同角三角函数及诱导公式考点及经典例题突破
同角三角函数的基本关系及诱导公式
考纲解读 1.利用同角三角函数基本关系式进行sin α、cos α、tan α之间的转化与求值；2.利用诱导公式求三角函数值；3.利用诱导公式、同角三角函数基本关系式进行化简与求值．
[基础梳理]
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1. (2)商数关系：sin x cos x ＝tan x .
2．三角函数的诱导公式
[三基自测]
1．已知sin α＝
55，π
2
≤α≤π，则tan α＝( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12
答案：D
2．sin 210°cos 120°的值为( ) A.14 B ．－34
C ．－32
D.34
答案：A
3．(必修4·习题1.3B 组改编)cos ????－17π4－sin ????－17π
4的值是________． 答案：2
[考点例题]
考点一 同角三角函数关系的应用|方法突破
[例1] (1)已知sin θ＋cos θ＝4
3，θ∈????0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.
2
3
B ．－
23
C.13 D ．－13
(2)α是第二象限的角，化简：1－cos 4α－sin 4α
1－cos 6α－sin 6α＝__________.
(3)已知tan α＝－4
3
，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值．
[解析] (1)因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝16
9，所以
2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝2
9
.
又因为θ∈????0，π
4，所以sin θ 2 3 . (2)原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α (1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α ＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α) ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝2 3. (3)∵sin 2α＋cos 2α＝1，cos α≠0， ∴原式＝2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α－3 tan 2α＋1 ＝ 2×????－432＋??? ?－4 3－31＋??? ?－4 32＝－7 25 . 答案：(1)B (2)2 3 [方法提升] 同角三角函数基本关系式的应用技巧 [母题变式] 1．本例(3)条件不变，求sin αcos α的值． 解析：sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－43 16 9＋1＝－1225. 2．本例(1)条件不变，求tan θ的值． 解析：由题意得??? sin θ＋cos θ＝4 3 ， sin θ－cos θ＝－2 3 ， ∴??? ?? sin θ＝4－2 6，cos θ＝4＋2 6 ， ∴tan θ＝sin θcos θ＝4－24＋2＝9－42 7 . 考点二 诱导公式及应用|易错突破 [例2] (1)已知cos ????π6－α＝2 3，则sin ????α－2π3 ＝________. (2)sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值为__________． (3)若f (cos x )＝cos 2x ，求f (sin 15°)的值． [解析] (1)sin ????α－2π3＝sin ??? ?－π2－? ???π 6－α ＝－sin ??? ?π2＋????π6－α ＝－cos ????π6－α＝－23 . (2)原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝ 32×32＋12×1 2 ＋1＝2. (3)f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝cos(180°－30°)＝－cos 30°＝－3 2 . [答案] (1)－2 3 (2)2 [易错提醒] 一般地：任意角的三角函数 正角的三角函数 0°～360°角的三角函数 锐角的 三角函数 [母题变式] 1．若本例(1)中条件不变，求sin ????43π＋α的值． 解析：sin ????43π＋α＝sin ??? ?3 2π－? ???π6－α ＝－cos ????π6－α＝－23 . 2．若本例(3)中条件不变，求f (cos 15°)的值． 解析：f (cos 15°)＝cos 30°＝ 3 2 . 3．若本例(3)中条件不变，求f ? ???－sin π12＋f ????－cos π 12的值． 解析：f ????－sin π12＋f ? ???－cos π12 ＝f ????cos ????π2＋π12＋f ??? ?cos ????π－π12 ＝cos ????π＋π6＋cos ????2π－π6 ＝－cos π6＋cos π6 ＝0. 考点三 同角关系的诱导公式综合应用|模型突破 角度1 已知某角的三角函数值，求三角函数值 [例3] 已知tan α＝2，则cos(π＋α)·cos ????π2＋α的值为________． [解析] 依题意得cos(π＋α)cos ????π2＋α＝cos αsin α＝cos αsin αcos 2α＋sin 2α＝tan α1＋tan 2α＝2 5. [答案] 2 5 [模型解法] 角度2 三角函数式的化简与求值 [例4] (1)已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ????－31π 3的值为( ) A.1 2 B ．－13 C ．－12 D.13 (2)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝ 23????π 2 ＜α＜π，则sin α－cos α的值为__________． [解析] (1)∵f (α)＝sin α·cos α －cos αtan α ＝－cos α， ∴f ?? ? ? －31π3＝－cos ????－31π3 ＝－cos ????10π＋π 3 ＝－cos π3＝－1 2 . (2)由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23 ， 得sin α＋cos α＝ 2 3 ， 将式子两边平方得1＋2sin αcos α＝2 9， 故2sin αcos α＝－7 9 . ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－????－79＝169.又∵π 2＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＝4 3. [答案] (1)C (2)4 3 [模型解法] [高考类题] (2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知α∈????0，π2，tan α＝2，求cos ????α－π 4值． 解析：由题意得????? sin αcos α＝2sin 2α＋cos 2α＝1，α∈??? ?0，π 2. ∴sin α＝ 25，cos α＝15 . ∴cos ????α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×??? ?25＋15＝31010. [真题感悟] 1.[考点一](2014·高考新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0 D ．cos 2α>0 解析：由tan α>0，得k π<α 2(k ∈Z )，于是2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )，从而2α的终边 落在第一象限、第二象限或y 轴的正半轴上，所以sin 2α>0. 答案：A 2.[考点一、二](2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝35，则tan ????θ－π4＝__________. 解析：因为θ是第四象限角，且sin ????θ＋π4＝3 5， 所以θ＋π 4为第一象限角， 所以cos ????θ＋π4＝45 ， 所以tan ????θ－π4＝sin ??? ?θ－π 4cos ????θ－π4＝－cos ????π2＋????θ－π4sin ??? ?π2＋????θ－π4＝－cos ????θ＋π4sin ????θ＋π4＝－43. 答案：－4 3 3.[考点二](2016·高考四川卷)sin 750°＝__________. 解析：sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝1 2. 答案：12 4.[考点二、三](2015·高考四川卷)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是__________． 解析：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. ∴2sin αcos α－cos 2α ＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×(－2)－1 (－2)2＋1 ＝ －5 5 ＝－1. 答案：－1 求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用) 求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3 同角三角函数基本关系 1，平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； 2，商数关系：tan α＝α αcos sin 3，同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 题型一，同角间的计算 利用基本关系计算，开方时注意正负 1，若sin α＝45 ，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34 C ．±34 D ．±43 2，化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos160° B ．－cos160° C ．±cos160° D ．±|cos160°| 3，若cos α＝－817 ，则sin α＝________，tan α＝________ 4，若α是第四象限的角，tan α＝－512 ，则sin α等于( ) A.15 B ．－15 C.315 D ．－513 5，若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 6，计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240° ＝________。 7，已知8 1cos sin =?αα，则ααsin cos -的值等于（ ） A ．±34 B ．±23 C ．23 D ．－2 3 8，已知 2cos sin cos sin =-+θθθθ，求θθcos sin ?的值。 9，已知sin α·cos α＝ 81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 10，已知sin θ +cos θ=51,θ∈(0,π)，求值： （1）tan θ； （2）sin θ-cos θ；（3）sin 3θ+cos 3θ。 11，求证： ()x x x x x x x x cos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+。 三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα 高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义 图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式 3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
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