二次函数面积问题类型总结
二次函数面积专题
知识导航：
1、求图形面积
2、面积最值
3、已知面积探寻其他问题
第一讲求图形面积
考点类型1.三角形面积求法：
特殊型：有一条边在坐标轴或者有一条边平行于坐标轴三角形面积主要分成两类：
普通型：三边均不平行于坐标轴
特殊型：直接选用平行于坐标轴或者在坐标轴的边为底及对应高进行计算
例1、(青海）如图，抛物线224
233
y x x =-++与坐标轴交点分别为(1,0)A -，(3,0)B ，(0,2)C ，
作直线BC ．点P 为抛物线上第一象限内一动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，设点P 的横坐标为(03)t t <<，求ABP ?的面积S 与t 的函数关系式；
1.补形法 一般型
2.铅锤法
3.面积转化法 1.补形法
2.割法之铅锤线法：公式：三角形面积=铅锤高×水平宽×
2
1
x B-x A
x B-x A
B
A
M
P
P
M
A
B
1
()
2
APB B A
S PM x x
=??-
△
3：面积转化法
转化法——借助平行线转化：
A
B 若S△ABP=S△ABQ，若S△ABP=S△ABQ，
当P，Q在AB同侧时，当P，Q在AB异侧时，
考点类型2：多边形面积求法
多边形面积：主要采用割补法进行计算
例1、若抛物线2
23y x x =--+的顶点为点D ，求四边形ABCD 的面积.
练习：
已知二次函数y=x 2-2x-3,图象如图所示，求四边形ACBD 及△BCD 的面积.
第二讲 面积最值问题
例1、如图，已知抛物线215
222
y x x =-
+-，与x 轴交于,A B 两点，交y 轴交于点C ．在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得DCA ?的面积最大？若存在，求出点D 的坐标及DCA ?面积的最大值；若不存在，请说明理由.
练习：1.如图1，在平面直角坐标系中，直线39
44
y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；
抛物线2339
424
y x x =-++过A ，B 两点，与x 轴交于另一点(1,0)C -，抛物线的顶点为D ，
在直线AB 上方的抛物线上有一动点E ，求出点E 到直线AB 的距离的最大值；
小结：三角形面积ABD 最大的时候，F 点坐标有什么特点：
2.如图，抛物线2
23y x x =--+与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ．
若动点P 在第二象限内的抛物线上，当四边形P ABC 的面积最大时，求四边形P ABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．
例2、如图，已知二次函数213
222
y x x =-++的图象经过()()()1,04,00,2A B C -、、三点．
点P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接P A 分别交BC 、y 轴于点E 、F ，若△PEB 、△CEF 的面积分别为S 1、S 2，求S 1﹣S 2的最大值．
第三讲 已知面积求其他问题
例1.已知二次函数y=x 2-2x-3,图象如图所示，在抛物线上求出所有点P 的坐标，使△PBD 的面积与△ABC 面积相等.
例2、抛物线2
23y x x =--+是否存在过点C 的直线把ABC ?面积分成2:1的两部分，若存在，求出直线解析式，若不存在，请说明理由？
x
y A
C
B
O
变式1、抛物线2
23y x x =--+上是否存在点P ，使PAB ?的面积等于BCD ?的面积的3
8倍，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
例3、如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ．如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ．OD 交BC 于点F ，当:3:2COF CDF S S ??=时，求点D 的坐标．
变式、已知抛物线228y x x =-++经过点(3,7)A --，(3,5)B ，顶点为点E ，抛物线的对称轴与直线AB 交于点C ．在抛物线上A ，E 两点之间的部分（不包含A ，E 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCE S S ??=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
例4、如图，已知抛物线215
222
y x x =-
+-，与x 轴交于,A B 两点，交y 轴交于点C ． （1）P 是抛物线上一点，且3ABP S ?=，求点P 的坐标.
（2）Q 是抛物线上一点，且2ACQ S ?=,求点Q 的坐标.
（3）在抛物线上是否存在异于A 、C 的点P ，使PAC ?中AC 25
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式、如图，在平面直角坐标系中，A 是抛物线2
12
y x =
上的一个动点，且点A 在第一象限内．AE ⊥y 轴于点E ，点B 坐标为（0,2），直线AB 交x 轴于点C ，点D 与点C 关于y 轴对称，直线DE 与AB 相交于点F ，连结BD ．设线段AE 的长为m ，△BED 的面积为
S ．
（1）当2m =时，求S 的值．（2）求S 关于m （2m ≠）的函数解析式．
（3）①若3S =时，求
AF BF 的值．②当2m >时，设AF
k BF
=，猜想k 与m 的数量关系并证明．