图论习题答案1

图论习题课作业1，3，6，8，10

By jgy

?作业1：第一章：1,2,4,12,20,29,35

?作业3：第二章：14,28,30第三章：1,5,7,8?作业6：第五章：18,33

?作业8：第六章：6,12,17

?作业10：第七章10 第八章5,6,8

作业1

|E(G)|,2|E(G)|2G υυ??

≤ ???

???

1.1 举出两个可以化成图论模型的实际问题略

1.2 证明其中是单图

证明：（思路）根据单图无环无重边的特点，所以最大的情形为任意两个顶点间有一条边相连，即极端情况为。

?1.20证明每顶皆二次的连通图是圈

?证明：（思路）易证每顶皆二次的连通图中有圈。设图中最大圈为H，假设除H外还有其他顶点集U，任取u k，因为连通，u k 与H中任意顶均有一条道路，存在H中一顶h j与u k相邻，则h j为三次。

?1.29 证明二分图的子图是二分图

?方法一：

?定理1.2 图G是二分图当且仅当G中无奇圈

?反证：设二分图为G，子图为S，假设S非二分图，由定理1.2知S中有

奇圈，则G中有奇圈，这与G是二分图矛盾。

?方法二：

?（思路）定义：V(G) = X U Y, X n Y=空, 且X中任二顶不相邻，且Y中任二

顶不相邻。

?证明：

?(a)第一个序列考虑度数7,第二个序列考虑6,6,2

?(b)将顶点v分成两部分v’和v’’

?v’ = {v|v= vi , 1≤ i≤ k},

?v’’ = {v|v= vi , k< I ≤ n}

?以v’点为顶的原图的导出子图度数之和小于

?然后考虑剩下的点贡献给这k个点的度数之和最大可能为

?2.14 画出带权0.2 0.17 0.13 0.1 0.1 0.08 0.06 0.06 0.07 0.03的huffman 树

?排序：①0.03 0.06 0.06 0.07 0.08 0.1 0.1 0.13 0.17 0.2?②0.06 0.07 0.08 0.090.1 0.1 0.13 0.17 0.2?③0.08 0.090.1 0.1 0.130.13 0.17 0.2?④0.1 0.10.130.13 0.170.17 0.2?⑤0.130.13 0.170.17 0.20.2?⑥0.170.17 0.20.2 0.26?⑦0.20.20.26 0.34?⑧0.26 0.34 0.4?

⑨

0.4 0.6

0.030.06

0.09

0.030.060.09

0.06

0.07

0.13

0.030.06

0.090.060.07

0.13

0.17

0.08

①③

②

0.030.06

0.09

0.060.07

0.130.17

0.08

0.10.1

0.2

0.130.26

Huffman 树为

0.170.340.2

0.40.6

?2.28证明T是顶数至少为2的树，则T是二分图

?证明1：

?定理1.2 图G是二分图当且仅当G中无奇圈

?T是树，所以T中无奇圈，由‘图G是二分图当且仅当G中无奇圈’知T是二分图。

?证明2：

?二分图定义。

?考虑这样一种构造方法，从树根出发，树根结点放入顶集合X，树的第一层结点放入顶集合Y，树的第2K层结点放入X，树的第2K+1层结点放入Y。

?2.30若G 是加权连通图，且有一个长为m 的圈C ，

C 上的边的权相等，且是E(G)中边权最小的值，则G 中至少有m 棵不同的最优树，试加证明。

?证明：思路：kruskal 算法。圈C 上必有m-1条边被

选入，方法为C m m?1

= m.

情况讨论。

是等价的，没有必要分另，注意，这些边完全：画出即可

hints 。删去一条边皆是平面图与证明 3.13,3K 5K

是一个自对偶平面图。

条幅的轮时，）（从而又由欧拉定理，面数对偶图，则顶点数为自由于证明：

顶自对偶图。构作一个自1-n W 1422

)(2)(2G )1(n ,4,)2(2)(2)(对偶图，则为G 若(1)-≥-==+-=≥∈?-=n n G v G n N n G v G εφενφνε?5.对偶图的概念。自对偶图：平面图G 与其对偶图同构。证明：

不是平面图

G 从而,6)(3)(时，11当2

7313v 得63）127（21解）127（2

1)(则6

)(3)(又,2)1()()(证明：不是平面图G 个，则11的顶点数不少于G 若7.3c

->≥±=

-=+-+-≥-≤-=+c c c

G v G v v v v v v G G v G v v G G εεεεε

假设有其它交点，如图AB 与CD 交于O ，则有AO+CO>AC

BO+DO>BD

所以AC+BD

对。

6n 3中至多S 的顶对在1，则距离恰为1中任两点距离至少为S ，

3n ，是平面上点组成的集合},...,,{8.321-≥=n x x x S 面图）。

点外没有其他交点（平下证Ｇ中任两边除了端.

