高中奥数_集合 函数 不等式 导数
集合 函数 不等式 导数
一 能力培养
1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;
4,运算能力; 5,转化能力.
二 问题探讨
[问题1] 已知{3}A x x a =-≤,2{780}B x x x =+->,分别就下面条件求a 的
取值范围:
(I)A B =?;(II)A
B B =.
[问题2]求函数()a f x x x
=+
的单调区间,并给予证明.
[问题3]已知()1x f x e ax =--.
(I)若()f x 在定义域R 内单调递增,求a 的取值范围;
(II)若()f x 在(,0]-∞上单调递减,在[0,)+∞上单调递增,求a 的值;
(III)设2()22g x x x =-++在(II)的条件下,求证()g x 的图象恒在()f x 图象的下方.
[问题4]设11()lg 21x f x x x
-=+++. (I)试判断()f x 的单调性;
(II)若()f x 的反函数为1()f x -,证明1()0f x -=只有一个解;
(III)解关于x 的不等式1
1[()]22
f x x -<.
三 习题探讨
选择题
1已知函数()2x f x =,则12(4)f x --的单调减区间是
A,[0,)+∞ B,(,0]-∞ C,[0,2) D,(2,0]-
2已知集合M={01}x x ≤≤,N={01}x x ≤≤,下列法则不能构成M 到N 的映射的是 A,2y x = B,sin y x = C,tan y x =
D,y 3已知函数(1)()(1)x x f x x x ≥?=?-
，奇函数()g x 在0x =处有定义，且0x <时, ()(1)g x x x =+，则方程()()()f x g x f x +=·()g x 的解的个数有
A,4个 B,2个 C,1个 D,0个
4如果偶函数()y f x =在[0,)+∞上的图象如右图,则在
(,0)-∞上,()f x = A,1x + B,1x - C,1x -+ D,1x -
5设函数121()1(0)
2()(0)
x x f x x x ?-≤?=??>?,已知()1f a >,则a 的取值范围为 A,(1,1)- B,(,1)(1,)-∞-+∞ C,(,2)(0,)-∞-+∞ D,(1,)+∞
6对于函数32()3f x x x =-,有下列命题:①()f x 是增函数,无极值;②()f x 是减函数,
无极值;③()f x 的增区间是(,0)-∞,(2,)+∞,()f x 的减区间是(0,2);④(0)0f =是极 大值,(2)4f =-是极小值.其中正确的命题有
A,一个 B,二个 C,三个 D,四个
填空题
7函数2(2)log x
f x =的定义域是 .
8已知2(1cos )sin f x x -=,则()f x = . 9函数2log (252)x y x x =-+-单调递增区间是 .
10若不等式2log 0(0,1)a x x a a -<>≠对满足102
x <<的x 恒成立,则实数
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
构造函数法证明导数不等式的八种方法Word版
构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F
3 用导数证明函数不等式的四种常用方法
用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈.
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
函数导数不等式(含答案)
函数、导数和不等式 1i.(北京卷8)某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高.m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可 分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答 案． 解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C 2ii(北京卷14) 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同时满足条件： ①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0； ②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0． 则m的取值范围是________． iii 3(全国卷10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝（） （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 求导函数可得y′=3（x+1)(x-1） 令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1； ∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减 ∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值 ∵函数y=x^3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点
∴极大值等于0或极小值等于0 ∴1-3+c=0或-1+3+c=0 ∴c=-2或2 4iv (福建卷9)若函数y=2x 图像上存在点（x ，y ）满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤??--≤??≥? ，则实数m 的最大值为（ ）A ． 12 B.1 C. 32 D.2 解：约束条件 x +y ?3≤0 x ?2y ?3≤0 x ≥m 确定的区域为如图阴影部分，即△ABC 的边与其内部区域， 分析可得函数y=2x 与边界直线x+y=3交与点（1，2）， 若函数y=2x 图象上存在点（x ，y ）满足约束条件， 即y=2x 图象上存在点在阴影部分内部， 则必有m≤1，即实数m 的最大值为1， 故选B ． 5v .（湖北卷9）函数f （x ）=xcosx 2在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 f(x)=xcosx2，0<=x<=4，0<=x2<=16<5.5π x=0是零点之一 cos2x=0，cosx=0，x=π/2或者x=3π/2或者x=5π/2或者x=7π/2或者x=9π/2 所以：零点共有6个 6vi （江苏卷13）已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为
2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达标训练新人教A版选修
2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式达 标训练新人教A 版选修 基础·巩固 1.如下图所示，矩形OPAQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和_________空白部分的矩形的面积之和. 思路分析：这可沿图中线段MN 向上翻折比较即知.当然由图我们可知,阴影面积=a 1b 1+a 2b 2,而空白面积=a 1b 2+a 2b 1.根据顺序和≥反序和可知答案. 答案：≥ 2.设a 、b 、c 为某一三角形三边长，求证： a 2(b+c-a)+ b 2(c+a-b)+ c 2(a+b-c)≤3abc. 思路分析：运用排序原理，关键是弄出有序数组，通常从函数的单调性质去寻找，如f(x)=x 2在R +单调递增，f(x)=在R +单调递减. 证明：不妨设a≥b≥c，易证a(b+c-a)≤b(c+a -b)≤c(a+b -c). 由排序原理得a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤a·b(c+a -b)+b·c(a+b -c)+c·a(b+c -a)=3abc. 3.对a,b,c∈R +,比较a 3+b 3+c 3与a 2b+b 2c+c 2a 的大小. 思路分析:将式子理解为积的形式a 2·a+b 2·b+c 2·c,a 2b+b 2c+c 2a,再依大小关系可求解. 