不相交性，有，是偶数。又连通，由定理

4.1.1，有是Euler图。

必要性：对边数用归纳法。当边数为1的时候，只能是一个顶点其边为环的图，显然满足条件。

归纳假设边数时成立，现在证明边数等于时定理的必要性也成立。

由于是Euler图，无奇点且连通，故中每个顶点度至少是2。由定理

2.1.1知中存在回路。现将中属于的边全删去，再除去孤立点得

图。显然的每个顶点度仍然是偶数，则的每个连通分支

都是无奇点的连通图，是Euler图，且边数，由归纳假

设，中存在边不交的回路，使：

。则中存在边不交的回路

，使：。