1距离为间，中相连以边当且仅当G 在与Ｇ，

为顶点集构造一个单图S 证：以j i j i x x x

?5.18 χ(G) +χ(G c) ≤ v + 1,其中G c为G的补图

?证明：数学归纳法。

?假设v= k时成立，即χ(G) +χ(G c) ≤ v+ 1

?下证v= k + 1时成立，即χ(G) +χ(G c) ≤ v+ 2，在v= k的图中添加

一点u，设u与图G顶相连个数为d(u),与G c相连为d’(u),下讨论

d(u) ,d’(u).

?①d(u)<χ(G) ,

?χ(G) = χ(G+u),同时χ(G c+u) ≤ χ(G c)+1，所以χ(G c+u)+ χ(G+u)

≤ χ(G) +χ(G c)+1

?②d’(u) <χ(G c) ，同①

?③d(u)≥χ(G) ,d’(u) ≥ χ(G c)

?d(u)+d’(u) ≥ χ(G c) +χ(G) , 又d(u)+d’(u) ≤ v

?所以χ(G c+u) +χ(G+u) ≤ v+2

?5.33求证：对G的任子图，α(H)≥1/2|V(H)| G是二分图α(H)：最大独立集顶的个数，独立数。

?证明：①对G的任子图H,α(H)≥1/2|V(H)| => G是二分图

?反证，设G不是二分图，则图中有奇圈H，则不满足α(H)≥1/2|V(H)| ，矛盾。故G是二分图。

?②G是二分图=>对G的任子图H,α(H)≥1/2|V(H)|

?G的任何子图H是二分图，V(H) = X’∪Y’，且X’∩ Y’ =空集。则X’或Y’为H的一个最大独立集，α(H)≥max{|X|,|Y|} ≥ 1/2|V(H)|

?6.6 图6.24是不是hamilton图？为什么？

?不是。

?证明：定理6.4，G是hamilton的必要条件是任取S?V(G),S≠Φ,则w(G-S) ≤|S|.

?如图，删去途中圈出的三个点后，所得联通片的个数为4，

?4 ≥|S|=3。

?6.12 6.24是不是hamiltion图？为什么？

?6.17 证明：若u,v ?V(G)，u 与v 不相邻，且d(u)+d(v) ≥ |V(G)|，则G 为Hamilton 图的充分必要条件是G+uv 是Hamilton 图。?证明：①G 为Hamilton 图=> G+uv 是Hamilton 图，显然。?②G+uv 是Hamilton 图=> G 为Hamilton 图?反证()()矛盾。

)v (d )u (这与1)V (d )V (即),u (1)v (d 因而圈Hamilton 的G 是u v ...v vv v ...uv 否则E v v 则,E uv 若:1i 2（i 若对于某个v

v ，u v 其中,v v ...uv 轨Hamilton 中有G 这时1211-i 21i i 2

11-2v d v d d v G G v v i v v v ≥+-≤+--≤?∈-≤≤==---u V1Vi-1Vv -1v

?7.10 证明：顶数不小于3的竞赛图中有得分相同的顶的充要条件是此图中有长为3的有向圈。

?证明：顶数不小于3的竞赛图中，有得分相同的顶此图中有长3的有向圈。

?①=> 反证，证得分相同但没有向圈。设得分相同的顶为u，v，考虑其它顶与u，v的关系，考虑四种关系，（省略），只有有向圈可以使uv比分持平。

?②<=假设没有得分相同的顶，则每顶得分必为1,2,… … ,n-1 ,可以看出得分为n-1的顶不会是长3的有向圈中的顶点，删除得分为n-1的顶，同理，继续删除剩下得分最多的顶，，直到最后三个顶也无圈。矛盾，所以一定有得分相同的顶。

