第一章 直角三角形

第一章 直角三角形

1.1 直角三角形的性质和判定（I ） 1.1.1 直角三角形的性质和判定

1、了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角

形的性质定理。

2、掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 本课重点：直角三角形的性质定理，会判定一个三角形是直角三角形。

一、知识链接

1、三角形的内角和为 度。

2、在△ABC 中，若∠C=90°，则∠A +∠B= .

3、 的等腰三角形是等边三角形。

4、∠A 与∠B 互余，则∠A +∠B= ，∠A 与∠B 互补，则∠A +∠B= 。

5、有一个内角是 的三角形叫直角三角形。

二、新知探究

任务1 直角三角形的性质定理

1、阅读教材P2“说一说”，完成下列问题 ⑴ ∠A +∠B+∠C = 。 ⑵ 已知∠C=90°， ∠A+∠B= 。

你的结论是：直角三角形的两个锐角

任务2 直角三角形的判定定理

1、阅读教材P2-3“议一议”，完成下列问题 ⑴ 已知∠C=90°，则 △ABC 是 三角形。 ⑵ 已知∠A +∠B=90°则 ∠C= ，故△ABC 是

三角形。

你的结论是：有两个角互余的三角形是 任务3 探究直角三角形的性质定理 1、阅读教材P3“探究”，完成下列问题 ⑴ 已知∠ACB=90°, AB+AC BC AD+CD AC ， CD+BC BD ⑵ 已知∠ACB=90°,CD 是斜边AB 边上 的中线，测量CD 与AB 的大小， 发现CD AB

你能证明这个结论吗？证明过程看P3的证明方法 你的结论是：直角三角形斜边上的中线等于斜边的

1、如果三角形的三个内角的度数比是4:5:9，那么这个三角形是（ ）

A 钝角三角形

B 锐角三角形

C 直角三角形

D 无法判断

2、在△ABC 中，∠A =∠B+∠C ，则△ABC 是

3、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°， DE 过点C ，且DE ∥AB,若∠ACD=50°， 则∠A = ,∠B = ,

4、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°， AB=10，CD 是AB 边上的中线， 则CD 的长是（ ）

A 20

B 10

C 5

D 2.5

5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°， CD 是AB 边上的中线，∠ACD=28° ∠BDC=

一、填空题

1、在△ABC中，∠C=90°,∠A=35°则∠B=

2、若直角三角形的两个锐角之差是22°，

则较小内角的度数是°

3、在直角三角形中，斜边上的中线和斜边的

长的和为9，则斜边上的中线的长为

4、如图，在直角三角形ABC中，CD是

斜边AB上的中线。

（1）若DB=5cm, 则CD= ；

（2）若CD=12cm, 则AB=

（3）若∠A=40°，则∠BDC= ;

(4) 若AB+CD=15cm,则AB= ,CD= 。

5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，

∠A=40°，∠BDC=80°则CD的长是

二、选择题

1、下列定理中，没有逆定理的是（）

A、两直线平行，同旁内角互补。

B、等边对等角。

C、全等三角形对应角相等。

D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

2、如图，∠B C A=90，C D⊥A B，则图中与∠A互余的角有（）个

A．1个B、2个C、3个D、4个3、三角形ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN 交AB，AC于D,E，若∠A=400，则∠EBC=（）。

A:150 B:200 C:300 D:无法判断。

三、解答题

1、已知：CD垂直平分线段AB，E是CD上一点，

分别连接CA、CB、EA、EB.

求证：∠CAE=∠CBE.

2、如图所示，BD、CE是三角形ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点.

求证：MN⊥DE

3、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，CE

为AB边上的中线，且∠BCD=3∠DCA。

求证：DE=DC。

E

C

B

D

A

N

E

D

C

A

1.1 直角三角形的性质和判定（I ） 1.1.2 直角三角形的性质和判定

1、了解有一个锐角是0

30的直角三角形的性质定

理及应用。

本课重点：掌握有一个锐角是0

30的直角三角形的性质定理及应用。

一、知识链接

1、在△ABC 中，若∠C=90°，∠A =60°，则 ∠B= .

