2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：6 函数的单调性与最值(原卷版)

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第6讲函数的单调性与最值

思维导图

知识梳理

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M．

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

核心素养分析能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 重点提升数学抽象、逻辑推理素养.

题型归纳

题型1 函数的单调性（区间）

【例1-1】（2019?西湖区校级模拟）函数2()1f x x x =-+-的单调递增区间为( )

A ．1[,)2-+∞

B ．1[,)2+∞

C ．1(,]2-∞-

D ．1(,]2

-∞ 【例1-2】（2019秋?闵行区期末）已知函数1()f x x x

=

-．判断()f x 在(,0)-∞上的单调性，并给予证明．

【跟踪训练1-1】（2019秋?天津期中）函数y =( )

A ．5[,)2+∞

B ．5[,4)2

C ．[4，)+∞

D ．5[1,),[4,)2

+∞ 【跟踪训练1-2】（2019秋?河西区期中）用函数单调性的定义证明：()x x f x a a -=+在(0,)+∞上是增函数（这里0a >且1)a ≠

【名师指导】

判断函数单调性常用方法

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.

(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性.

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间.

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；

②对于复合函数，先将函数y ＝f (g (x ))分解成y ＝f (t )和t ＝g (x )，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断.

题型2 函数单调性的应用

【例2-1】（2020?绵阳模拟）已知()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，

若1(3),(2),2

a f ln

b f ln

c f ===，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．a c b <<

B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．c b a <<

【例2-2】（2020?济南二模）已知函数221,1()|1|,1

x x x f x x x ?-+-=?->?，若2(4)(3)f a f a ->，则实数a 的取值范围是( )

A ．(4,1)-

B ．(-∞，4)(1-?，)+∞

C ．(1,4)-

D ．(-∞，1)(4-?，)+∞ 【例2-3】（2020?郑州三模）若函数2,0()(1)32,0x e x a x f x a x a x ?-+>=?-+-?

在(,)-∞+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( )

A ．[1，)+∞

B ．(1，3]

C ．1[2，1)

D ．(1，2]

【跟踪训练2-1】（2020春?静海区校级期中）已知函数22,0()1,02

x x x f x x x ?--?=?-+

3212111(()),(log ),(())23

3a f b c f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c <<

B ．c a b <<

C ．b a c <<

D ．b c a <<