?8.5对于网络N{G,s,t,c(e)}，其中每个顶v (G)-{s,t}，有一个顶容量c(v)，即通过v的流量不得超过c(v)，

c(v){0,1,2,…}，试为这种具有顶容量的网络设计一种从s到t的最大流量流函数的有效算法。

?算法设计：

?思路对于网络N{G,s,t,c(e)}，其中每个顶v i属于(G)-{s,t}可用含有两个顶的边v i’v i’’替代，且v i’v i’’的容量c(v i’v i’’) = c(v i).再用2F算法。

?8.6写出一个算法确定其容量c(e)增大时，N(G,t,t,c(e))中的对大流量亦增大的边，这种边一定有吗？

?解题思路：

?1）用2F算法标记所有顶点，找出其中所有f(e)=c(e)的边集合E ?2）增大E中任一边的c(e),再用2F算法，如果最大流增大了，则找到了要找的边

?3）如果E中所有边均不满足2），则找不到。

?不一定有，举个反例。

?8.8 图8.16哪个网络没有可行流？

2004图论复习题答案

图论复习题答案一、判断题，对打，错打 1．无向完全图是正则图。 () 2．零图是平凡图。() 3．连通图的补图是连通图.() 4．非连通图的补图是非连通图。() 5．若连通无向简单图G中无圈，则每条边都是割边。() 6．若无向简单图G是（n，m）图，并且m=n-1，则G是树。() 7．任何树都至少有2片树叶。() 8．任何无向图G都至少有一个生成树。() 9．非平凡树是二分图。() 10．所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。() 11．任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。() 12． K是欧拉图也是哈密顿图。() 3,3 13．二分图的对偶图是欧拉图。() 14．平面图的对偶图是连通图。() 页脚内容1

15．设G*是平面图G的对偶图，则G*的面数等于G的顶点数。() 二、填空题 1．无向完全图K6有15条边。 2．有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有4个。 3．设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点，其余的顶点都是树叶，则T中有10片树叶。 4．若连通无向图G是（n，m）图，T是G的生成树，则基本割集有n-1个，基本圈有m-n+1个。 5．设连通无向图G有k个奇顶点，要使G变成欧拉图，在G中至少要加k/2条边。 6．连通无向图G是（n，m）图，若G是平面图，则G有m-n+2个面。三、解答题 1．有向图D如图1所示，利用D的邻接矩阵及其幂运算求解下列问题：（1）D中长度等于3的通路和回路各有多少条。（2）求D的可达性矩阵。（3）求D的强分图。解：（1） a b c d e 图1 页脚内容2

页脚内容3 M=????????????????000101000000001 010*******M 2=?? ? ? ??????? ?????010******* 000101000001000 M 3=????????????????10000 01000010000001010000M 4=??? ???? ? ??? ?????00010 01000 100000100000010 由M 3可知，D 中长度等于3的通路有5条，长度等于3的回路有3条。（2） I+M+M 2+M 3+M 4=????????????? ???100000100000100 0001000001 +??????????? ?? ???000101000000001 010******* +??????????? ?? ???010000001000010 1000001000 +??? ???? ? ??? ?? ???100000100001000 0001010000 + ????????????????00010 01000100000100000010 =??? ???? ???? ?? ???21020 1301011111 020******* D 的可达性矩阵为 R=B （I+M+M 2+M 3+M 4）=??? ???? ? ????? ???110101********* 1101011011 b c d e 图1

