线性代数A-向量组的线性相关性- 答案
第三章向量组得线性相关性
作业1
一、判断题
1、如果当时,,则线性无关、（×)
2、若只有当全为0时,等式才成立,则线性无关,线性无关、( ×)
二、填空题
１、设其中
则= 、
2、ｎ维零向量一定线性相关、
3、设,若线性相关,则= 、
４、已知向量组线性相关，则= 、
5、设向量组线性无关，则必满足关系式、６、设则向量组得线性相关性就是线性相关、
三、选择题
1.向量组与向量组等价得定义就是向量组( A ）、
A、与可互相线性表示
B、与中有一组可由另一组线性表示
Ｃ、与中所含向量得个数相等Ｄ、与得秩相等
2、向量组线性无关得充要条件就是( Ｄ)、
A、均不为零向量
B、中有一部分向量线性无关
C、中任意两个向量得分量不成比例
D、中每个向量都不能由其余向量线性表示
３.设向量,则向量组1，2,3线性无
关得充分必要条件就是( Ｄ)
A、全不为0Ｂ、不全为０
C、不全相等
D、互不相等
4、在下列向量组中, Ｄ就是线性无关得、
Ａ.,，，
B.,,
C．,
D.,,
四、计算与证明题
1、 给定向量组
试判断就是否为得线性组合;若就是,则求出组合系数、
解:设,若此方程组有解,则可写成得线性组合,否则,不可以、
12342130130113011301213
00
5
32()0224022
40
2
2434193419013
11213011301130
1011201120112053200880011013112001414000αααα-----??????
? ? ?----- ? ? ?=→→ ? ? ? ? ? ?---??????------???? ? ? ? ?→→→ ? ?-- ? ?--????1
020
1
0100
11000
00???? ? ? ? ?→ ? ? ? ????? 即从而、
2、 讨论下列向量组得线性相关性、
(1);
(2)
解：(1)因为,所以,线性相关、
(２)31111311311
3113311
048
012
024024024000214214012000A ---???????? ? ? ? ?
-- ? ? ? ?
=→→→ ? ? ? ?
--- ? ? ? ?---????????
所以,线性相关、
３、 证明：若向量组线性无关,则任一向量必可由线性表示、
证:设有数,使,则
(１) 因线性无关,所以
，由ｃｒamer 法则(1)有唯
一解、 则必可由线性表示、
4、 向量组线性无关，证明:向量组,，， 也线性无关、
证: 设有一组数使
于就是有、又因为线性无关,所以
即，方程组只有零解、 、 从而,,, 线性无关、
5、 已知向量组线性无关,且,，，证明：向量组线性相关、
证：设有一组数使
1122331122123323(44)(2)()0k k k k k k βββααααααα++=-+-++-=
于就是，又因为向量组线性无关,所以有
由C ｒa ｍer 法则知上述方程组有非零解,因此向量组线性相关、
6、 设向量组线性无关, 向量组，线性相关, 证明可由线性表示且表法唯一、
证:因为，线性相关,所以存在不全为零得一组数,使得
这里，否则存在不全为零得数,使得，这与线性无关相矛盾、 于就是
即可由线性表示、
下证唯一性、 设
(1)-(２)有
因线性无关，故,所以
唯一性得证、
作业2
一、判断题
1、 若,则中任意5个向量都线性无关、（ × )
2.已知,,则能由,线性表示、( √ )
3、 已知，，则不能由,,线性表示、（ √ )
4、 两个向量组等价当且仅当两个向量组得秩相等、 ( × )
５、 向量组线性无关当且仅当、 ( √ )
二、填空题
1、 设向量组可由向量组线性表出,且，则向量组得线性相关性就是 线性相关 、
2、 设m×n 矩阵A 得m 个行向量线性无关,则矩阵得秩为 m 、
3、 向量组得秩为 1 、
4、 向量组1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(1,4,5,1)T T T T αααα==---=---=--，得秩
为 ,最大无关组为 、
三、选择题
1、 若向量组可由向量组线性表示,则必有( A ）、
Ａ．秩≤秩 B.秩>秩 C.r ≤s ? D.r >s
２、 若向量组线性无关,线性相关，则( C )、
Ａ、 必可由线性表示 B 、 必可由线性表示
Ｃ、 必可由线性表示 Ｄ、 必不可由线性表示
3、 设向量组(Ｉ）可由向量组(II)线性表示,则( D )、
Ａ、 当时,向量组(II)必线性相关 B 、 当时,向量组(I)必线性相关
C 、 当时，向量组（II)必线性相关
D 、 当时,向量组(I)必线性相关
4、 已知,其中为非零向量，则向量组得秩（ Ｂ )、
Ａ、 >３?
