应用时间序列分析习题集答案
第二章习题答案
2.1
（1）非平稳
（2）0.0173 0.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376
（3）典型的具有单调趋势的时间序列样本自相关图
2.2
（1）非平稳，时序图如下
（2）-（3）样本自相关系数及自相关图如下：典型的同时具有周期和趋势序列的样本自相关图
2.3
（1）自相关系数为：0.2023 0.013 0.042 -0.043 -0.179 -0.251 -0.0940.0248 -0.068 -0.072 0.014 0.109 0.217 0.316 0.0070 -0.025 0.075 -0.141 -0.204 -0.245 0.0660.0062 -0.139 -0.034 0.206 -0.010 0.080 0.118
（2）平稳序列
（3）白噪声序列
2.4
，序列不LB=4.83，LB统计量对应的分位点为0.9634，P值为0.0363。显著性水平=0.05
能视为纯随机序列。
2.5
（1）时序图与样本自相关图如下
（2）非平稳 （3）非纯随机 2.6
（1）平稳，非纯随机序列（拟合模型参考：ARMA(1,2)） （2）差分序列平稳，非纯随机
第三章习题答案
3.1 解：1()0.7()()t t t E x E x E ε-=?+
0)()7.01(=-t x E 0)(=t x E t t x ε=-）B 7.01(
t t t B B B x εε)7.07.01()7.01(221 +++=-=-
229608.149
.011
)(εεσσ=-=
t x Var
49.00212==ρφρ022=φ
3.2 解：对于AR （2）模型：
??
?=+=+==+=+=-3.05
.021102112
12112011φρφρφρφρρφφρφρφρ 解得：???==15
/115/721φφ
3.3 解：根据该AR(2)模型的形式，易得：0)(=t x E
原模型可变为：t t t t x x x ε+-=--2115.08.0
2212122
)
1)(1)(1(1)(σφφφφφφ-+--+-=
t x Var
2)
15.08.01)(15.08.01)(15.01()
15.01(σ+++--+=
=1.98232σ
?????=+==+==-=2209.04066.06957.0)1/(1221302112211ρφρφρρφρφρφφρ??
?
??=-====015.06957.033222111φφφρφ 3.4 解：原模型可变形为：
t t x cB B ε=--)1(2
由其平稳域判别条件知：当1||2<φ，112<+φφ且112<-φφ时，模型平稳。 由此可知c 应满足：1|| 3.5证明：已知原模型可变形为： t t x cB cB B ε=+--)1(32 其特征方程为：0))(1(223=-+-=+--c c c λλλλλλ 不论c 取何值，都会有一特征根等于1，因此模型非平稳。 3.6 解：（1）错，)1/()(220 1θσγε-==t x Var 。 （2）错，)1/()])([(2 1210111θσθγργμμε-===---t t x x E 。 （3）错，T l T x l x 1)(?θ=。 （4）错，112211)(+--+-++++++=T l l T l T l T T G G G l e εεεε =11 122111+--+-++++++T l l T l T l T εθεθεθε （5）错，2 21 22121111]1[1lim )]([lim )](?[lim εεσθσθθ-=--==-∞→∞→+∞ →l l T l T l T l l e Var l x x Var 。 3.7解：12411112112 1 1 1-=-+-=?+-=ρρθθθρ MA(1)模型的表达式为：1-+=t t t x εε。 3.8解法1：由1122=+t t t t x μεθεθε----，得111223=+t t t t x μεθεθε------，则 111212230.5=0.5+(0.5)(0.5)+0.5t t t t t t x x μεθεθθεθε------+--， 与123=10+0.5+0.8+t t t t t x x C εεε----对照系数得 12120.510,0.500.50.80.5C μθθθθ=??+=??-=??=?，故1220,0.5,0.55,0.275C μθθ=??=-??=??=?。 