课后习题答案

第一章液压传动概述液压传动系统由哪几部分组成各组成部分的作用是什么解答：液压传动由以下四部分组成：（1）动力元件(液压泵)：它是把原动机输出的机械能转换成油液压力能的元件。作用:给液压系统提供压力油，是液压系统的心脏。（2）执行元件：包括液压缸和液压马达等。作用:把油液的压力能转换成机械能以驱动工作机构的元件。（3）控制元件：包括压力、方向、流量控制阀。作用:是对液压系统中油液的压力、流量和流动方向进行控制和调节的元件。（4）辅助元件：除上述三项以外的、液压系统中所需的其它装置。如油箱、滤油器、油管、管接头等。作用:保证液压系统有效工作，寿命长。第二章液压泵和液压马达要提高齿轮泵的压力需解决哪些关键问题通常都采用哪些措施解答：（1）困油现象：采取措施：在两端盖板上开卸荷槽。（2）径向不平衡力：采取措施：缩小压油口直径；增大扫膛处的径向间隙；过渡区连通；支撑上采用滚针轴承或滑动轴承。（3）齿轮泵的泄漏：采取措施：采用断面间隙自动补偿装置。齿轮泵的模数 mm m 4=，齿数9=z ，齿宽mm B 18=，在额定压力下，转速min 2000r n =时，泵的实际输出流量min 30L Q =，求泵的容积效率。解答：()() 2 2630 0.876.6~7 6.69418200010v t q q q zm bn η-= ===????? YB63型叶片泵的最高压力MPa P 3.6max =，叶片宽度mm B 24=，叶片厚度mm 25.2=δ，叶片数 12=Z ，叶片倾角?=13θ,定子曲线长径mm R 49=，短径mm r 43=，泵的容积效率9.0=v η，机械效率 90.0=m η，泵轴转速min 960r n =，试求：(1) 叶片泵的实际流量是多少(2)叶片泵的输出功率是多少解答：（1） ()()()()() 22 223 322cos 20.0490.04320.0490.0430.024120.0249600.9cos131.0210v R r q R r bz Bn m s πηφπ-??=--???? ?-?? =--?????????? =? （2） 633 6.310 1.0210 6.4210N pq -==???=?出斜盘式轴向柱塞泵的斜盘倾角?=20β，柱塞直径mm d 22=，柱塞分布圆直径mm D 68=，柱塞数7=z ，机械效率90.0=m η，容积效率97.0=v η，泵转速min 1450r n =，泵输出压力MPa p 28=，试计算：(1)平

图论张先迪李正良课后习题答案

习题一作者---寒江独钓 1.证明：在n 阶连通图中 (1) 至少有n-1条边； (2) 如果边数大于n-1，则至少有一条闭迹； (3) 如果恰有n-1条边，则至少有一个奇度点。证明: (1) 若G 中没有1度顶点，由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 若G 中有1度顶点u ，对G 的顶点数作数学归纳。当n=2时，结论显然；设结论对n=k 时成立。当n=k+1时，考虑G-u,它仍然为连通图，所以，边数≥k-1.于是G 的边数≥k. (2) 考虑G 中途径： 121:n n W v v v v -→→→→L 若W 是路，则长为n-1;但由于G 的边数大于n-1,因此，存在v i 与v j ,它们相异，但邻接。于是： 1i i j i v v v v +→→→→L 为G 中一闭途径，于是也就存在闭迹。 (3) 若不然，G 中顶点度数至少为2，于是由握手定理： ()2()21v V G m d v n m n m n ∈= ≥?≥?>-∑ 这与G 中恰有n-1条边矛盾！ 2.(1)2n ?12n 2?12n ?1 (2)2n?2?1 (3) 2n?2 。证明 :u 1的两个邻接点与v 1的两个邻接点状况不同。所以，两图不同构。 4.证明下面两图同构。 u 1 v 1

证明:作映射f : v i ? u i (i=1,2….10) 容易证明，对?v i v j ∈E ((a)),有f (v i v j,),=,u i,u j,∈,E,((b)) (1≤ i ≤ 10, 1≤j ≤ 10 ) 由图的同构定义知，图(a)与(b)是同构的。 5.指出4个顶点的非同构的所有简单图。分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以可按边数进行枚举。 (a) v 2 v 3 u 4 u (b)