2、在△ABC 中，若∠A -∠B=30°，∠A +∠B=∠C 则∠A= ，∠B= ，∠C= ，

二、新知探究

任务1 有一个锐角为30°的直角三角形的性质 1、阅读教材P4-5“动脑筋”，完成下列问题 （1）若∠BCA=90°，∠A=30° ∠B= , 如果CD 是斜边 AB 边上的中线，则CD= AB ，即 CD BD ， ∴△BCD 是

三角形，

即BC=BD= AB,

你的结论是：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的

任务2 有一个锐角为30°的直角三角形的判定 1、阅读教材P5-6“动脑筋”，完成下列问题 ⑴ 在△ABC 中，已知∠BCA=90° 若BC= AB ，那么∠A=？

⑵ 取线段AB 的中点D ，则CD=BD= AB ∴BC=CD=BD, 即△BCD 是等边三角形, ∴∠B= ，∵∠A +∠B=90°∴∠A= ，

你的结论是：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 任务3 探究P5例题2

1、阅读教材P5“例题2”，完成下列问题 (1) 在A 岛周围20海里水域 内有暗礁，大于 海里轮船 就安全，故线段AD 大于

海里轮船就安全。

（2） 由图知∠ADO=90°

∠AOD= ，∴AD= OA= 海里。 故轮船由西向东航行 触礁（会，不会） 这个题用到的知识是：

1、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于E ，∠A=30°，AB=10，则DE 的长度是

2、如图，AD 为等边△ABC 的高，DE 是△ADC 的高， 已知△ABC 的边长为10，则AE=

3、直角三角形中，最长的边长为10，最短边长 是5，则最长边与最短边的夹角是

4、如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=120°，AB 垂直平分线交AB 于E 点，交BC 于F 点， 求证：CF=2BF

2

1

2

1

2

1

一、填空题

1、直角三角形中一个锐角为30°,斜边和最小的边的和为12cm,则斜边长为

2、△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC边上的高AD=________ .

3、在直角三角形中，若一锐角为30°，而斜边与30°角所对的边的和为15cm，则斜边的长为________cm.

4、已知三角形的的三个内角的度数之比为1:2:3，它的最大边长为6cm，那么它的最小边长为________cm

二、选择题

1、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC的平分线，AD=10，则点D到AB的距离

是（）

A.8

B.5

C.6

D.4

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB,AC于D,E两点，若BD=2，则AD的长是( )

A 4

B 43

C 8

D 83

三、解答题

1、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D为AB中点，DE⊥AC于E，∠A=30°，

求BC，CD和DE的长2、如图所示，△ABC为等边三角形，AD∥BC,

CD⊥AD,若△ABC的周长为36cm,求AD的长

3、已知：△ABC中，AB=AC=BC （△ABC为等

边三角形）D为BC边上的中点，DE⊥AC于E.

求证：CE= AC，.

4、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，

⑴求CD和∠DCE

⑵说明BC=2CE．

4

1

1.2 直角三角形的性质和判定（II）1.

2.1 直角三角形的性质和判定

1、体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法。

2、会运用勾股定理解决简单问题。

3、通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值，体会数学的价值。

4、培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律。

本课重点：勾股定理的性质

一、知识链接

1、Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B= .

2、Rt△ABC中，若∠C=90°，∠A=30°则BC=

AB。

3、若a=3，b=4，c=5 ，则a2+b2= ，c2= ，

a2+b2c2。(填> < = )

4、若a=6，b=8，c=10 ，则a2+b2= ，c2= ，

a2+b2c2，(填> < = )

5、若a=5，b=12，c=13 ，则a2+b2= ，c2= ，

a2+b2c2，(填> < = )

