普通高中理科实验班招生考试数学试题

（满分150分，答题时间120分）

一、选择题（本题共5小题，每小题10分，满分50．每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号内）

1．若m

x 1

=是方程022=+-m mx 的根，则m x -的值为 ………【】 A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2

2．内角的度数为整数的正n 边形的个数是 ………………………………【】 A ．24 B ．22 C ．20 D ．18

3．某商场五一期间举行优惠销售活动，采取“满一百元送二十元，并且连环赠送”的酬宾方式，即顾客每消费满100元（100元可以是现金，也可以是购物券，或二者合计）就送20元购物券，满200元就送40元购物券，依次类推，现有一位顾客第一次就用了16000元购物，并用所得购物券继续购物，那么他购回的商品大约相当于它们原价的 ………………………………………………………………【】 A ．90% B ．85% C ．80% D ．75%

4．设x 为正整数，若1+x 是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是【】 A ．x B ．12+-x x C ．112++-x x D ．212++-x x 5．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数1

x x y 的图象上整点的个数是 ……………………………………………………………………………【】 A ．3个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

二、填空题（本题共5小题，每小题8分，共40分）

6．计算：1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋…＋97＋98－99＋100＝．

7．已知实数x 满足012)(4)(222=----x x x x ，则代数式12

+-x x 的值为

．

8．若方程组??

?+=--=+433235k y x k y x 的解为???==,

b y a x 且||k ＜3，则b a -的取值范围是

．

9．已知函数2

)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半

轴上，则a 的取值范围是．

10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝60°，AD ＝DC ＝10，点E ，F 分别

在AD ，BC 上，且AE ＝4，BF ＝x ，设四边形DEFC 的面积为y ，则y 关于x 的

函数关系式是（不必写自变量的取值范围）．

三、（本题共4小题，满分60分）

11．（本题满分15分）

D C

我们知道相交的两直线的交点个数是1，记两平行直线的交点个数是0；这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0，经过同一点的三直线它们的交点个数就是1；依次类推……

（1）请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点？

（2）平面内的五条直线可以有4个交点吗？如果有，请你画出符合条件的所有图形；如果没有，请说明理由．

（3）在平面内画出10条直线，使交点数恰好是31．

12．（本题满分15分）

甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲库调90袋到乙库，则乙库存粮是甲库的2倍；如果从乙库调若干袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍．问甲库原来最少存粮多少袋？

13．（本题满分15分）

⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，动点P 在⊙O 2上，且在⊙O 1外，直线PA 、PB 分别交⊙O 1于点C 、D ．问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD 最长或最短时点P 的位置；如果不发生变化，请给出你的证明．

O O 21

14．（本题满分15分）

如图，函数22

=x y 的图象交y

轴于M ，交x 轴于N ，点P 是直线MN 上任意一

点，PQ ⊥x 轴，Q 是垂足，设点Q 的坐标为（t ，0），△POQ 的面积为S （当点P 与M 、N 重合时，其面积记为0）．

（1）试求S 与t 之间的函数关系式；

（2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得S ＝a （a ＞0）的点P 的个数．

普通高中理科实验班招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题10分，共50分）

1．C 2．B 3．C 4．D 5．B 二、填空题（每小题8分，共40分）

6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠0

10．35534+-=x y

三、解答题（每小题15分，共60分）

11．（本题满分15分）

解（1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）

图1 图2

（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分）（3）如图3所示． …………………（15分）

图3

12．（本题满分15分）

解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得 90)90(2+=-b a ．（1）再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即

)(6c b c a -=+．（2） ………………（5分）由（1）式得

2702-=a b ．（3）将（3）代入（2），并整理得

1620711=-c a ． ………………（10分）

由于7

)

1(42327162011++

-=-=

a a a c ．又a 、c 是正整数，从而有7

1620

11-a ≥1，即a ≥148；

并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ．

经检验，可知a 的最小值为152．

答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分） 13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）

证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分）连结AD ，

∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分）因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ，所以∠CAD 为定值．

在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分）证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．

∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，

⌒ ⌒ ∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）

∴ CC

＇＝DD ＇ ∴ C ＇mD ＇＝CmD

∴ CD ＝CD ． …………………（15分）

14．（本题满分15分）

解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝22

t ． ∴ S ＝

t t t t -=+--?24

)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝22

+-t ．

∴ S ＝t t t t +-=+-?2

1)221(21；

③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝22

)221(-=+--t t ．

∴ S ＝t t t t -=-?2

1)221(21．

④ 当t ＝0或4时，S ＝0．

于是，???????≤≤+-><-=)40(4

1)40(,4

122

t t t k t t t S 或 …………………………………………6分

O O 21′

′

C D Q

（2）???????≤≤+--=+-><--=-=)40(1)2(414

1)40(,1)2(4

141222

2t t t t k t t t t S 或

下图中的实线部分就是所画的函数图象． ……………………………………12分

观察图象可知：

当0＜a ＜1时，符合条件的点P 有四个；当a ＝1时，符合条件的点P 有三个；

当a ＞1时，符合条件的点P 只有两个． ………………………………………15分解法2：（1）∵ OQ ＝||t ，PQ ＝|22

||221|-=+-

t t ， ∴ S ＝

|4|4

|221|||212t t t t -=-?． ……………………………………4分（2）???????≤≤+-><-=-=)40(4

1)40(,4

1|4|4122

2t t t k t t t t x S 或 ………………………6分

以下同解法1．

S =