图论及其应用答案电子科大

图论及其应用答案电子科大 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

习题三：证明：e是连通图G 的割边当且仅当V(G)可划分为两个子集V1和V2，使对任意u ∈V 1及v ∈V 2, G 中的路（u，v）必含e . 证明：充分性: e是G的割边，故G ?e至少含有两个连通分支，设V 1是其中一个连通分支的顶点集，V 2是其余分支的顶点集，对12,u V v V ?∈?∈，因为G中的u ,v不连通，而在G中u与v连通，所以e在每一条(u ,v )路上，G中的(u ,v )必含e。必要性：取12,u V v V ∈∈，由假设G中所有(u ,v )路均含有边e，从而在G ?e中不存在从 u与到v的路，这表明G不连通，所以e 是割边。 3.设G 是阶大于2的连通图，证明下列命题等价：（1） G 是块（2） G 无环且任意一个点和任意一条边都位于同一个圈上；（3） G 无环且任意三个不同点都位于同一条路上。（1）→（2）： G是块，任取G的一点u，一边e，在e边插入一点v，使得e成为两条边，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，由定理，G中的u,v 位于同一个圈上，于是G 1中u 与边e都位于同一个圈上。（2）→（3）： G无环，且任意一点和任意一条边都位于同一个圈上，任取G的点u ，边e ，若u在e 上，则三个不同点位于同一个闭路，即位于同一条路，如u不在e上，由定理，e的两点在同一个闭路上，在e边插入一个点v ，由此得到新图G 1，显然G 1的是阶数大于3的块，则两条边的三个不同点在同一条路上。（3）→（1）： G连通，若G不是块，则G中存在着割点u，划分为不同的子集块V 1, V 2, V 1, V 2无环，12,x v y v ∈∈，点u在每一条(x ,y )的路上，则与已知矛盾，G是块。 7.证明：若v 是简单图G 的一个割点，则v 不是补图G ?的割点。证明：v是单图G的割点，则G ?v有两个连通分支。现任取x ,y ∈V (G ?v ), 如果x ,y 不在G ?v的同一分支中，令u是与x ,y处于不同分支的点，那么，x ,与y在G ?v的补图中连通。若x ,y在G ?v的同一分支中，则它们在G ?v的补图中邻接。所以，若v是G 的割点，则v不是补图的割点。 12.对图3——20给出的图G1和G2，求其连通度和边连通度，给出相应的最小点割和最小边割。解：()12G κ= 最小点割 {6,8} 1()2G λ= 最小边割{（6,5），（8,5）}

课后习题及答案

1 文件系统阶段的数据管理有些什么缺陷试举例说明。文件系统有三个缺陷：（1）数据冗余性（redundancy)。由于文件之间缺乏联系，造成每个应用程序都有对应的文件，有可能同样的数据在多个文件中重复存储。（2）数据不一致性（inconsistency)。这往往是由数据冗余造成的，在进行更新操作时，稍不谨慎，就可能使同样的数据在不同的文件中不一样。（3）数据联系弱(poor data relationship)。这是由文件之间相互独立，缺乏联系造成的。 2 计算机系统安全性（1）为计算机系统建立和采取的各种安全保护措施，以保护计算机系统中的硬件、软件及数据；（2）防止其因偶然或恶意的原因使系统遭到破坏，数据遭到更改或泄露等。 3. 自主存取控制缺点（1）可能存在数据的“无意泄露” （2）原因：这种机制仅仅通过对数据的存取权限来进行安全控制，而数据本身并无安全性标记（3）解决：对系统控制下的所有主客体实施强制存取控制策略 4. 数据字典的内容和作用是什么数据项、数据结构数据流数据存储和加工过程。 5. 一条完整性规则可以用一个五元组（D，O，A，C，P）来形式化地表示。对于“学号不能为空”的这条完整性约束用五元组描述 D：代表约束作用的数据对象为SNO属性； O（operation）：当用户插入或修改数据时需要检查该完整性规则； A（assertion）：SNO不能为空； C（condition）：A可作用于所有记录的SNO属性； P（procdure）：拒绝执行用户请求。 6.数据库管理系统（DBMS）

：①即数据库管理系统（Database Management System)，是位于用户与操作系统之间的一层数据管理软件，②为用户或应用程序提供访问DB的方法，包括DB的建立、查询、更新及各种数据控制。 DBMS总是基于某种数据模型，可以分为层次型、网状型、关系型、面向对象型DBMS。 7.关系模型：①用二维表格结构表示实体集，②外键表示实体间联系的数据模型称为关系模型。 8.联接查询：①查询时先对表进行笛卡尔积操作，②然后再做等值联接、选择、投影等操作。联接查询的效率比嵌套查询低。 9. 数据库设计：①数据库设计是指对于一个给定的应用环境，②提供一个确定最优数据模型与处理模式的逻辑设计，以及一个确定数据库存储结构与存取方法的物理设计，建立起既能反映现实世界信息和信息联系，满足用户数据要求和加工要求，又能被某个数据库管理系统所接受，同时能实现系统目标，并有效存取数据的数据库。 10．事务的特征有哪些事务概念原子性一致性隔离性持续性 11．已知3个域： D1=商品集合=电脑，打印机 D3=生产厂=联想，惠普求D1，D2，D3的卡尔积为： 12.数据库的恢复技术有哪些数据转储和和登录日志文件是数据库恢复的

