南通大学《误差理论与数据处理》复习要点

《误差理论与数据处理》复习要点

第一章绪论

一、误差的基本概念

1、误差的定义及表示方法

（1）（绝对）误差=测得值-真值，结果可正可负。

（2）修正值：为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值。

修正值≈真值-测得值，与误差值大小相等、符号相反。

（3）相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。

（4）引用误差=示值误差/测量范围上限=（示值-实际值）/量程

2、误差来源

测量装置误差（标准量具、仪器、附件）；环境误差（温度、湿度、气压）；方法误差；人员误差。

3、误差分类

1）系统误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或在条件改变时，按一定规律变化的误差）；2）随机误差（多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差）；

3）粗大误差（超出在规定条件下预期的误差）。

二、精度

1、精度：反映测量结果与真值接近程度的量，误差小精度高。

2、精度的分类：

1）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示；2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度；

3）准确度（正确度）：反映测量结果中系统误差的影响程度。

精密度和准确度无关；精确度高，则精密度与准确度都高。

三、有效数字与数据运算

1、有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零数字，称为第一位有效数字。从第一位有效数字起至最末一位数字止的所有数字，都是有效数字。

2、数字舍入原则：

（1）舍去部分数值＞保留部分末位的半个单位，末位数加1；

（2）舍去部分数值＜保留部分末位的半个单位，末位数不变；

（3）舍去部分数值＝保留部分末位的半个单位，末位数凑成偶数。

3、数据运算规则：

（1）加减运算时，以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，结果应与小数位数最少的数据小数位相同；

（2）乘除运算时，以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据多取一位数字，结果应与有效位数最少的数据小数位相同；

（3）平方或开方运算，按乘除运算处理；

（4）对数运算，n为有效数字的数据应用n为对数表，或用（n+1）为对数表，以免损失精度；

（5）三角函数运算，所取函数值的位数随角度误差的减小而增多，对应关系如下。

第二章误差的基本性质与处理

一、随机误差

1、随机误差产生的原因：测量装置方面、环境方面、人员方面。

2、若测量列中不包含系统误差和粗大误差，则随机误差具有以下特征：

（1）对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；

（2）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；

（3）有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限；

（4）抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。

3、算术平均值

（1）（近似认为是被测量的真值L0）。

残余误差：

（2）算术平均值的校核：，当求得的为未经凑数的准确数时，有。

残余误差代数和的绝对值应符合：1）当n为偶数时，；2）当n为奇数时，。

4、等精度测量的标准差：

（1）单次等精度测量的标准差：，（测得值与真值之差）；贝塞尔公式：评定单次测量不可靠性的参数：标准差（）、或然误差（）、平均误差（）（2）测量列算术平均值的标准差，测量次数越大，测量精度越高，较为适宜。

评定算术平均值的精度标准：标准差（）、或然误差（）、平均误差（）（3）标准差的其他计算方法

1）别捷尔斯法：；

2）极差法：

3）最大误差法：，真值已知，真值未知

5、等精度测量的极限误差

（1）单次测量的极限误差

正态分布时，，t=3，P=99.73%；

一般地，，t是置信系数。t=2.58，P=99% ；t=2，P=95.44%；t=1.96，P=95%。

（2）算术平均值的极限误差

正态分布时，；测量列的测量次数较少时，按“学生氏”分布或t分布计算，是置信系数。自由度，是显著水平，常取。

解题步骤：1）求算术平均值；2）求残余误差：；3）求标准差、；4）计算极限误差

6、不等精度测量

（1）权：说明测量结果的可靠程度。

（2）权的确定：①测量次数；②权与其相应的标准差平方成正比

（3）加权算术平均值：；当时，

简化计算，，为接近的任选参考值。

（4）单位权

（5）加权算术平均值的标准差：

7、随机误差的其他分布：均匀分布、反正弦分布、三角形分布、分布、t分布、F分布。

二、系统误差

1、系统误差产生的原因：测量装置方面的因素、环境方面的因素、测量方法的因素、测量人员方面的因素。

2、系统误差的特征：在同一条件下，多次测量统一测量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或是在条件改变时，误差按照一定规律变化。

系统误差的统计规律：

1）在多次重复测量同一测量值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或服从一定函数规律的误差；

2）系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。

系统误差的分类：不变的系统误差、线性变化的系统误差、周期性变化的系统误差、复杂规律变化的系统误差。

3、系统误差的发现方法：

（1）实验对比法：是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差，适用于不变的系统误差；

（2）残余误差观察法：

1）若残余误差大体上是正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀疑是存在系统误差；

2）若残余误差数值有规律地递增或递减，且在测量开始与结束时误差符号相反，则存在误差；

3）若残余误差符号有规律地逐渐由负变正，再由正变负，且循环交替重复变化，则存在周期性系统误差。（3）残余误差校核法：

1）用于发现线性系统误差

将测量列中前k个残余误差相加，后（n-k）个残余误差相加（当n为偶数，取k=n/2；n为奇数，k=n+1/2）两者相减，若差值显著不为0，则有理由认为测量列存在线性系统误差（马利科夫准则）；若=0，可能存在系统误差。