二、新知探究

任务1 直角三角形中三边的关系

1、阅读教材P9“做一做”，完成下列问题

⑴如果BC=3，AC=4，量一量

AB=

⑵如果BC=6，AC=8，量一量

AB=

（3）如果BC=5，AC=12，

量一量AB=

你的猜想是：Rt△ABC中，∠C=90°AC2+BC2 AB2，任务2 体验勾股定理的探索过程

1、阅读教材P9-10“议一议，探究”，完成下列问题

⑴图中最上面的面积A= ，B= ，C= ，

⑵图中中间的面积A= ，B= ，C= ，

⑶图中最下面的面积A= ，B= ，C= ，

你的结论是：，

⑷图中最下面A的边长是，B的边长是，C 的边长是，故32+32=（32）2

⑸你能证明这个结论吗？看一看课本P10的证明方法，

你的结论是：直角三角形两直角边a，b的平方和，斜边c的平方，即a2+b2=c2 故此性质叫做勾股定理,如果a,b,c均为正整数，则称a,b,c为勾股数。

任务3 勾股定理的性质应用

1、阅读教材P11“例1”，完成下列问题

（1）等腰三角形有什么性质？

（2）等腰三角形（三线合一）怎么讲？

（3）知道算术平方根吗？

（4）你知道勾股定理吗？

（5）现在你能证明此例题吗

特别注意：一般情况下，在△ABC中，∠A所对的边用a表示，∠B所对的边用b表示，∠C所对的边用c表示.

1、在△ABC中，∠C=90°，若a=6，b=8，求c 的长度

2、在△ABC中，∠C=90°，若c=13，b=12，求a 的长度

3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为（）

A 25

B 14

C 7

D 7或25

4、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处。大树在折断之前高多少？

一、填空题

1、在△ABC中，∠C=90°，若c=8cm，b=5cm，

则a= 。

2、若直角三角形中，有两边长是5和12，则第三

边长为。

3、已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时

甲、乙两人相距。

4、等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则

腰长为_____

5、三角形ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC=_____

二、选择题

1、以下四组数中，不是勾股数的是（）

A.3，4，5

B.5，12，13

C.4，5，6

D.8，15，17

2、等腰三角形腰长为13，底边长为10，则它底

上的高为（）

A.12

B.7

C.5

D.6

3、直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）

A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm

4、将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得

的三角形是（）

A 直角三角形

B 锐角三角形

C钝角三角形 D 不能确定三、解答题

1、如图，在△ABC中，∠ACB=90o， CD⊥AB，

D为垂足，AC=6cm,BC=8cm.

求⑴△ABC的面积；

⑵斜边AB的长；

⑶斜边AB上的高CD的长。

2、已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，

∠1=∠2，CD=15, BD=25, AB=100,

求AC的长.

3、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

1.2 直角三角形的性质和判定（II ） 1.

2.2 直角三角形的性质和判定

1、掌握勾股定理的应用。 本课重点：掌握勾股定理的应用

一、知识链接

1、Rt △ABC 中，若∠C=90°则AC 2

+BC 2

= 2、一般情况下，用a,b 表示直角边，c 表示斜边，则有a 2

+b 2

=c 2

还能变式为b 2

= c 2

= 还能变式为a= ，b= c=

二、新知探究

任务1 利用勾股定理解决实际问题

1、阅读教材P12“动脑筋”，完成下列问题 ⑴ 根据题意，请画出图形 ⑵ AB 与BC 的位置关 系是什么？

⑶AC= , BC= 能 否求出AB?

⑷ C 'C = BC=

'A 'C =AC= 故B A '= ∴=-=AB B A A A ''

你掌握此题了吗？和同学们探讨吧！

任务2利用勾股定理解决实际问题 1、阅读教材P12“例2”，完成下列问题 ⑴ 根据题意'AB AB = ⑵ 设AC=x ，则AB=AC+BC=x+1 故在Rt △ABC 中，根据勾股定理 得：x 2

+52

=(x+1)2

解得 x=

答：水池的深度为 尺，

芦苇长 尺。

1、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边比斜边短1cm ，则斜边长为 （ ）

A.18 cm

B.20 cm

C.24 cm

D.25 cm

2、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）

A ．8cm

B ．10cm

C ．12cm

D ．14cm 3、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。

4、在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要_______m ．

一、填空题

1、在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶ b ＝ 3∶4，则△ABC 的面积为

2、直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm 和5cm ，则斜边上的高等于_______cm

3如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90，AB=4，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1+S 2的值等于 ．

4、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为．

二、选择题

1、如图，直角三角形ABC的周长为24，且AB：BC=

5：3，则AC=（）.