解法2：将123100.50.8t t t t t x x C εεε---=++-+等价表达为 ()23 23223310.82010.510.8(10.50.50.5)t t t B CB x B B CB B B B εε-+-=-=-+++++ 展开等号右边的多项式，整理为 2233 4423243 4 10.50.50.50.50.80.80.50.80.50.5B B B B B B B CB CB +++++ --?-?- ++ + 合并同类项，原模型等价表达为 2 330 20[10.50.550.5(0.50.4)]k k t t k x B B C B ε∞ +=-=+-+-+∑ 当30.50.40C -+=时，该模型为(2)MA 模型，解出0.275C =。 3.9解：：0)(=t x E 22222165.1)1()(εεσσθθ=++=t x Var 5939.065.198.012 2212111-=-=+++-=θθθθθρ 2424.065 .14.01222122==++-= θθθρ30≥=k k ，ρ。 3.10解法1：（1）)(21 +++=--t t t t C x εεε )(3211 +++=----t t t t C x εεε 11111)1(------++=?? ? ??+-+=t t t t t t t t C x C x C x εεεεε 即t t B C x B ε])1(1[)1(--=- 显然模型的AR 部分的特征根是1，模型非平稳。 （2）11)1(---+=-=t t t t t C x x y εε为MA(1)模型，平稳。 2 21 12 2111+--=+-= C C C θθρ 解法2：（1）因为22()lim(1)t k Var x kC εσ→∞ =+=∞，所以该序列为非平稳序列。 （2）11(1)t t t t t y x x C εε--=-=+-，该序列均值、方差为常数， ()0t E y =,22()1(1)t Var y C εσ??=+-?? 自相关系数只与时间间隔长度有关，与起始时间无关 12 1 ,0,2 1(1)k C k C ρρ-= =≥+- 所以该差分序列为平稳序列。 3.11解：（1）12.1||2>=φ，模型非平稳； =1λ 1.3738 =2λ-0.8736 （2）13.0||2<=φ，18.012<=+φφ，14.112<-=-φφ，模型平稳。 =1λ0.6 =2λ0.5 （3）13.0||2<=θ，16.012<=+θθ，12.112<-=-θθ，模型可逆。 =1λ0.45＋0.2693i =2λ0.45－0.2693i （4）14.0||2<=θ，19.012<-=+θθ，17.112>=-θθ，模型不可逆。 =1λ0.2569 =2λ-1.5569 （5）17.0||1<=φ，模型平稳；=1λ0.7 16.0||1<=θ，模型可逆；=1λ0.6 （6）15.0||2<=φ，13.012<-=+φφ，13.112>=-φφ，模型非平稳。 =1λ0.4124 =2λ-1.2124 11.1||1>=θ，模型不可逆；=1λ 1.1。 3.12 解法1：01G =，11010.60.30.3G G φθ=-=-=， 1111110.30.6,2k k k k G G G k φφ---===?≥ 所以该模型可以等价表示为：10 0.30.6k t t t k k x εε ∞ --==+ ?∑。 解法2：t t B x B ε)3.01()6.01(-=- t t B B B x ε)6.06.01)(3.01(22 +++-= t B B B ε)6.0*3.06.0*3.03.01(322 ++++= j t j j t -∞ =-∑+=εε1 16.0*3.0 10=G ，16.0*3.0-=j j G 3.13解：3)()5.01(])(3[])([2 =-?Θ+=Φt t t x E B E x B E ε 12)(=t x E 。 3.14 证明：已知112φ= ，11 4 θ=，根据(1,1)ARMA 模型Green 函数的递推公式得： 01G =，2110110.50.25G G φθφ=-=-=，1111111,2k k k k G G G k φφφ-+-===≥ 01ρ= 5 223211 1 1 1 22450 11111142422(1) 11112 01 1170.27126111j j j j j j j j j G G G φφφ φφφφφρφφφφφ∞ ∞ ++==∞ ∞ +==++ --+= = ====-+++ -∑∑∑∑ () 1 1 1 1 1122200 ,2j j k j j k j j k j j j k k j j j j j j G G G G G G k G G G φρφφρ∞ ∞ ∞ ++-+-===-∞ ∞ ∞==== = ==≥∑∑∑∑∑∑ 3.15 （1）成立（2）成立（3）成立（4）不成立