矩阵函数的性质及其应用

§7 矩阵函数的性质及其应用

一、矩阵函数的性质：设n n C B A ?∈. 1．

A e Ae e dt

d At At At

?== proof : 由 ()∑∑

?==∞

=m m m m At

A t m At m e

!1!

对任何t 收敛。因而可以逐项求导。

()∑∞=--=∴01!11m m

m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()???? ???=∑k At k A !1

A ?=()()()A e A At m A A t m At

m m m m m ?=????

? ??-=?-=∑∑∞

=∞=---01111!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=?

③．()()A

A A A

A A

B A B A B A B

A B A B A B

A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+=

proof ：①，由m m BA B A BA AB =?=

而∑∑∞

=∞==??

??=00!1!1m m m m m m At

B A t m B t A m B e

()∑∑∞

=∞

=?==00!1!1m m

m m m At m B BA t m At

e B ?=

②令()()A B t

At Bt C t e e e +--=??

由于

()0=t C dt

)(t C ∴为常数矩阵因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()(

当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@）特别地 A B -= 有E e e e A A =??-0

∴ 有 ()

A A

e e --=1

∴

同理有()

B B

e e --=1

代入（@）式因而有B A B A e e e ?=+ 3.利用绝对收敛级数的性质，可得 ①A i A e iA sin cos +=

()

iA iA

e e i

A e e A ---=

?21sin 2

1cos ②()()A A A A sin sin cos cos -=-=-

4.E A A =+22cos sin

()()A E A A

E A cos 2cos sin 2sin ππ+=+

A E i A e e =+π2

二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解 AX dt

dX = 其中()T

n n n x x x X C A ,,,21 =∈? 则有()K e t X At ?=，其中()

n k k k K ,,,21 =

1eg 解方程：?????????+=+-=+-=3

13212211

234x

x dt

dx x x dt

x x dt dx

解：原方程变为矩阵形式AX dt dX = ?

????

??--=201034011A ()T

x x x X 321,,=

由()()2

12--=-λλλA E 得????

? ??=→100110002J A

120

0000-?????

?=∴P e e e e P e t t

t t

????

? ??????? ?

?=∴-321120

)(k k k P e e e e P t X t t

t t

2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：

1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：

()

()????

?==T

n x x x X AX

dt dX

)0(,),0(),0(210 有唯一解)0(X e X At ?=

proof :实际上，由

AX dt

=的通解为K e t X At ?=)( 将初值)0(X 代入，得)0(X k =

)0(X e X At =∴

由1Th 可的定解问题()???

??==T

n t x t x t x t X AX dt dX

)(,),(),()(002010

的唯一解为()()

00)(t X e t X t t A ?=-

2eg 求定解问题：()()?????==T

x Ax

dt dx

1,00,???? ??--=1221A 的解

解：由

0=-A E λ 得i x 32,1±=

对应的特征向量记为：T

i ???? ??+=231,1α ???

??-=231,1i β 则，于是矩阵：???

? ??-+=2312311

i i

1330

0--????

? ???=∴P e e P e

it it

??????

??+=???? ??=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)(

练习：求微分方程组

1233

383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ?=+???=-+???=--??

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===的解。解：令

12330813

16,(),(0)120

51x A x t x x x ?????? ?????=-== ????? ?????--?

????

? 可求得3det()(1)I A λλ-=+，而A 的最小多项式2()(1)A m λλ=+。可设

01()g c c λλ=+，由

()()010111(1)1t

t t t

g c c e

c t e g c te c te ----??-=-==+????'-===???

01At e c I c A ∴=+14083162014t t t e t t t t -+?? ?= ? ?--??；)0(X e X At =∴112916t t e t t -+??

?= ? ?-??

3.一阶常系数非齐次方程组的定解问题：

()()?????=+==00

t x x t F Ax dt dx

t t 其中()()()()()T

t F t F t F t F ,,,21 = ()t F Ax dt

=- 两边同乘以At e -得：

()

()t F e x e dt

d At At

--= 从0t 到t 上积分得：()()ττd F e t x e t x e t

t AE At At ?---=-0

00)(

()

()()()τττd F e t x e

t x t

t t A t t A ?--+=∴0

00)(

3eg .求：非齐次微分方程组()()??

???=+=T x t F AX dt

1,0)0(的解：其中????

??-=3553A ()???

? ??=-0t e t F

解：由i A E 5302,1±=?=-λλ

对应特征向量为：?

???