A 6

B 8

C 10

D 12

2、如图，在△ABC中，AD⊥BC与D，AB=17，BD=15，

DC=6，则AC的长为（）.

A 11

B 10

C 9

D 8

3、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b=16cm，

c=14 cm，则Rt△ABC的面积为（）．

A.24cm2

B.36cm2

C.48cm2

D.60cm2

4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）

A、25海里

B、30海里

C、35海里

D、40海里

三、解答题

1、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？

2、一架梯子的长度为25米，如图斜靠在墙上，梯子底端离墙底端为7米。这个梯子顶端离地面有高？如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了几米？

3、如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西60o的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30o的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。

4、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

1.2 直角三角形的性质和判定（II ） 1.

2.3 直角三角形的性质和判定

1、掌握勾股定理的逆定理的内容及应用.

2、会应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形。 本课重点：勾股定理的逆定理。

一、知识链接

1、勾股定理的内容是

2、Rt △ABC 中，若∠C=90°，a,，b 表示直角边，c 表示斜边，则有

3、已知a ，b ， c ，满足a 2+b 2=c 2 ，你能写出几组正整数a ，b ， c ，的值吗？而这样的数称为勾股数

4、要判断两个三角形全等有那些方法?

二、新知探究

任务1 直角三角形的判定定理

1、阅读教材P14-15“探究”，完成下列问题 ⑴ 作一个Rt △DEF ，使 DE=AB ，EF=BC ，∵DF=

22EF DE +=AC

⑵由题意知△DE F ≌△ABC ∴∠DEF=∠ABC=90°

你的结论是：如果三角形的三条边长a, b, c 满足关系a 2+b 2=c 2, 那么这个三角形是

任务2 直角三角形的判定

1、阅读教材P15“例3 ”，完成下列问题 ⑴ 三条线段组成的三角形，如果最小的两条线段的平方之和等于最大线段的平方，则这个三角形是

任务3 勾股定理及逆定理的应用 1、阅读教材P15“例4”，完成下列问题

⑴由AB=10，AD=8，BD=6，知： ∠ADB= ,

你的收获是

1、若三角形三边长为a 、b 、c ，且满足等式 （a+b ）2

-c 2

=2ab, 则此三角形是（ ）.

A 锐角三角形

B 钝角三角形

C 等腰直角三角形

D 直角三角形 2、一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁

再沿边长爬行一周需 ( )

A 6秒

B 5秒

C 4秒

D 3秒 3、四根小木棒的长分别为5cm ，8cm ，12cm ，13cm ，任选三根组成三角形，其中有 个直角三角形. 4、如果三条线段的长度分别为8cm 、xcm 、18cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x 为边长的正方形的面积为_______.

一、填空题

1

、如图，在四边形

ABCD 中，∠A ＝90°，若AB ＝4 cm ，AD ＝3 cm ，CD ＝12 cm ，BC ＝13 cm ，则四边形ABCD 的面积是_______．

2、如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD=3，DC= AB=5，AD=4，则AC=

3、若一个三角形的三条边的比为5:12:13，且周 为60cm ，则它的面积为

4、若一个三角形的三条边长分别是n+1，n+2，n+3， 当n= 时，此三角形为直角三角形。

5、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3、4、5 ②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 。

二、选择题

1、．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2

+b 2

-c 2

)=0，则△ABC 是 ( )

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 2、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）

A 、6 cm 2

B 8 cm 2

C 、10 cm 2

D 、 12 cm 2

3、如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为

π

6

c m ，

那么最短的路线长是（ ） A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10πcm 4、若一个三角形的三边长为6、8、x,则使此三角形是直角三角形的x 的值是（ ）

A. 8 B .10 C. 27 D .10或27

三、解答题

1、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15, CD=7，AD=24，∠B=90°， 求证：∠A+∠C=180°。

2、 如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且 ∠QPN ＝30°，点A 处有一所中学，AP ＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？

3、如图（1）所示为一个无盖的正方体纸盒，现将其展开成平面图，如图（2）所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.

