解析函数与调和函数

§4. 解析函数与调和函数

一、教学目标或要求：

掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算

二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：解析函数与调和函数的关系例题

重点：解析函数与调和函数的关系

难点: 例题

三、教学手段与方法：

讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：

16、17、18

§4. 解析函数与调和函数

在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择

才能使函数在区域D内解析。

设在区域D上解析，则C--R条件成立

，.

下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数

两式相加可得

同理可得

定义3.5若二元实函数

在区域

内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方

程，则称为区域内的调和函数。记，

则为运算符号，称为拉普拉斯算子。定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件

y v x u ??=??， x

v y u ??-=?? 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义

设是区域D 上的解析函数，则

，

两式相乘得

即

所以

就是说，梯度跟梯度

正交. 我们知道，和

分别是曲线族“”和“

”的法向矢量，因而上式

表示“

”与“

”两族曲线相互正交. 这就解析函数

实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。

定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数.

证由

在

内解析知，

，从而

。又解析

函数具有的无穷可微性保证

，

在

内均连续，故必相等，于是在

内

。同理

，即，满足拉普拉斯方程。

定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理

),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是)

,(y x u 的共轭调和函数。

函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。

从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。 1.线积方法

定理3.19 设

是在单连通区域

内的调和函数，则存在

，

使

是

内的解析函数。（其中

是

内定点,

是

内动

点,为任意常数，积分与路径无关）证要使成为解析函数,则

必须满足条件

(

条件),

又

,故

，又

在单连通区域

可微，故

积分与路径无关，从而

2.条件

由，两边对求积分

,两边同时求的偏导

，由条件

两边对求积分求得的表达式,从而

3.观察法

例验证是平面上的调和函数,并求出以为实部的解析函数,使。

解(1) 故

(2)

方法一

故

又故，从而。

方法二

由于，故

于是,从而，

于是，即。

故，以下同方法一（略）。

方法三

由于

故。余下（略）。

例验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数。

解（1）

故即在右半平面内是调和函数。

（2）由得

又,故, 于是，故

从而

在右半平面单值解析。

例设222),(y xy x y x u --=，试求以),(y x u 为实部的解析函数

),(i ),()(y x v y x u z f +=，使得i )0(=f ．

解依C.— R.条件有 y x u v x y 22-== 于是 ?-=y y x v d )22( )(22x y xy ?+-= 由此得 )(2x y v x ?'+=y u -=y x 22+= 从而有 c x x +=2)(?

因此 c x y xy y x v ++-=222),( （c 为任意常数）故得 )2(i 2)(2222c x y xy y xy x z f ++-+--= c z i )i 1(2++=

将i )0(=f 代入上式，得 i c f ==i )0( 由此得1=c ，故得 i )i 1()(2++=z z f 经验证，所得)(z f 既为所求。

本章内容课后讨论

1．何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分有何关系？

2．设l 是z 平面上以A 为起点B 为终点的光滑曲线，试问

与

的

几何意义有何不同?不等式

说明了什么几何性质?

3．计算复变函数的积分有哪几种方法? 4．复变函数的基本性质是什么?

5．若

,能否说f(z)在l 内必解析?试举例说明.

6．对于什么样的闭曲线l,有

7．到此,我们能计算哪些复变函数的围道积分?总结一下计算这些复变函数围道积分的公式?

8．何谓原函数?如何计算解析函数的积分?

9．以下二论断是否均正确?试举例说明.

(z)存在,则f(n)(z)亦存在.

(1)对于复变函数f(z)而言，若

(2)对于实变函数f (x)而言，若

10．解析函数的导数是否仍为解析函数？

11．以下论断是否正确？为什么？

若在曲线l上连续，则积分定义一一个不在l上的解析函

数，且

12.若f（z）在区域内解析，在闭区域上连续，试证明在内有

成立，其中M为的上界，s为l的全长，d

Cauchy不等式

和z离边界上最近的一点的距离。

13．Liouville定理实际指出：“在整个复平面可微且有界的复变函数必是常数”。由此我们是否可推断：“在整个数轴（）上可微且有界的实函数一定是常数”？试举例说明。

14．如何从Cauchy积分公式来理解解析函数其值之间的内在联系？

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

解析函数

第2章解析函数 2.1 解析函数的概念及C-R 条件复数作为复数域的向量，是一维向量，或复数是复数域上的一维线性空间. 2-1 ()f z 在000i z x y =+点可导的充分必要条件是（）. （A ）在00(,)x y 点,u v 可导，且满足C-R 条件，即,u v u v x y y x ????==-????在00(,)x y 成立（B ）()f z 在00(,)x y 点的一个邻域内可导（C ）在00(,)x y 点,u v 可微，且满足C-R 条件（D ）在00(,)x y 点,u v 具有连续的偏导数，且满足C-R 条件解由上题的推导过程知，若()f z 在0z 点可导，则,u v 在00(,)x y 可微，且 ,.u v u v a b x y y x ????==- ==???? 在00(,)x y 点成立. 反之，若,u v 在00(,)x y 可微，且满足C-R 条件，则 ()i f z u v z z ??+?=?? i()(||)(i )i(i )(||) (i )(||)x y x y x x x x x u x u y v x v y o z z z u x y v x v y o z z z u v z o z z z ?+?+?+??=+ ???+?+?+??=+ ??+??=+ ?? 故 0() lim x x z f z u iv z ?→?=+? 选（C ）. 2-2 若22 2 22,0(,),(,),()i 0,0xy x y x y u x y v x y xy f z u v x y 2?+≠?+===+??+=? ，则函数() f z （）. （A ）仅在原点可导（B ）处处不可导（C ）除原点外处处可导（D ）处处可微解 (,)u x y 在原点虽有 0y v x y ??==??但不可微；而除原点外,u v 可微但不满足C-R 条件，因此，()f z 处处不可导. 选（B ）. ()f z z =如此简单一个函数却处处连续但不可导！ 2-3 若2 2 ()()i(32)f z x y ax by cxy x y =-+++++处处解析，则(,,)a b c =（）. （A ）(3,2,2) （B ）(2,3,2)-- （C ）（(2 ,3,2)- （D ）(2,3,2)- 解由C-R 条件及 2,2,3, 2.u u v v x a y b cy cx x y x y ????=+=-+=+=+????故2,2, 3.c a b ===- 2-3 若22 ()i f z xy x y =+则()f z （）. （A ）令在直线y x =上可导（B ）仅在直线y x =-上可导（C ）仅在（0，0）点解析（D ）仅在（0，0）点可导

