5.4.2第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册练习

第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值

分层演练综合提升

A级基础巩固

1.使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为()

A.{x|x=2kπ+π,k∈Z}

B.{x|x=2kπ,k∈Z}

C.x x=2kπ+π

2

,k∈Z

D.x x=2kπ-π

2

,k∈Z

答案:B

2.已知函数y=cos x在区间(a,b)上是增函数,则y=cos x在区间(-b,-a)上是()

A.增函数

B.减函数

C.增函数或减函数

D.以上都不对

答案:B

3.下列函数中,周期为π,且在区间[π

4,π

2

]上为减函数的是()

A.y=sin(2x+π

2) B.y=cos(2x+π

2

)

C.y=sin(x+π

2) D.y=cos(x+π

2

)

答案:A

4.比较下列各组数的大小: (1)cos 150°与cos 170°;

(2)sin π

5与sin(-7

5

π).

解:(1)因为90°<150°<170°<180°,且函数y=cos x在区间[π

2

,π]上是减函数,所以cos 150°>cos 170°.

(2)sin(-7

5π)=sin(-2π+3π

5

)=sin 3π

5

=sin(π-2π

5

)=sin 2π

5

.

因为0<π

5<2π

5

<π

2

,且函数y=sin x在区间[0,π

2

]上是增函数,所以sin

π5

5

,

即sin π

5

5

π).

5.已知函数f(x)=2cos(3x+π

4

).

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.

解:(1)令-π+2kπ≤3x+π

4

≤2kπ,k∈Z,

可得-5π

12

+2

3

kπ≤x≤-π

12

+2

3

kπ,k∈Z,

故f(x)的单调递增区间是[-5π

12

+2

3

kπ,-π

12

+2

3

kπ](k∈Z).

(2)当3x +π

4

=-π+2k π,k ∈Z,

即x =-5π12+2

3

k π(k ∈Z)时,

f (x )取得最小值为-2.

B 级 能力提升

6.函数f (x )=1

5

sin(x +π

3

)+cos(x -π

6

)的最大值为 ( )

A.65

B.1

C.35

D.1

5

解析:因为cos(x -π6

)=cos[π2

-(x +π

3

)]=

Sin(x +π3

),所以f (x )=15

sin(x +π3

)+sin(x +π3

)=65

sin(x +π

3

),所以函数的最大

值为6

5

.

答案:A

7.若函数f (x )=3sin(ωx +φ)对任意的x 都有f (π

3

+x )=f (π

3

-x ),则f (π

3

)等

于 ( )

A.3或0

B.-3或0

C.0

D.-3或3

解析:因为f (π3

+x )=f (π3

-x ),所以f (x )关于直线x =π3

对称.所以f (π3

)应取得最大值或最小值,即

F (π

3

)=3或f (π

3

)=-3.

答案:D

8.求下列函数的值域.

(1)y=2sin(2x+π

3),x∈[-π

6

,π

6

];

(2)f(x)=1-2sin2x+2cos x.

解:(1)因为-π

6≤x≤π

6

,所以0≤2x+π

3

≤2π

3

,

所以0≤sin(2x+π

3)≤1,所以0≤2sin(2x+π

3

)≤2,

所以原函数的值域为[0,2].

(2)f(x)=1-2sin2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=

2(cos x +1

2)2-3

2

,

所以当cos x=-1

2时,f(x)min=-3

2

,当cos x=1时,

f(x)max=3,所以该函数值域为[-3

2

,3].

C级挑战创新

9y=sin(x-π

2

),x∈R在()

A.区间-π

2,π

2

上是增函数

B.区间π

2

,π上是增函数

C.区间[-π,0]上是减函数

D.区间[-π,π]上是减函数

解析:函数y=sin(x-π

2)=-sin(π

2

-x)=-cos x.

在区间[-π2,π

2

]上不是单调函数,故选项A 错误;

在区间[π

2

,π]上是增函数,故选项B 正确;

在区间[-π,0]上是减函数,故选项C 正确; 在区间[-π,π]上不是单调函数,故选项D 错误. 故选B 、C. 答案:BC

10.多空题已知函数f (x )=2sin ωx (0<ω<1).若f (x )在区间0,π

3上的

最大值是√2,则ω=34

;若f (x )在区间0,π

3

上单调递增,则ω的取值范围

是0<ω<1.

解析:因为x ∈[0,π

3

],即0≤x ≤π

3

,且0<ω<1,所以0≤ωx ≤

ωπ3

<π3

.因为

f (x )max =2sin

ωπ3

=√2,所以sin

ωπ3=√22,ωπ3=π4

,即ω=3

4.

由2k π-π

2

≤ωx ≤2k π+π2

,k ∈Z,得

2kπω

-π2ω

≤x ≤

2kπ

ω

+π

2ω

,k ∈Z .令k =0,得

-π

2ω

≤x ≤π

2ω

,即f (x )在区间[-π

2ω,π2ω

]上单调递增.又因为f (x )在区间[0,π3

]上单调递增,所以π

3≤π

2ω,即0<ω≤32

.所以ω的取值范围是0<ω<1.