2）用于发现周期性系统误差

若有一等精度测量列，按测量先后顺序将残余误差排列为v1，v2，…，v n，（阿卑-赫梅特准则）

令，若，则认为测量列中含有周期性系统误差。（4）不同公式计算标准差比较法

对等精度测量，可用不同公式计算标准差：

1）按贝塞尔公式；2）按别捷尔斯公式。

令，若，则怀疑存在系统误差。

（5）计算数据比较法

对同一量进行多组测量，得到很多数据，通过多组计算数据比较，若不存在系统误差，其比较结果应满足随机误差条件，否则可认为存在系统误差。

任意两组结果和之间不存在系统误差的标志是：

（6）秩和检验法

将独立测得的两组数据，混合后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，数出它的测得值在混合后的次序（即秩），再将所有测得值的次序相加，即得秩和T。

1）当n1、n210时，若，则无根据怀疑存在系统误差。

2）当n1、n2＞10时，T~N（），t=(T-a)/，选取概率，查正态分布积分表的t，若，则无根据怀疑存在系统误差。

（7）t检验法

独立测得的两组数据x i，i=1,2，…，n x；y i，i=1,2，…，n y

令，服从自由度为的t分布变量，

式中，，，

取显著度，由t分布表查中的，若算出，则无根据怀疑两组间有系统误差。

4、系统误差的减小和消除

①从产生误差根源上消除系统误差；

②用修正法消除系统误差；

③不变系统误差消除法：代替法、抵消法、变换法；

④线性系统误差消除法——对称法；

⑤周期性系统误差消除法——半周期法。

三、粗大误差

1、粗大误差产生原因：

（1）测量人员的主观原因：操作不当、测量时不小心、不仔细；

（2）客观外界条件的原因：测量条件意外改变（如机械冲击、外界振动）

2、粗大误差的防止与消除：加强测量者的工作责任心；保证测量条件的稳定。

3、判别粗大误差的准则

准则适用于测量次数较多的测量列；格罗布斯准则的可靠度最高，适用于测量次数为n=20~100时；测量次数很小时，可采用罗曼若夫斯基准则；狄克松准则可快速从测量列中判别出是否含有粗大误差。（1）准则（莱以特准则）

以测量次数充分大为前提，若发现有大于的残余误差的测量值，即，则可认为它含有粗大误差，应予以剔除。

（2）罗曼诺夫斯基准则

当测量次数较少时，按t分布的实际误差分布范围来判别粗大误差，较为合理。

首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验被剔除的测量值是否含有粗大误差。若,则认为含有粗大误差，剔除是正确的；、为剔除后的测量值的平均值和标准差，k是t分布的检验系数k(n,)，n是测量次数。

（3）格罗布斯准则

设对某量作多次等精度独立测量，得，，，

当服从正态分布时，，，，

将按大小顺序排列成顺序统计量，而

若认为可疑，则有；若认为可疑，则有。

当，即判别该测量值含有粗大误差，并予以剔除。

（4）狄克松准则（无需求出标准差）

是，，，的顺序统计量，当服从正态分布时，得到的统计量

，

，

当的统计量时，不含粗大误差

，

，

四、测量结果的数据处理实例（误差理论P52）

1、等精度直接测量列测量结果的数据处理实例

步骤：①计算算术平均值；②求残余误差；③校核算术平均值及其残余误差；④判断系统误差；⑤求测量列单次测量的标准差；⑥判别粗大误差；⑦求算术平均值的标准差；⑧求算术平均值的极限误差（）；⑨写出最后测量结果（）。（例2-24）

2、不等精度直接测量列测量结果的数据处理实例

步骤：①求加权算术平均值；②求残余误差并进行校核；③求加权算术平均值的标准差；④求加权算术平均值的极限误差（）；⑤写出最后测量结果（）。

第三章误差的合成与分配

1、随机误差的合成方法：方和根。

2、系统误差的合成方法：代数和。

3、系统误差与随机误差的合成

（1）按极限误差合成

1）单次测量：

总；2）多次测量：

总

（随机误差具有抵偿性）

（2）按标准差合成

1）单次测量：；2）多次测量：

总

（随机误差具有抵偿性）

4、微小误差的取舍准则：对于随机误差和未定系统误差，被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3~1/10。