解：取两组数a,b,c ；a 2,b 2,c 2. 不论a,b,c 的大小顺序如何，a 3+b 3+c 3都是顺序和，a 2b+b 2c+c 2a 都是乱序和； 故由排序原理可得a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a. 4.求证:正实数a 1,a 2,…,a n 的任一排列为a 1′,a 2′,…，a n ′，则有≥n. 思路分析:本题考查如何将和的形式构造为积的形式,本题关键是将n 理解为n 个1相加,而把1理解为x·的形式.这种方法有普遍的应用,应该加以重视. 证明：取两组数a 1,a 2,…,a n ；,,…,. 其反序和为=n ，原不等式的左边为乱序和，有≥n. 5.已知a,b,c∈R +，求证：≥a 10+b 10+c 10. 思路分析:可以发现左右两边的次数相等,因此,应该进行适当的拼凑,使其成为积的形式. 证明：不妨设a≥b≥c>0,则>0且a 12≥b 12≥c 12>0, 则ab c bc b ab a ab c ca b bc a 12 1212121212++≥++ c c b b a a a c c b b a 11 1111111111++≥++==a 10+b 10+c 10. 6.设a 1,a 2, …,a n 是1,2, …,n 的一个排列，求证： n n a a a a a a n n 1322113221-++≤-+++ .
2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]．
高中数学知识点精讲精析 排序不等式
2 排序不等式 先来看一个问题： 设有10个人各拿一只水桶去接水，若水龙头注满第i 个人的水桶需要i a 分钟，且这些i a 各不相同。那么，只有一个水龙头时，应如何安排10个人接水的顺序，才能使它们等待的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？ 解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？ 为了解决这一问题，先来了解排序不等式。 一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加， 则其和同序时最大，倒序时最小.即 （倒序）（乱序）（同序）1 12121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i n n n +++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时成立。 下面采用逐步调整法证明排序不等式。 证明：考察任意和式n i n i i b a b a b a s +++= 2121。 若1i b 是1b ，则转而考察2i b ； 若1i b 不是1b ，而某一k i b 是1b 。将1i b 与k i b 调整位置，得 n k i n i k i i b a b a b a b a s +++++=' 1221 则 0))(()()(111111≥--=-+-=-'i k i i k i i b b a a b b a b b a s s k k 这就是说，当把第一项调整为11b a 后，和不会减少。同样，可将第二项调整为22b a ，…，
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题
第5讲 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1
解得x0＝ln c－1 ln c ln c. 当x
(新)高中数学柯西不等式与排序不等式
1 3.1 3.2 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 2 22|| c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 22c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式： 2222 12121 ( )n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
高中数学-公式-柯西不等式
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则.22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法一：（比较法）=….=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥证法二：（综合法）222222222222 ()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ . （要点：展开→配方） 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+ 证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b = (,)n c d = ||m = ||n = ∵ ，且，则. ∴ ….. m n ac bd ?=+ ||||cos ,m n m n m n =<> A A A ||||||m n m n ≤ A A 证法四：（函数法）设，则 22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立. 22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…..22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++③二维形式的柯西不等式的一些变式： 或 . ||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ac bd ≥+④ 提出定理2：设是两个向量，则.,αβ ||||||αβαβ≤A 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者共线） β ,αβ ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d . ≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈≥分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 112233,,,,,x y x y x y R ∈3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数?y =+ 要点：利用变式.||ac bd +≤二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y =+ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：→ 推广：y =+,,,,,) y a b c d e f R +=+∈② 练习：已知，求的最小值.321x y +=22x y + 解答要点：（凑配法）.2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y +=++≥+= 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若，，求证： .,x y R +∈2x y +=11 2x y +≥分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
导数的运算法则及基本公式应用
120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
函数导数与不等式综合题