??=i 1α ???? ??=1i β 得可逆矩阵???? ??=11i i P ???

? ??--=-11211

i i P

()()t

i i At

e t t t t P e e P e

3153535cos 5sin 5sin 5cos 00???? ??-=???

? ?

?=∴--+ ()????

? ??+???? ??=--t t A At d e e e t x 0

010)(ττ

τ τ

d e t t t t t t t t e t t e t

t t t 40335sin 5cos 5cos 5sin 5sin 5sin 5cos 5cos 5cos 5sin -????? ??+-++???? ??= 练习：求微分方程组

123

3214221t dx x x dt dx x x dt dx x x e dt ?=-++???=-++???=++-??

满足初始条件123(0)1,(0)1,(0)1x x x ===-的解。解：令

123210114

20,()2,(),(0)110

111t x A F t X t x X e x -???????? ???????=-=== ???????

???????--?

??????

? 可求得2det()(1)I A λλλ-=-。可设2012()g c c c λλλ=++，由

()()()0011

2012

011

11t g c c c t g c t c e t g c c c ?===???'===?????=--=++=?? 2012At e c I c A c A ∴=++1204120121

t t t t

t t

t t e e t e ??-

?=-+ ? ?+---?

；(0)At e X ∴112t t t t e -?? ?=- ? ?-??，

()A e F ττ-1201141202210121e e e e τ

τττττττ

ττ-??--????

?????=-=

?????

?????---+-????

?， 0

()220t

At A At t

t t e e F d e t t te t τττ-????????==????????-????

?。故：()()()0

1()01(1)t

A t At t X t e X e F d t e τττ-??

??∴=+=????-??

? 三、矩阵分析在求方程组最小二乘解等问题的应用。例4 设,(1,2,

,)m n m i i A R b R i k ?∈∈=，证明：(0)n x R ∈为函数：

()k

i i

i f x A x b ==-∑

的极小值点的充要条件是(0)n x R ∈为方程组

()k

T i i i i i i A A x A b ===∑∑

的解或方程组

1122k k A b A b x A b ????????????=????????????

* 的最小二乘解。证明：必要性：由于

1()()()k

T i i i i i f x A x b A x b ==--∑

()

k T T T T T T i i i i i i i i i x A A x x A b b A x b b ==--+∑

由于(0)x 为()f x 的极小点，则应有

(0)

(0)1(22)0k

T T i i i i x i df A A x A b dx

==-=∑

即 (0)11k k T T

i i i i i i A A x A b ==??= ???

∑∑

这就是说(0)

x 是方程组*的代数方程组1

()k

T i i i i i i A A x A b ===∑∑的解，也就是方程组

*的最小二乘解。

充分性：(0)x 是方程组*的最小二乘解，根据定义，它应该是函数()f x 的极小点。

练习：设,,,m n n k n k A R b R B R d R ??∈∈∈∈，且rankA n =，方程Bx d =有解，试求约束极小化问题

2min Bx d

Ax b =-

的解，也就是求函数2

2()i i f x A x b =-在约束Bx d =下的极小点和极小值。

解：引入Lagrange 乘子2k u R ∈，化成等价的无约束极值问题。令

2(,)2()T g x u Ax b u Bx d =-+- 若(0)(0)(,)x u 为(,)g x u 的极值点，则应有

(0)(0)(0)(0)(0)(0)(,)

(0)(,)

2220

2()0

T T T x u x u g A Ax A b B u x g Bx d u

?=-+=??=-=?

这说明极值点(0)(0)(,)x u 应满足方程

()()0

00T T T x A A B A b B d u ??????

=????????????

?? （*）

注意到222T d f A A dx

=为正定矩阵，故()0

x 必为()f x 的极小值点。

在方程（*）两边左乘矩阵1

()n T k I O B A A I -?

???-?

： ()()0110()()0T T T n n

T T k k I O I O x A A B A b B A A I B A A I B d u --??????

???=??????????--?

?????????

即 ()()0

110()()T T T T T T T x A A B A b

O B A A B d B A A A b u --??????=??????--??????

?? 解该方程组便得

()

()()

()

()()(1)

10010

1()()()()(()())

T T T T T T T u

B A A B

B A

A A b d x A A A b

B u f x f A A A b B u ----=-=-=-

其中()

(1)

()T

B A A B

-为1()T T B A A B -的{}1—逆。

注：关于线性系统的能控性与能观测性，同学们根据需要自己学习。

（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）