? Ｂ、 <3 C 、 ＝3? D 、 =0 ５、 若向量组得秩为,则( Ｄ )、 Ａ.必定
B.向量组中任意小于个向量得部分组必线性无关
Ｃ.向量组中任意个向量必线性无关
D.向量组中任意个向量必线性相关
6、 设向量组有两个极大无关组（I ）：;（II):,
则有（ Ｃ ）成立
A 、 r 与s 不一定相等
B 、 ｒ+s ＝ m
Ｃ、 （I ）中向量可由（ＩI ）表示 ,(ＩI)中向量可由（I ）表示 ,且r =s D 、 r ＋s < ｍ
四、计算与证明题
１、 求下列向量组得秩与一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组表示出来、 (１)12345(1,2,1,2),(1,0,3,1),(2,1,0,1),(2,1,2,2),(2,2,4,3)ααααα===-=-=、
解：1122
211222112222011202532013211302402242022422
11230132102532A ?????? ? ? ?--------- ? ? ?=→→ ? ? ?----- ? ? ?--------??????
11222112221100210011013210132101011010110088000110001100011000110000000
000000000???????? ? ? ? ?----------- ? ? ? ?→→→→ ? ? ? ?-- ? ? ? ?????????所以,向量组得秩为3,最大无关组为，且
,、 (2),,,、
解:10131013101310092102012401240101662340231400160016A ???????? ? ? ? ?=--→→→ ? ? ? ? ? ? ? ?------????????
所以,向量组得秩为３,最大无关组为，且
、、
(3)1234(1,2,1,3),(4,1,5,6),(1,3,4,7),(2,1,2,0)αααα==---=----=、
解:14121412141
214122131091309130913154209300023002036700184600200003A ----???????? ? ? ? ?----------- ? ? ? ?=→→→ ? ? ? ?------ ? ? ? ?------???????? 所以,向量组得秩为4,最大无关组为、
2、 设1234(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),(1,2,3,)a αααα=-===,对讨论向量组得秩、
解:10311031103
1130203330111217301110006421402240000A a a a ?????? ? ? ?- ? ? ?=→→ ? ? ?- ? ? ?-??????,因此，当,向量组得秩为2，当时,向量组得秩为3、
3、 设向量组1234(1,1,1,3),(1,3,5,1),(3,2,1,2),(2,6,10,)T T T T t t σσσσ==--=-+=--,试确
定为何值时，向量组线性相关,并在线性相关时求它得一个最大线性无关组、
解:113211321132113
213260214021402141511006412007000103
12044600620002A t t t t t t t --------???????? ? ? ? ?----------- ? ? ? ?=→→→ ? ? ? ?--- ? ? ? ?+-+---????????
当时,向量组得秩为3<4，从而向量组线性相关,此时最大线性无关组为、
4、设向量组就是一组维向量,证明它们线性无关得充要条件就是任一维向量都能由它们
线性表示、
证：必要性、设线性无关,任取为一维向量,则线性相关(n＋1个ｎ维向量线性相关),所以可以由线性表示、
充分性、设任意ｎ维向量都可由线性表示，则可由线性表示、反之，可由线性表示,从而与等价、于就是与秩相等,即线性无关、
补充题
1、设A就是n阶方阵,,则下列结论中错误
．．得就是(C)、
A.秩(A）＜n Ｂ.A有一个行向量就是其余ｎ-1个行向量得线性组合C．A得n个列向量线性相关 D.Ａ有两行元素成比例
2、设向量组线性无关，则下列向量组线性相关得就是(Ａ)、
Ａ、B、
C、D、
3、设向量可由向量组线性表示,但不能由向量组（I）线性表示,记向量组(ＩＩ）,则( B ）、
A、不能由(I)线性表示,也不能由(IＩ)线性表示
Ｂ、不能由(I)线性表示,但可由(ＩI)线性表示
C、可由（I)线性表示,也可由(II)线性表示
Ｄ、可由(I)线性表示,但不可由(II)线性表示
4、设就是一个4维向量组,若已知可以表为得线性组合,
且表示法唯一,则向量组得秩为( C )、
Ａ.1 B.2 C．３?D.４
5、若矩阵经过行初等变换化为,那么向量组
得一个极大无关组就是,其余向量由此极大无关组
线性表示得表示式为、
６、若线性无关,而线性相关,则向量组得一个最大线性无关组为____＿______＿____＿、
7、设为三阶矩阵,就是得第个列向量,且,则= －１２、
8、设四阶矩阵其中均为四维列向量，且已知行列式则行列式= ４0 、
9、确定常数,使向量组可由向量组线性表示，但向量组不能由向量组线性表示、
1０、已知,,与向量组,具有相同得秩,且可由线性表出、求,得值、
11.已知向量组(I):得秩为3,向量组(II):得秩为3,向量组(IＩI):得秩为4、证明向量组得秩为4、