高中数学必修1教案10：函数的表示法(2)
高中数学必修1教案10
函数的表示法（二）
课 型：新授课
教学目标：
（1）了解映射的概念及表示方法；
（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。
教学重点：求函数的解析式。
教学难点：对函数解析式方法的掌握。
教学过程：
一、复习准备：
1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例： 对于任何一个实数a ，数轴上都有唯一的点P 和它对应；
对于坐标平面内任何一个点A ，都有唯一的有序实数对(x ,y )和它对应；
对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？
3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射（m a ppin g ）。
二、讲授新课：
（一） 映射的概念教学：
定义：
一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（m a ppin g ）。记作：
:f A B →
讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？
例1．（课本P 22例7）以下给出的对应是不是从A 到集合B 的映射？
（1） 集合A ={P | P 是数轴上的点}，集合B =R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代
表的实数对应；
（2） 集合A ={P | P 是平面直角坐标系中的点}，B ={}(,),x y x R y R ∈∈，对应关
系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3） 集合A ={x | x 是三角形}，集合B ={x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都
对应它的内切圆；
（4） 集合A ={x | x 是新华中学的班级}，集合B ={x | x 是新华中学的学生}，对应关
系：每一个班级都对应班里的学生。
变式题：已知集合R A = ，(){}R y x y x B ∈=,|,，B A f →:是从A 到B 的一个映射，即()1,1:2++→x x x f ，求A 中元素2的象和B 中元素)4
5,23(的原象。
例2．设集合A ={a ,b ,c }，B ={0,1} ，试问：从A 到B 的映射一共有几个？并将它们分
别表示出来。
（二）求函数的解析式：
常见的求函数解析式的方法有待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
例3．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17，求函数f (x )的解析式。 （待定系数法）
例4．已知f (2x +1)=3x -2，求函数f (x )的解析式。（配凑法或换元法）
例5．已知函数f (x )满足1()2()f x f x x
-=，求函数f (x )的解析式。（消去法）
例6．（1）求函数|2||1|-++=x x y 的值域；（2）讨论方程)(|2||1|R a a x x ∈=-++有解时，实数a 的取值范围。
（三）课堂练习：
1．课本P 23练习4； 2．已知 2
2
11()11x x f x x --=++，求函数f (x )的解析式。
3．已知22
11()f x x x x +=+
，求函数f (x )的解析式。 4．已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f (x )的解析式。 归纳小结：
本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。 作业布置：
1． 课本P 24习题1.2B 组题3，4；
2． 阅读P 26 材料。
课后记:
例1．画出下列各函数的图象：
（1）()22(22)f x x x =--<≤
（2）2
()243(03)f x x x x =--≤<
； 例2．（课本P 21例5）画出函数()f x x =的图象。
例3．设(),x ∈-∞+∞，求函数()213f x x x =--的解析式，并画出它的图象。 变式1：求函数()213f x x x =--的最大值。
变式2：解不等式2131x x -->-。
例4．当m 为何值时，方程245x x m -+=有4个互不相等的实数根。 变式：不等式245x x m -+>对x R ∈恒成立，求m 的取值范围。
（三）课堂练习：
1．课本P 23练习3； 2．画出函数1(01)()(1)x f x x x x ?<
的图象。
※基础达标
1．函数f (x )=2(1)x x x ??+?
,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4
2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.
3．已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）.
A . p q + B. 2p q + C. 2p q + D. 2p q +
4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）.
A. f ：x →y ＝12x
B. f ：x →y ＝13
x C. f ：x →y ＝14x D. f ：x →y ＝16x 5．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由[]3.71,(04)() 1.06(0.52),(4)m f m m m <≤??=?+>??
给出，其中[]m 是不超过m 的最大整数，如：[]3.743=，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（）.
A. 3.71
B. 4.24
C. 4.77
D. 7.95
6．已知函数(),m f x x x
=+
且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为. 7．24,02(),(2)2,2x x f x f x x ?-≤≤==?>?已知函数则；若00()8,f x x ==则. ※能力提高
8．画出下列函数的图象：（1）22||3y x x =-++； （2）2|23|y x x =-++.
9．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-且()f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求()f x 的解析式