第四章测量不确定度

一、测量不确定度的基本概念

1、测量不确定度可用两种方法来评定：A类评定、B类评定。

（1）A类评定：用一系列观测数据的统计分析来评定；

（2）B类评定：基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定。

二、标准不确定度的评定

1、标准不确定度的A类评定

在其他X j（j≠i）保持不变的条件下，仅对X i进行n次等精度独立测量，用统计法由n个观测值求得单次测量标准差，则的标准不确定度的数值按下列情况分别确定：

（1）用单次测量值作为X i的估计值，则；

（2）用n次测量的平均值作为X i的估计值，则。

2、标准不确定度的B类评定

（1）测量估计值x受多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由所取置信概率P的分布区间半宽a与包含因子k p来估计标准不确定度，即。

（2）估计值x取自有关资料，所给出的测量不确定度U x为标准差的k倍时，则。

（3）已知估计值x落在区间（x-a，x+a）内的概率为1，且在区间内各处出现的机会相等，则x服从均匀分布，其标准不确定度为：。

（4）当估计值x受到两个独立且皆是具有均匀分布的因素影响，则x服从在区间（x-a，x+a）内的三角分布，其标准不确定度为：。

（5）当估计值x服从在区间（x-a，x+a）内的反正弦分布，则其标准不确定度为：。

3、自由度及其确定

（1）自由度概念

将不确定度计算表达式中总和包含的项数，减去各项之间存在的约束条件所得差值，用V表示；

意义：反映不确定度评定的质量。自由度越大，标准差越可信赖，不确定度评定质量越好。

（2）自由度的确定

1）标准不确定度A类评定的自由度

①用贝塞尔法计算的标准差，自由度为v=n-1

②别捷尔斯法、极差法、最大误差法

2）标准不确定度B类评定的自由度

其中，为评定u的标准差；为评定u的相对标准差。

三、测量不确定度的合成

1、展伸不确定度Y=y±U，U=ku c，k是包含因子，u c是合成标准不确定度，，k由t分布的临界值决

定，k=t p(v)，一般情况下可取k=2~3

2、不确定度的报告

用合成标准不确定度表示测量不确定度时，应给出合成标准不确定度u c及其自由度v；

用展伸不确定度表示测量不确定度时，应给出展伸不确定度U、合成标准不确定度u c、自由度v、置信概率P和包含因子k；

3、结果表示

例：假设报告的而被测量Y是标称值为100g的标准砝码，其测量的估计值y=100.02147g，对应的合成标准不确定度u c=0.35mg，自由度v=9，则测量结果可表示为：

a、y=100.02147g，u c=0.35mg，v=9

b、Y=100.02147(35)g，v=9

c、Y=100.02147(0.00035)g，v=9

d、Y=(100.02147±0.00035)g，v=9

报告中合成标准不确定度或展伸不确定度的有效数字不超过2位，不确定度的数值与被测量的估计值末位对齐

第五章最小二乘法处理（P109例5-1）

一、最小二乘原理

最可信赖值应在使残余误差平方和最小的条件下求得。

等精度测量时，最小

不等精度测量时，加权残余误差平方和最小

误差方程，

设有列向量，，，

其中：是n个直接测量结果；是t个待求的被测量的估计量；

是n个直接测量结果的残余误差；是n个误差方程的n t个系数。

可得线性测量参数的误差方程式表示为：

等精度测量时，残余误差平方和最小这一条件的矩阵形式为：最小或=最小

不等精度测量时，最小二乘原理的矩阵形式为：最小或=最小

二、正规方程

1、等精度线性测量参数最小二乘处理的正规方程

，又，正规方程可表示为，即，

令，则正规方程又可写为，若A的秩等于t，则矩阵C是满秩的，即，那么必定有唯一解为，。

解题步骤：列误差方程式；列出正规方程；解出待求估计量（解方程组或矩阵求解）；精度估计。

2、不等精度线性测量参数最小二乘处理的正规方程

，又，正规方程可表示为，即，则

令，则，。

三、精度估计

测量数据的精度估计

1、等精度测量数据的精度估计

2、不等精度测量数居的精度估计

四、组合测量的最小二乘处理

步骤：1）列出误差方程；2）矩阵形式求解的最佳估计值；3）代入误差方程求得测量数据的标准差；4）求不定乘数d ij；5）求出估计量的标准差。

其中不定乘数dij是矩阵C-1中的各元素，即；估计量对应的方差为

第六章回归分析（P139例6-1,2）

1、一元线性回归方程

其中，

2、一元线性回归方程的方差分析和显著性检验

（1）方差分析

其中，回归平方和：；

残余平方和：

如果总的离差平方和S是由N项组成，其自由度就是N-1，即，在一元线性回归问题中，，故。

（2）显著性检验（F检验法）

，对一元线性回归，

检验时，需查出F分布表中对三种不同显著水平a的数值，设记为，将F值与这三个数比较：1）若，则认为回归是高度显著的（或称在0.01水平上显著）；

2）若，则称回归是显著的（或称在0.05水平上显著）；

3）若，一般认为回归不显著的，此时y对x的线性关系不密切。

（3）残余方差与残余标准差

残余方差：

残余标准差：

残余标准差越小，回归直线的精度越高。

（4）方差分析表