湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试数学试题

湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试数学

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合2{|320},{|124}x A x x x B x =-+≤=<<，则A

B =（ ）

A ．{|12}x x ≤≤

B ．{|12}x x <≤

C ．{|12}x x ≤<

D ．{|02}x x ≤< 2．已知a b c d ,,,

都是常数，,a b c d <<.若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则下列不等式正确的是（ ）

A ．a c d b <<<

B ．c a b d <<<

C ．a c b d <<<

D ．c d a b <<< 3．已知0.42x =，2lg 5y =，0.425z ??= ???

，则下列结论正确的是（ ） A ．x y z <<

B ．y z x <<

C ．z y x <<

D ．z x y <<

4．若实数a ，b 满足14a b

+=ab 的最小值为（ ）

A

B ．2

C ．

D ．4 5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数(1)e sin ()e 1

x x x f x =-+在区间ππ(-,)22

上的图象的大致形状是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

6．已知向量(2,1)a =，(0,)b m ，(2,4)c =，且()a b c -⊥，则实数m 的值为（ ） A ．4 B ．3

C ．2

D ．1 7．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若4PF FQ =，则QF =（ ）

A ．3

B ．52

C ．32

D ．32或52

8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方

法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕

大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）

A ．n -

B ．n -

C ．

D ．

二、多选题

9．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A ．(0,π)x ?∈，使得2sin sin x x

+= B ．命题:P x R ?∈，都有cos 1≤x ，则0:P x R ??∈，使得0cos 1x >

C ．函数()f x =()g x =

D ．若x 、y 、z 均为正实数，且3412x y z ==，(,1),()x y n n n N z

+∈+∈，则4n = 10．已知曲线C 的方程为22

1()26x y k R k k

+=∈--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4k =时，曲线C 为圆

B ．当0k =时，曲线

C 为双曲线，其渐近线方程为y =

C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件

D ．存在实数k 使得曲线C

11．已知函数cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x

x f x x x x 则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的值域是0,1

B ．()f x 是以π为最小正周期的周期函数

C ．()f x 在区间π,π2

上单调递增 D ．()f x 在0,2π上有2个零点

12．一副三角板由一块有一个内角为60?的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， 90,B F ∠=∠=?60,45,A D BC DE ∠=?∠=?=，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）

A ．直线BC ⊥面OFM

B ．A

C 与面OFM 所成的角为定值

C ．设面ABF 面MOF l =，则有l ∥AB

D ．三棱锥F COM -体积为定值.

三、填空题

13．设函数()ln ,1

1,1x x f x x x ≥?=-

，若()1f m >，则实数m 的取值范围是______．

14．已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2

n S =()2,n n N ≥∈，则数列{}n a 的通项公式为_________.

15．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα

+=____________. 16．在三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，5AC BD ==，4BC =，则此三棱锥外接球的表面积为______．

四、解答题

17．①在函数1π()sin()(0,||)22

f x x ω?ω?=+><的图像向右平移π12个单位长度得到()

g x 的图像，()g x 的图像关于原点对称， ②向量11(3sin

,cos ),(cos ,),02224m x x n x ωωωω==>，()f x m n =?； ③函数π1()cos sin()(0)2264f x x x ωωω=+->这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知_______，函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为

π2. （1）求π()6

f 的值；

（2）求函数()f x 在[0,π]上的单调递减区间.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18．如图所示，11AB C △，122C B C ，233C B C △均为边长为1的正三角形，点1C ，2C 在线段3AC 上，点()1

,2,10i P i =???在线段33B C 上，且满足311223103C P PP P P P B ， 连接2AB 、()1,2,,10i AP i =???，设1C A a ，11C B b =.

()1试用a ，b 表示1AP ，2AP ，3AP ；

()2求10

21

i i AB AP 的值.

19．已知数列{}n a 满足1(1)1(N*)n n na n a n +-+=∈，且11a =.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足2n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20．若锐角BC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若

3

2()cos )33

x f x C C x x =-++的图像在点(,())C c f c 处的切线与直线y x =垂直，求ABC 面积的最大值.

21．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在景区内铺设一条观光通道，由

,,AB BC CD 和DA 组成.

（1）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值；

（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在AOD ?中种植鲜花，在OCD ?中种植果树，在扇形COB 内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为2百万元/km 2，种植草坪利润为1百万元/km 2，则当θ为何值时总利润最大？

22．已知函数()x

f x xe =. （1）求()f x 的单调区间；

（2）若函数()()132ln m x g x x x m x e -=--，当x e ≥时，()0g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.

参考答案

1．C

【分析】

分别求出集合,A B ，然后取交集即可.

