微积分试题及答案
一、选择题(每题2分)
1、设x ?()定义域为(1,2),则lg x ?()的定义域为() A 、(0,lg2)
B 、(0,lg2]
C 、(10,100)
D 、(1,2)
2、x=-1是函数x ?()=()
22
1x x x x --的() A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求024
lim x x x
→-+等于()
A 、-1
4
B 、0
C 、1
D 、∞ 4、若1y x
x y
+=,求y '等于() A 、
22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x
x y
-- D 、22x y x y +-
5、曲线2
21x
y x =
-的渐近线条数为() A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
6、下列函数中,那个不是映射()
A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈
B 、221y x =-+
C 、2y x =
D 、ln y x = (0)x > 二、填空题(每题2分) 1、2
11x
+y=
的反函数为__________
2、、2(1))l i m ()1
x n x
f x f x nx →∞-=+设 (
,则 的间断点为__________
3、21lim
51x x bx a
x
→++=-已知常数 a 、b,,则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线,则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ,在点(,)的法线方程是__________ 三、判断题(每题2分)
1、2
2
1x y x =
+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim
β
βαα
=∞若,就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题(每题6分) 1、1sin x
y x
=求函数 的导数
2、21
()arctan ln(12
f x x x x dy =-+已知),求
3、2326x xy y y x y -+="已知,确定是的函数,求
4、20tan sin lim
sin x x x
x x
→-求
5、3
1)dx x x
+?计算( 6、2
1
lim (cos )x x x +
→计算 五、应用题
1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-(,总成本函数为
2()20050C x x x =++,问政府对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得利润最大的情况下,总税额最大?(8分)
2、描绘函数21
y x x
=+的图形(12分)
六、证明题(每题6分)
1、用极限的定义证明:设01lim (),lim
()x x f x A f A x
+→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间()内有且仅有一个实数
一、 选择题
1、C
2、C
3、A
4、B
5、D
6、B 二、填空题
1、0x =
2、6,7a b ==-
3、18
4、3
5、20x y +-= 三、判断题
1、√
2、×
3、√
4、×
5、× 四、计算题 1、
1sin
1
sin
1sin ln 1
sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )
x
x
x x
x x
y x e
e x x x x x x x x x x x
'='='
?
?=-+???
?=-+((
2、
22
()112(arctan )121arctan dy f x dx
x
x x dx x x
xdx
='=+-++= 3、 解:
2
22
2)2)22230
2323(23)(23(22)(26)
(23x y xy y y x y
y x y y x y x y yy y x y
--'+'=-∴'=--'----'∴''=
-
4、
解:
2
223000tan sin ,1cos 2
1tan (1cos )12lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x →→→--∴==
当时,原式=
5、
解:
6652
3
22
22
2
66
,61)6111611
6(1)166arctan 66arctan
x x t dx t t
t t t t t t
t t C x x C
===
+=++-=+=-+=-+=-+??
?
?令t=原式(
6、 解:
2
2
01
ln cos 0
1lim
ln cos 2
02
0001
2
lim 1
lim ln cos ln cos lim 1
(sin )
cos lim 2tan 1
lim 22x x
x x x
x x x x x e e
x
x x
x x x x
x x e
+
+
→+
++
+→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中:
原式
五、应用题
1、解:设每件商品征收的货物税为a ,利润为()L x
222()()()100(20050)2(50)200
()45050()0,,()4(50)
4
1
(502)
4
1
0250
2
25L x R x C x ax
x x x x ax x a x L x x a
a
L x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-=
'=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时,T 取得最大值
2、 解:
()()2
33
00,01
2102
2201
D x y x x y x y x y x =-∞?+∞='=-
'==''=+
''==-,间断点为令则令则
x
(,1)-∞-
1-
(1,0)-
0 310,2?? ??
?
31
2 31
(,)2
+∞ y ' - - -
-
0 + y '' + 0 -
+ + + y
↘
拐点
↘
无定义
↘
极值点
↗
渐进线:
3
2lim lim 001
lim x x x y y y x y y x y x x
→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线
是的铅直渐近线无斜渐近线
图象
六、证明题
1、 证明:
lim ()0,0
()11101
()1
lim ()x x f x A
M x M f x A x M
M M x f A x f A x
εε
ξε
→∞
→∞=∴?>?>>-<><<>∴-<= 当时,有取=,则当0时,有即
2、 证明:
[]()1
()0,1(0)10,(1)10
0,1()0,1()(1)0,(0,1)()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴- 令在()上连续由零点定理:至少存在一个(),使得即又则在上单调递增
方程在()内有且仅有一个实根
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续,则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=,则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =,则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ,则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(,则=)(x f 。 二、单项选择(每小题2分,共10分) 1. 设x x f ln )(=,2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是( ) (A )()+∞-,2 (B )[)+∞-,2 (C )()2,-∞- (D )(]2,-∞- 2. 当0→x 时,下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是( ) (A )x sin (B )2 x x + (C )3x (D )x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的( ) (A )必要条件 (B )充分条件 (C )充分必要条件 (D )无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a , 上二次可微,且0)()(>'-''x f x f x ,则x x f ) ('在区间)0(a ,内是( ) (A )不增的 (B )不减的 (C )单调增加的 (D )单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(,则=-?x x xf d )1(2 。 (A )C x +-2 2)1(2 (B )C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3分)定积分22 π π-?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 20 1 lim sin x x x →= . 4. (3分) 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. (6分)设2 ,1 y x =+求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数,g (x)是减函数 Bf (x)是减函数,g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时,e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值,则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为: X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解:原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(, X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值,则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解:原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八] 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0定积分及微积分基本定理练习题及答案