函数单调性的判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法.

（1）定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

解：设－1

则f(x1)－f(x2)＝－

＝

＝

∵－1

∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.

∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．

当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

例2.证明函数在区间和上是增函数；在

上为减函数。（增两端，减中间）

证明：设，则

因为，所以,

所以，

所以

所以

设

则，

因为，

所以，

所以

所以

同理，可得

（2）运算性质法.

①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）

②若.

③当函数.

④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：

在同一坐标系下作出函数的图像得

所以函数的单调增区间为