图论1-3藏习题解答

学号：0441 姓名：张倩习题1 4．证明图1-28中的两图是同构的证明：将图1-28的两图顶点标号为如下的(a)与(b)图作映射f : f(v i )?u i (1? i ? 10) 容易证明，对?v i v j ?E((a)),有f(v i v j )?u i u j ?E((b)) (1? i ? 10, 1?j? 10 ) 由图的同构定义知，图1-27的两个图是同构的。 5.证明：四个顶点的非同构简单图有11个。证明：设四个顶点中边的个数为m ，则有： m=0: m=1 ： m=2： m=3： (a) v 1 v 2 v 3 v v 5 v 6 v 7 v 8 v 9 v 10 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 u 10 (b)

m=4： m=5： m=6：因为四个顶点的简单图最多就是具有6条边，上面所列出的情形是在不同边的条件下的不同构的情形，则从上面穷举出的情况可以看出四个顶点的非同构简单图有11个。 11.证明：序列（7,6,5,4,3,3,2）和（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。证明：由于7个顶点的简单图的最大度不会超过6，因此序列（7,6,5,4,3,3,2）不是图序列；（6,6,5,4,3,3,1）是图序列 ()1 1 123121,1,,1,,,=d d n d d d d d π++---是图序列（5,4,3,2,2,0）是图序列，然而（5,4,3,2,2,0）不是图序列，所以（6,6,5,4,3,3,1）不是图序列。 12.证明：若δ≥2，则G 包含圈。证明只就连通图证明即可。设V(G)=｛v1,v2,…,vn｝,对于G 中的路v1v2…vk,若vk 与v1邻接，则构成一个圈。若vi1vi2…vin 是一条路，由于?? 2，因此，对vin ，存在点vik 与之邻接，则vik?vinvik 构成一个圈。 17.证明：若G 不连通，则G 连通。证明对)(,_ G V v u ∈?,若u 与v 属于G 的不同连通分支，显然u 与v 在_ G 中连通；若u 与v 属于g 的同一连通分支，设w 为G 的另一个连通分支中的一个顶点，则u 与w ，v 与w 分别在_ G 中连通，因此，u 与v 在_ G 中连通。

图论习题参考答案

二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n （n ≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n /2]个人，而对任意的[n /2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n -[n /2]个人中有两个人相互认识。证明这n 个人中必有3个人互相认识。注：[n /2]表示不超过n /2的最大整数。证明将n 个人用n 个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G 。由条件可知，G 是具有n 个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x ， )(x N G ≥[n /2]；（2）对V 的任一个子集S ，只要S ＝[n /2]，S 中有两个顶点相邻或V-S 中有两个顶点相邻。需要证明G 中有三个顶点两两相邻。反证，若G 中不存在三个两两相邻的顶点。在G 中取两个相邻的顶点x 1和y 1,记N G (x 1)＝{y 1,y 2,……,y t }和N G (y 1)={x 1,x 2,……,x k },则N G (x 1)和N G (y 1)不相交，并且N G (x 1)（N G (y 1)）中没有相邻的顶点对。情况一；n=2r ：此时[n /2]＝r ，由（1）和上述假设，t=k=r 且N G (y 1)＝V-N G (x 1)，但N G (x 1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。故k ≠r+1，同理t ≠r+1。所以t=r,k=r 。记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。若x i0y j0?E ，则与x i0相邻的顶点只能是(N G (x 1)-{y j0})∪{w},与y j0相邻的顶点只能是(N G (y 1)-{x j0})∪{w}。但与w 相邻的点至少是3，故N G (x 1)∪N G (y 1)中存在一个不同于x i0和y j0顶点z 与w 相邻，不妨设z ∈N G (x 1)，则z ，w ，x i0两两相邻，矛盾。题1：已知图的结点集V ={a ,b ,c ,d }以及图G 和图D 的边集合分别为： E (G )={(a ,a ), (a ,b ), (b ,c ), (a ,c )} E (D)={, , , , } 试作图G 和图D ，写出各结点的度数，回答图G 、图D 是简单图还是多重图？解： a d a d b c b c 图G 图D 例2图