初中数学竞赛分式(含答案)

初中数学竞赛分式(含答案)

分式常常因为其复杂的结构使人望而生畏，成为考试中的难点。要解决有关分式的问题，就必须准确掌握分式的概念、分式的基本性质、分式的四则运算等知识。灵活的运用相关的方法是解决这类问题的唯一途径。例如，通过分析来例证，则可以使分式悄然变成考试中的亮点。

一般地，有A，B表示两个整式，则式子①B中含有字母，②B≠0.B有两点要求：①含有字母，②不为0.本讲主要讲述分

式的变形和求值的技巧。

例1已知a,b为整数，且满足（）（）。求a+b的值。先

把已知等式的左边化简，然后考虑求出a、b的值。得出

b2+a2b-aa2b2ab=4，而a,b为整数且不相等，故3b-2,3a-2只可

能取值1，4或-1，-4.不妨设b

的解为b=1,a=2.

例2已知a,b,c为非零实数，且。应设法由已知关系式找

出a、b、c之间的关系，然后再求值。解设，则三式相加得。

说明当已知条件以连比的形式出现时，可引进一个参数来表示这个连比，从而将条件分式转化为整式。

例3将分式化为部分分式。由于，和的分式的分子为。因为，则其中每个部分分式的分子应为常数。可利用待定系数法，设原式=，比较系数，得A=1，B=2，所以化为部分分式。

例4化简。先研究通项，解设，则比较系数,得A=1,B=-1，所以原式=……+的分解变形情况。(k=1,2,…1999).则。待定系

数法是化部分分式的常用方法。这种变形在有关分式计算等方面运用较多。

例5已知，求。由，得。的数值求出。的方法在运算中经常用到，希望同学们能熟练地掌握它们之间的关系。

例6求证无论a为什么整数，分式是不可约的。可先证明

公式，即。因为无论a为什么整数，有是不可约的。不可约。

说明对于某些非零代数式来说，从取倒数的角度来分析，有时可以揭示出一些内在的特征，从而找到解题的突破口。例如，对于求能被n+10整除的正整数n的最大值的问题，我们

可以将式子化简为n3+1000-900/(n+10)，然后观察这个式子的分母n+10，发现只要n+10整除900，就能使n+10整除，因此n的最大值为890.这说明，把整式部分分离出来，从而只考虑后面的分式部分的整除性，有利于简化问题。

练

A级

1.计算。

2.实数a,b满足ab=1，记M=a+b+(a-b)2，求M的值。

3.若，则。

4.将分式化为部分分式，则x+y+z=1/2.

B级

5.已知a、b、c为实数，且，则。

6.设，当x取任意实数时，则y的取值范围是1

7.若在关于x的恒等式中，为最简分式，且a>b。a+b=c，则N=-4.

8.已知四个互不相等的正数x,y,m,N中，x最小，n最大，且，则x+n>y+m。

参考答案或提示

1.略。

2.由ab=1可得a-b=1/a-1/b，代入M=a+b+(a-b)2得

M=2a2+2b2-2.

3.设，则，化简得。

4.设，则将分式化为部分分式得，因此x+y+z=1/2.

5.将分式化为部分分式得，因此。

6.由题得，因此1

7.比较系数得，解得a=2,b=-1,c=1，代入④得N=-4.

8.设，则x=ky。m=kn，代入x+n>y+m得(k-1)(y-n)>0，因为x最小，n最大，所以k>1，即k-1>0，因此y-n>0，即

x+n>y+m。