（1）求该展开图中可画出最长线段的长度，并求出这样的线段可画几条.

（2）试比较立体图中∠ABC 与平面展开图中/

//C B A ∠的大小关系.

1.3 直角三角形全等的判定

1、掌握斜边、直角边定理。

2、感受数学知识方法，熟练使用“分析综合法”探讨解题思路。

本课重点：运用斜边、直角边定理证明两个直角三角形全等。

一、知识链接

1、在前面的学习中，我们用 ， ， 和 来判定两个三角形全等。

2、勾股定理的内容是 ，勾股定理的逆定理内容是 。

二、新知探究

任务1 直角三角形的判定定理

1、 阅读教材P19-20“探究”，完成下列问题 ⑴ 在Rt △ABC 和Rt △DEF 中AB=DF ，AC=DE ，你能判 定Rt △ABC 和Rt △DEF 全等 吗？ ⑵2

2AC AB BC -=

2

2DE

DF EF -=

∴BC=EF,故能否用我们

前面学过的SSS 或SAS 来证明呢？你能把证明过程写出来吗？

所以我们得到直角三角形全等的判定定理： ，（可以简写成 或 ）。

任务2 运用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形全等

1、阅读教材P20“例1”，完成下列问题 ⑴ 在Rt △BEC 和Rt △CDB 中 ∠BEC=∠CDB=90°，BE=CD,是 已知，还差什么条件就可以判定

Rt △BEC 和Rt △CDB 全等。 你的理由是：

任务3 运用“斜边、直角边”定理作直角三角形 1、阅读教材P20“例2”，完成下列问题 ⑴ 已知一直角边和斜边，求作直角 三角形，如图线段a,c, 求作 Rt △ABC,使AB=c,BC=a,

⑵由题意知斜边、直角边都告诉了 故我们能作，步骤是： ① ② ③ ∴△ABC 为所求作直角三角。，

你知道判定两直角三角形全等有： 、 、 、 、 。

1、要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的( )

①有两条直角边对应相等; ②有两个锐角对应相等; ③有斜边和一条直角边对应相等; ④有一条直角边和一个锐角相等; ⑤有斜边和一个锐角对应相等; ⑥有两条边相等.

A.6个

B.5个

C.4个

D.3个 2、下列说法正确的是 （ ）

A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等

B ．斜边相等的两个直角三角形全等

C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等

D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等 3、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B 、C 作过点A 的直线的垂线BD 、CE,若BD=3，CE=2，则DE= ，

4、已知如图A C ⊥BC,AD ⊥BD,AD=BC,CE ⊥AB,DF ⊥AB,垂足分别为E,F.试说明：CE=DF

一、填空题

1、如图，

E 、

B 、F 、

C 在同一条直线上，若∠

D ＝∠A ＝90°，EB ＝FC ，AB ＝DF ．则ΔABC ≌_____，全等的根据是_____．

2、如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则AD ＝______.

二、选择题

1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对

2、如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=3，AB ＝7，BC=5，AD=5.6，则CH 的长是（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4

3、如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）．

A ．相等

B ．不相等

C ．互余或相等 D.互补或相等

三、解答题

1、用三角板可按下面方法画角平分线：在已知 ∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON （如图），再分 过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射OP, 则OP 平分∠AOB ，请你说出其中的道理．

2、 如图，A ，E ，F ，C 在一条直线上，AE ＝CF ， E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，?若AB ＝CD ， 试证明BD 平分EF ．

3、如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F. 求证：∠1＝∠2.