函数、导数与不等式综合题 1 已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（1）若)(x f 在[)0,+∞上是减函数，求 a 与 b 的关系；（2）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（3）解不等式ln x x x x 2 21- -???? ??-+≤ln2–1. 解：.（1）()1a a b ax f x ax b ax b --'= -= ++. ………………1分 0,0,0x a b >>≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤. 当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤. ()f x ∴在[0,)+∞上是减函数时，b a ≥. ………………………4分 （2）由（1）知，（i ）当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；……5分 当b a <时， ()a b ax f x ax b --'= +， ∴当0a b x a -< ≤时，()0f x '>，当a b x a ->时()0f x '<， 即在[0, )a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，………………7分 ∴a b x a -= 时()f x 取最大值， 最大值为max ()( )ln a b a b f x f a a a --==- ， 即max ln (), ()ln ().b b a f x a b a b a a ?? =?--
集合、函数与导数、不等式
专题四 集合、函数与导数、不等式（文） 2011年 1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=?（M N ） 2．函数0)y x =≥的反函数为 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2 f -= 21． 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈ （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）； （II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。 2010年卷1 2、设全集U ＝（1，2，3，4，5），集合M ＝（1，4），N ＝（1，3，5）， 则N ?（C ，M ） 7.已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是 10.设a =log 3，2，b =ln2，c =12 5-,则 （A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a (C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a 13.不等式2232 x x x -++>0的解集是 . 21. 已知函数f (x )=3a x 4-2(3a +2)x 2+4x . (Ⅰ)当a =16 时，求f (x )的极值; (Ⅱ)若f (x )在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围.
2009年卷1 2. 设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=A B ， 则集合［u （A B ）中的元素共有 (A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 3.不等式111x x +?-的解集为 6.已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则(1)(1)f ＋g ＝ 10.如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π中心对称，那么φ的最小值为 21. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点， 求l 的方程 2008年卷1 1.函数y =1x x -+的定义域为 2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 4.曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 8.若函数y ＝f (x )的图像与函数y =1n 1+x 的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ 21.已知函数f (x)=x 3+a x 2+x+1,a ∈R. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设函数f(x)在区间（－21,33 -）内是减函数，求α的取值范围. 2007年卷1
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5
3.3排序不等式 一、教学目标 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 四、教学难点 1．了解排序不等式的数学思想和背景． 2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题． 五、教学过程 （一）导入新课 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19. 所以最少花费为19元，最多花费为25元． 【答案】19 25 （二）讲授新课 教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和． 教材整理2 排序不等式 设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和． （三）重难点精讲
题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab ； (2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组． 【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1 b . 又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1 ca ， 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1 c ， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1 ab ， 从而1bc ≥1ca ≥1ab . (2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1 ab >0且a ≥b ≥c >0， ∴ 1 b 2c 2 ≥ 1 c 2a 2 ≥ 1 a 2b 2 ，a 2 ≥b 2≥c 2 . 由排序不等式，顺序和≥乱序和得 a 2 b 2 c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组． [再练一题] 1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2 c 3. 【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5 ≥b 5 ≥c 5 ， 1 c ≥1b ≥1 a ＞0. ∴1bc ≥1ac ≥1ba ，
高中数学-导数的计算练习
高中数学-导数的计算练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x '+=+ B ．21 (log )ln 2 x x '= C ．3(3)3log x x x '= D ．2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ，所以A 项应为2 11x -；由1(log )ln a x x a '=知B 项正确；由()ln x x a a a '=可知C 项错误；D 项中，2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(2,8)--或(2,8) D ．(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1 ()1()2f x f x '='+ ，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A ．2e 2 B ．23e C ．26e D ．29e 【答案】A