函数概念及解析式

函数的概念及解析式【复习目标】 1．理解函数的概念； 2．掌握函数的表示方法；【知识梳理】 1. 设A 、B 是____的数集，如果按某种对应关系f ，__________________________________________.，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数。 2. 函数的三要素：____________、________________、________________________; 3. 常用函数的表示方法：_____________________、______________、_____________; 4. 分段函数是指____________________________________________________________________; 【基础达标】 1． f(1－x)=x 2，则f(x)=____________, 2．若f(x －221)1x x x +=, 则f(x)=__________. 3．已知f(x)=11+-x x ,则f(x)+f()1x =_____________. 4．若f(x)=x 2－mx+n,f(n)=m,f(1)=－1，则f(－5)=____________. 5．已知)3(4 1)(,2)(2+=+=x x g a x x f ，若g[f(x)]=x 2+x+1，则a=_____________. 6．已知f(1－cosx)=sin 2x ，则f(x)=________________. 【典型例题】例1．求函数解析式 ⑴.求一次函数f(x)，使f[f(x)]=9x+1； ⑵.设二次函数()y =f x 的最大值为13，且3(1)5f f （）=-=，求()f x 的解析式. ⑶.已知2(31)23f x x x +=-+，求(1)f x -=. ⑷.已知2 21)1(x x x x x f ++=+，求f(x)；

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解：设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==．

解析函数与调和函数的关系

§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。

. ),() 00: ),(22 2 2 内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数 D y x y x Laplace D y x ??? ??=?=??+??定义是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==?+=定理

证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则 x v y u y v x u R C ??- =????= ??- 方程由y x v y u x y v x u ???-=?????=??22 222 2从而有x y v y x v y x v y x u ???= ???∴?22.) ,(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 22 22 =??+??y u x u 内有故在0 22 22 =??+??y v x v 同理有

,0=?=?v u 2 2 22y x ?? +??≡?其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 是，D y x v v y x u u ),(),(==∴. ),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义

§4.解析函数与调和函数解读

§4. 解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点: 例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 16、17、18 §4. 解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择才能使函数在区域D内解析。设在区域D上解析，则C--R条件成立，. 下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 , 两式相加可得同理可得

定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。记，则为运算符号，称为拉普拉斯算子。定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件 y v x u ??=??， x v y u ??-=?? 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义设是区域D 上的解析函数，则，两式相乘得即所以就是说，梯度跟梯度正交. 我们知道，和分别是曲线族“”和“ ”的法向矢量，因而上式表示“ ”与“ ”两族曲线相互正交. 这就解析函数

实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数. 证由在内解析知，，从而。又解析函数具有的无穷可微性保证，在内均连续，故必相等，于是在内。同理，即，满足拉普拉斯方程。定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理 ),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是) ,(y x u 的共轭调和函数。函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。 1.线积方法定理3.19 设是在单连通区域内的调和函数，则存在，使是内的解析函数。（其中是内定点, 是内动点,为任意常数，积分与路径无关）证要使成为解析函数,则必须满足条件 ( 条件), 又 ,故，又在单连通区域可微，故积分与路径无关，从而

1.2.1函数的概念练习题及答案解析

1．下列说法中正确的为( ) A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数 B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数 C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数 D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同． 2．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 x D ．f (x )＝x 2－9x －3 ，g (x )＝x ＋3 解析：选B.A 、C 、D 的定义域均不同． 3．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0} D ．{x |0≤x ≤1} 解析：选D.由? ???? 1－x ≥0x ≥0，得0≤x ≤1. 4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．解析：由函数定义可知，任意作一条直线x ＝a ，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当－1≤a ≤1时，直线x ＝a 与函数的图象仅有一个交点，当a ＞1或a ＜－1时，直线x ＝a 与函数的图象没有交点．从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3)．答案：(2)(3) 1．函数y ＝1x 的定义域是( ) A ．R B ．{0} C ．{x |x ∈R ，且x ≠0} D ．{x |x ≠1} 解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．

人教A版高一数学函数的概念知识点总结与例题讲解

函数的概念知识点总结本节主要知识点（1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. 知识点一函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作 )(x f y =,A x ∈. 其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集. 对函数的近代定义的理解（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如x x y --= 11就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到. 存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y . 唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.

（3）集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集. 在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者. 例1. 讨论二次函数的定义域和值域. 解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况: ①当0>a 时,函数的值域为?????? -≥a b ac y y 442; ②当0