1.4 角平分线的性质 1.4.1 角平分线的性质

1、掌握角平分线的性质定理及逆定理。

2、会用尺规作一个已知角的平分线． 本课重点：角平分线的性质

一、知识链接

1、角平分线是以一个角的顶点为端点的一

条 ，它把这个角分成两个 的角。 2、你能用尺规作图的方法做出一个角的角平分线吗？

二、新知探究

任务1 角平分线的性质 1、阅读教材P22“探究”，完成下列问题 ⑴ 如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E.

求证：PD=PE

归纳角平分线的性质：

用几何语言表述：∵点P 在∠AOB 的平分线上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE

任务2 角平分线的逆定理

1、阅读教材P23“探究”，完成下列问题 ⑴ 如图，点P 在∠AOB 的内 部，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于 E ，且PD=PE,

求证：OP 是∠AOB 的平分线

归纳角平分线的性质定理逆定理是：

用几何语言表述：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， PD=PE ，∴点P 在∠AOB 的平分线上

1、角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．

2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE=3 cm ，BE=4 cm ，则BC=_____cm.

3、如图，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF______FG ，CE________CF.

4、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为（ ）

A 、4㎝

B 、6㎝

C 、10㎝

D 、不能确定

5、如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于D ，如果AC=3 cm ，那么AE+DE 等于( ) A ．2 cm B ．3 cm C ．4 cm D ．5 cm

一、填空题

1

、在

△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，垂足为E ，则∠DBC 的度数是 .

2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的度数是

，

3、如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是________cm.

二、选择题

1、如图，∠1=∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）

A、PD=PE

B、OD=OE

C、∠DPO=∠EPO

D、PD=OD

2、如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A、1处

B、2处

C、3处

D、4处

3、如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（）

A、TQ=PQ

B、∠MQT=∠MQP

C、∠QTN=90°

D、∠NQT=∠MQT

4、如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，

则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）

A．① B．② C．①和② D．①②③三、解答题

1、如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF 相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.

2、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.

3、如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。

求证：点D在∠A的平分线上。

1.4 角平分线的性质 1.4.2 角平分线的性质

1、掌握角平分线的性质定理及逆定理

2、熟练角平分线的性质定理及逆定理的应用． 本课重点：角平分线的性质定理及逆定理的应用

一、知识链接

1、在△ABC 中，点P 是BC 边上的一点，且点P 到

AB 和AC 的距离相等，则点P 是 与BC 的交点。

2、三角形的三个内角的平分线相较于一点，这点到三边的距离 。

二、新知探究

任务1 角平分线的性质与判定的应用 1、阅读教材P24-25“动脑筋”，完成下列问题

⑴ 图1，已知EF ⊥CD,EF ⊥AB,MN ⊥AC,M 是EF 的中点，需添加一个什么条件，就可使CM,AM 分别为,∠ACD 和∠CAB 的平分线呢？

⑵ 图2由EM ⊥CD,MN ⊥CN,当MN EM 时，就能够说明CM 是∠ECM 的平分线

⑶ 图由MF ⊥AB,MN ⊥AN,当MN FM 时，就能够说明AM 是∠NAF 的平分线

从这个例题你得到什么收获？你能把P25的例2独立完成吗？（提示：三角形的两边之和大于第三边， PE=PF).

任务2 角平分线的逆定理

1、阅读教材P25“动脑筋”，完成下列问题 ⑴ 如图，你能在△ABC 中找到

一点P,使其到三边的距离相等吗？

⑵ 要使到三边的距离相等，其实我们可以先考虑作两个∠A ，∠B 的角平分线相交于一点，然后证明这个点在∠C 的平分线就可以了。

1、△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（ ）

A 、12cm

B 、10cm

C 、14cm

D 、11cm 2、如图所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥B

E ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（ ） A.PM ＞PN B.PM ＝PN C.PM ＜PN D.无法确定

3、如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，下面给出四个结论，其中正确的结论有( ) ①AD 平分∠EDF ； ②AE=AF ； ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等 ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 4、如图所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m 、30m 、40m ，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．

一、填空题

1

、在直角△

ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD=8，则点D 到斜边AB 的距离等于________．