【详解】

由题意，2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，

{}022{|124}{|222}|0x x B x x x x =<<=<=<<<，

所以A B ={|12}x x ≤<.

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．B

【分析】

此题可转化为()()y

x a x b 与2020y =的交点的横坐标为,c d ，利用二次函数的图像即可得到.

【详解】

若()()()2020f x x a x b 的零点为,c d ，则()()y x a x b 与2020y =的交点的横坐标为,c d ，

令()()0y x a x b ，则()()y x a x b 与x 轴的交点的横坐标为,a b ， 如图所示，

其中c a b d <<<，

【点睛】

此题考零点的概念即利用图像比较大小，属于简单题.

3．B

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较x 、y 、z 三个数与0、1的大小关系，

由此可得出x 、y 、z 三个数的大小关系.

【详解】

0.40221x =>=，2lg lg105y =<=，0.40

21525z ??<= ??????=??，又0z >，即01z <<.

因此，y z x <<.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式和对数式的大小关系，一般利用中间值法来比较，属于基础题.

4．D

【分析】

利用基本不等式的性质即可得出结果.

【详解】

解：实数a ，b 满足14a b

+=,0a b >，

≥=可得4ab ≥. 当且仅当44a b ==时，等号成立，

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5．A

【分析】

先由函数的奇偶性确定部分选项，再通过特殊值得到答案.

因为()(1)e sin e s (1)in ()()e 1e 1

x x x x x x f x f x ----===++--， 所以()f x 在区间ππ(-,)22

上是偶函数，故排除B ，D ， 又11(1)e sin1(1)0e 1

f =->+， 故选：A

【点睛】

本题主要考查函数的性质确定函数的图象，属于基础题.

6．C

【分析】

由已知求得a b -，再由向量垂直的坐标表示列出方程，解之可得选项.

【详解】

由已知得(21)a b m -=-，，又()a b c -⊥，所以()22+140m ?-?=，解得2m =， 故选：C.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.

7．B

【分析】

设点()1,P t -，利用4PF FQ =求得点Q 的横坐标，利用抛物线的定义可求得QF .

【详解】

抛物线C 的焦点为()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.

设点()1,P t -、(),Q x y ，则()2,PF t =-，()1,FQ x y =-，

4PF FQ =，可得()412x -=，解得32x =

， 由抛物线的定义可得35122

QF =

+=. 故选：B.

本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点Q 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

8．C

【分析】

根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示.

【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，

四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，

所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，

因为11n n a a q -=

，所以=q

所以11=k k a a -? ?1

111=k n n a a a --?? ???1111=n k k n n n a a ----

?=.

故选：C.

【点睛】 本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.

9．BD

【分析】

由正弦函数的性质可得sin (0,1]x ∈，令sin t x =，再由对勾函数的单调性可判断A ；由全称命题的否定为特称命题，可判断B ；由两函数的定义域是否相同，对应关系是否相同进行判断C ；令3412x y z m ===，则3412log ,log ,log x m y m z m ===，则

3412log log lg lg lg12lg12lg12lg 4lg32log lg3lg 4lg lg3lg 4lg3lg 4m m x y m m z m m ??++==+=+=++ ???

，然后利用对数的性质可求出其范围，进而可判断D

【详解】

解：对于A ，由π()0,x ∈，可得sin (0,1]x ∈，令sin t x =，(0,1]t ∈，

2()f t t t =+在(0,1]上递减，可得()f t 的最小值为2(1)131

f =+=，所以A 错误； 对于B ，由全称命题的否定为特称命题，改量词否结论，所以B 正确； 对于C

，()f x =

{}1x x ≥

，()g x ={1x x ≤-或}1x ≥，

定义域不相同，所以两个函数不是同一个函数，所以C 错误；

对于D ，令3412x y z m ===，则3412log ,log ,log x m y m z m ===，

3412log log lg lg lg12lg12lg12lg 4lg32log lg3lg 4lg lg3lg 4lg3lg 4m m x y m m z m m ??++==+=+=++ ??? 32122log 2log 32

=++， 因为243256<

<5832<， 所以5

8333

log 3log 2log 3<<，所以35log 218<<， 因为89<

<3223<， 所以32222

log 2log 3log 4<<，所以23log 322<<， 所以32122log 2log 332

<+<， 所以321422log 2log 352<++<，即(4,5)x y z

+∈，所以D 正确， 故选：BD

【点睛】

此题考查命题的真假判断，考查推理能力和计算能力，属于中档题

10．AB

【分析】

根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意，曲线C 的方程为22

1()26x y k R k k

+=∈--，

对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为22

2x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径

的圆，所以是正确的；

对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22

162

y x -=，可得a b ==此时双曲线C

渐近线方程为y =，所以是正确的；

对于C 中，当曲线C 的方程为22

1()26x y k R k k

+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060

k k ->??-，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；

对于D 中，当曲线C 的方程为22

126x y k k

+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确.