2、已知点C 是∠AOB 平分线上的一点，点P 、P ′分别在边OA 、OB 上，如果要得到OP ＝OP ′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为________．①∠OCP ＝∠OCP ′； ②∠OPC ＝∠OP ′C ；③PC ＝P ′C ；④PP ′⊥OC ．

3、如图，已知BO 平分∠CBA ，CO 平分∠ACB ，MN ∥BC ，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是

．

4、．如图，已知BQ 是∠ABC 的内角平分线，CQ 是∠ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是 ．

二、选择题

1、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD:CD=9:7，则D 到AB 边的距离为( )．

A 18

B 16

C 14

D 12

2、如图，MP ⊥NP ，MQ 为∠NMP 的角平分线，MT=MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是( )． A TQ=PQ B ∠MQT=∠MQP C ∠QTN=90° D ∠NQT=∠MQT

4、如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，

作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ．若AQ=PQ ，PR=PS ，下列结论：①AS=AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP ．其中正确的是( )． A ①③ B ②③ C ①② D ①②③

三、解答题

1、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．

⑴若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论．

(2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．

2、如图，已知在△ABC 中，∠B=600,△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，求证：AE+CD=AC

第一章直角三角形

小结与复习

1、归纳直角三角形的性质：直角三角形两锐角互

余;勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

2、经历将一般三角形转化直角三角形问题的探究过程，感受并学习用联系的观点解决直角三角形的综合问题。

3、通过问题的解决，进一步体会分类讨论思想在数学问题解决中的应用。

本课重点：直角三角形的性质

一、知识链接

1、在直角三角形中，两个锐角_____。

2、两条直角边相等的直角三角形叫做，等腰直角三角形的两个底角相等，都等于___ 度

3、直角三角形_____________的平方和等于_______的平方。

4、如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+_____=_____。如果a,b和c分别表示三角形的三边，且满足a2+b2=c2,那么这个三角形是三角形。

5、直角三角形斜边上的中线等于 _________

6、在直角三角形中，如果一个锐角等于 _____度，那么它所对的直角边等于______的一半。

7、直角三角形的判定方法有：，

，。

8、直角三角形全等判定方法有: , ,

，，。

9、直角三角形角平分线：①：

，②：。1、在Rt△ABC，∠C=90°

（1）已知a=b=5,求c。

（2）已知a=1,c=2, 求b。

（3）已知c=17,b=8, 求a。

（4）已知a：b=1：2,c=5, 求a。

（5）已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2、已知△ABC，AB=17，AC=10,BC边上高AD=8，则BC长为。

3、以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形，他们它们面积分别是6和3.则斜边长是。

4、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距。

5、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC ＝20，BC＝15，DB＝9。

(1)求DC的长。

(2)求AB的长。

一、填空题

1

、直角三角形中一个锐角为

30

°

,斜边和最小的

边的和为12cm,则斜边长为 .

2、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .

3、已知在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高， ∠A =30°,A B =4cm,则BC= cm, ∠B C D = , C D = c m .

4、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，且最短边是3厘米，则最长边上的中线等于_________；

5、在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB=_______

6、等边三角形的高为2，则它的面积是 。

7、如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则AD 等于 ，

8、如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ， 则S △ABO ： S △BCO ：S △CAO= ．

9、如图，AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，作PE ⊥AB 于点E ．若PE=2，则两平行线AD 与BC 间的距离为 ，

10、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高__________米。

二、解答题

1、已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？

2、已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

3、如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE 是过点A 的直线，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ．

（1）若BC 在DE 的同侧（如图①）且AD=CE ，说明：BA ⊥AC ．

（2）若BC 在DE 的两侧（如图②）其他条件不变，问AB 与AC 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．

4、如图，P 是△ABC 的∠BAC 的外角平分线上一点． (1)求证：PB+PC ＞AB+AC ；

(2)若P 是△ABC 的∠BAC 的平分线上一点且AC ＞AB ，画出图形，试分析PB 、PC 、AB 、AC 间又有怎样的不等关系?