故选：AB.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.

11．ACD

【分析】

采用数形结合，并逐一验证可得结果.

【详解】

根据题意，画出函数()f x 在[]0,2π的图象，如图所示

A. 根据图像可知，()f x 的值域是[]0,1，正确；

B. ()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，错误；

C. ()f x 在区间π,π2

上单调递增，正确； D. ()f x 在[)0,2π上有2个零点，正确；

故选：ACD.

【点睛】

本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.

12．ABC

【分析】

对于A ，利用线面垂直的判定定理即可解决；对于B ，C ，依托于选项A 即可较容易得到.点F 到平面COM 的距离不等确定，即可判断选项D .

【详解】

对于A ，由BC 中点O 与AC 中点M ，得//MO AB ,

90,B F ∠=∠=?得BC MO ⊥，

由BCF △为等腰直角三角形得BC FO ⊥，由MO FO O ?=，

MO FO ?，面OFM ，

得直线BC ⊥面OFM ，故A 正确；

对于B ，由A 得，AC 与面OFM 所成的角为C ∠，为定值30，故B 正确；

对于C ，由A 得，//MO AB ，故//AB 面OFM ，由AB

面ABF ，

面ABF 面MOF l =，所以l ∥AB ，故C 正确； 对于D ，COM 的面积为定值，

但三棱锥F COM -的高会随着F 点的位置移动而变化，

故D 错误.

故选：ABC.

【点睛】

此题考立体几何中关于线面垂直，线面角，线面平行的判定与性质，属于简单题.

13．()(),0,e -∞?+∞

【分析】

画出()ln ,1

1,1x x f x x x ≥?=-

的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e ，1），由()1f m >可得m 的取值范围.

【详解】

解：如图所示：

可得()ln ,1

1,1x x f x x x ≥?=-

的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e ，1）， 所以()1f m >，则实数m 的取值范围是()(),0,e -∞?+∞，

可得答案：()(),0,e -∞?+∞.

【点睛】

本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.

14．21n a n =-

【分析】

先由题干求出是以1为首项，公差为1的等差数列，并且求得2n S n =，进而写出数列{}n a 的通项公式.

【详解】 解：0n a >，∴0n S >，

当2n ≥时，由2n S =

=

1=.

∴是以1为首项，公差为1的等差数列.

∴()111n n =+-?=.

∴2n S n =.

∴当2n ≥时，()2

21121n n n a S S n n n -=-=--=-.

当1n =时，上式成立.

故数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.

故答案为：21n a n =-.

【点睛】

本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.

15．2020

【分析】

由条件求出tan α，化简待求式为tan α的形式即可求解.

【详解】 因为

1tan 20201tan αα

+=-， 解得2019tan 2021α=， 所以222222221cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα

+++=+=+---- 222019

1(1tan )1tan 2021=20202019

1tan 1tan 12021αααα+

++===---， 故答案为：2020

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.

16．50π

【分析】

由题可知此三棱锥外接球等价于长方体的外接球，即可求出球半径，进而求出表面积.

【详解】

由题可知AC BC CD 、、两两垂直，可以把三棱锥延伸至以AC BC CD 、、为长、宽、高的长方体中，

且3CD ==进而此三棱锥与该长方体共外接球，

通过长方体可

以求得外接球半径为（设外接球半径为R ，表面积为S ）：

2222(2)2516950R AC BC CD =++=++=，所以2450S R ππ==.

故答案为：50π.

【点睛】

本题考查三棱锥外接球问题，属于基础题.

17．（1）π1()62f =

；（2）π2,π63??????. 【分析】

(1)选择一个条件，转化条件得1()sin(2)26f x x π=

+，将6π代入即可得解； (2)令3222,262

k x k k Z π

π

πππ+≤+≤+∈,解得x 的取值范围后给k 赋值即可得解. 【详解】

（1）选择条件①：

依题意，()f x 相邻两对称轴之间距离为

π2

，则周期为π，从而2ω=， 从而1()sin(2)2

f x x ?=+，1π()sin(2)26

g x x ?=+-， 又()g x 的图像关于原点对称，则(0)0g =，由π||2?<知π6?=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62

f = 选择条件②： 依题意，31()sin cos cos 2224f x m n x x x ωωω=?=+

即有：11π()cos =sin()426

f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为

π2，则周期为π，从而2ω=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62

f = 选择条件③：

依题意，π1()cos sin()2264

f x x x ω

ω=+-

即有：11()cos cos )22224

f x x x x ω

ωω=+-

化简得：211()cos (cos )222224

f x x x x ωωω=+-

即有：11π()cos =sin()4426

f x x x x ωωω=++ 又因为()f x 相邻两对称轴之间距离为

π2，则周期为π，从而2ω=， 从而1π()sin(2)26f x x =+，π1()62

f = （2）1π()sin(2)26f x x =+，则其单调递减区间为ππ32π22ππ,262

k x k k Z +≤+≤+∈， 解得π2π,ππ,63x k k k Z ?

?∈++∈????，令0k =，得π2,π63x ??∈????

， 从而()f x 在[]0,π上的单调递减区间为π2,

π63??????. 【点睛】

本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了三角恒等变换的应用和向量数量积的坐标表示，属于中档题.

18．()111311AP a b =-+，22311AP a b =-+，33311

AP a b =-+；()245. 【分析】 ()1根据向量的加减的几何意义表示出1AP ，2AP ，3AP ；

()2以A 为坐标原点，1

AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，求出直线33B C 的方程，进而利用向量积求出

10

21i i AB AP 的值.

【详解】

()1由311223103

C P PP P P P B ===???=知， 311223103111

C P PP P P P B b ===???==

， 从而有：13311311AP AC C P a b =+=-+，

23322311

AP AC C P a b =+=-+

33333311AP AC C P a b =+=-+

()2以A 为坐标原点，1AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得232B ? ??

，

3522B ?? ? ???

，()33,0C ，直线33B C 的方程为)3y x =-.

设(),i i i P x y i i y +=. 即有2333932222

i

i i i i AB AP x y x y . 则

102145i i AB AP .

【点睛】

本题考查向量的数量积的运用，向量的加减的几何意义，考查转化的数学思想，属于中档题. 19．（1）21n a n =-；（2）2332n n n S +=-

. 【分析】

（1）由题意，左右同除(1)n n +得：

11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式；

（2）由（1）可得21n a n =-，代入可得212n n n b -=

，利用错位相减求和法，即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .

【详解】 （1）由1(1)1n n na n a +-+=，两边同时除以(1)n n +得：11111

n n a a n n n n +-=-++

从而有：11111n n a a n n n n --=---， ，2111122

a a -=-， 累加可得：1111n a a n n

-=-， 所以21(2)n a n n =-≥， 又=1n 满足等式，从而21n a n =-；

（2）212n n n b -=，23135212222n n n S -=+++???+， 所以有23+11132321+22222

n n n n n S --=++???+， 即有：23+11122221222222

n n n n S -=+++???+-， 所以2332n n

n S +=-

. 【点睛】

本题考查累加法求数列的通项、错位相减法求数列的前n 项和，若出现1()n n b b f n --=时（()f n 为关于n 的表达式），用累加法求通项；若出现1

()n n b f n b -=时，用累乘法求通项，本题难点在于根据条件，左右同除(1)n n +，构造11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，符合累加法的形式，即可进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属于中档题.

20

【分析】

求出函数()f x 的导数()'f x ，则根据题意可知()1f c '=-，可得2π4sin()406

c c C -++=，根据0?≥可求出π,23

C c ==，根据正弦定理表示出,a b ，将ABC 面积用关于角A 的三角函数表示出来，即可根据A 的范围求出最值.

【详解】

（1

）3

2()cos )33

x f x C C x x =-++

2()cos )3f x x C C x '=-++， 依题意，有：2π

()4sin()316

f c c c C '=-++=-

从而有：2π4sin()406

c c C -++= 由16sin()160,sin()166

C C ππ?=+-≥+≥， ππ7πsin()1,6666C C π∴+=<+<，π,23

C c == .

依正弦定理，有,πsin sin 3

a c a A A ==， 同理

2sin(π)3b A =-，

从而有：12sin sin(π)23ABC

S ab C A A ==-，ππ(,)62A ∈

21sin cos sin 322ABC S A A A ?=+???

2cos 2sin 3A A A ??=+?

?

21cos23A A ?=

+-?

π)6A =-+， 当π3A =

因此，ABC

.

【点睛】

本题考查导数和解三角形的综合应用，属于中档题.

21．（1）5km ；（2）π=

3

θ. 【分析】

（1）根据直径的长度和角度θ计算出,,BC CD AD 的长度，写出l 的函数解析式，注意定义域，判断θ取何值的时候l 有最大值并计算出最大值；

（2）将三个三角形的面积计算出来并求利润和的表示，利用导数去计算函数的最值，确定取等号时θ的取值.