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最新高等数学上册典型例题精选集合
第一章函数
[0 丄)5：,+oo)。 2 2
例2已知于(兀),求于[/(兀)]的定义域。
1 + X
故所求定义域为兀H —1,兀H -2的全体实数。 例3求函数y = ln 吐竺的定义域°
a-bx
解：解不等式凹￡ > 0,当°,〃同号时吐工> 0的解为| x\<^
a-bx a-bx
b
当a"异号时兰丈竺〉0的解为| x |<-￡?
a-bx b
故所求的定义域为:|x|<|y|.
b
例4设f (x) = x, g(x) = y[x^ ,问f(x)和g(x)是否表示同一函数？ 解：值域不同。当xvO 时，对应规律不同，故为不同的函数。
Y~ — 1 一
例5设/(x) = ---------- ，g(x) = x + 1，问f(x)和g(x)是否表示同一函数？
x-\
解：定义域不同，故表示不同的函数。
例6证明；若函数丿=/(x),(-oo,-|-oo)的图形关于直线x=a 和x 二b (b>a)
例1求函数/(x)
亦+1的定义域。 | X | +兀—1
解:
2x>0
| x| +兀一1 工 0 ,解之得5呜，即定义域为:
解：由W 右，得心讣世
1 x + l
------ =■ 二,
1 X +
2 1 + - ---- 1 + x
对称，则f(x)为周期函数。
证明：由于函数y 二f(x)关于直线x=a 对称，因此，对于任意的x 皆有
/(兀)=f\a + S 一 x)l = f(2a 一 兀)，
又函数y 二f(X )关于直线X=b 对称，因此有
f(2a -x) = f[h + (/? - 2^z + x)] = /([x+ 2(b - a)],
可知，对于任意的x 皆有/(x) = /fx + 2(Z>-a)],B 卩f(x)是以2(b ?a)为周 期的函数。
例7设f(x)是以正数G 为周期的周期函数，且已知当0 vxSa 时， f(x) = x\试求周期函数/(X ).
解：设兀=u + na,其中 u w (O,aJ,xe (na,(w4-l)a],(n = 0,±1,±2,…) 由周期函数的定义得/(x) = /(u),u = x-na,且/(?) = 于是得
/(x) = (x-(〃0,(川 + 1)4],(川=0,±1,±2,…)
例8已知定义在[0,4]上的函数/(兀)= 3",先把它延拓到卜4,0],使它成为 偶函数，然后再把已延拓到卜4,4]上的函数延拓到整个实数轴上，使其成为 以8位周期的函数。
解：由题设，由偶函数的定义，延拓到卜4,4]上的偶函数是
其次,因周期是&故由条件g(x) =
g(x-8k),ke Z,知, 当8* h(x) = g(x - 8k) = 3x ~sk , 而当 8k-4 h(x) = g(x-8k) = 3~(x -8k), 3X 3 一' 0 g (x) = 1 \ x x < 0 f(x)=-(x+\x\\g(x) = < 2 求 /[g (X )]。 2 [x^ x>0 解： x<0 x>0 例10已知/G)当x>0时的表达式为e x -\,试确定/(兀)当XV 0时的 表达式，使它在(-8,+°°)内： (1)为奇函数。 (2)为偶函数。 解：(1)由奇函数的定义：/(x) = -/(-x),当xvO 时，—x>0,于是 /(X )= -/(-X )=—(旷大—1)=—厂 +10 (2)rh 偶函数的定义：/(X )= /(-X ),当XV0时，-X>o,于是 /(兀)=/(一兀)=厂 一1。 \2x 0 例 11 设 /(x) = \ g(x) = \nx.0 [x^ 1 < x < 2 ( nx-8* 3- 8* 8k-4 ftg(x)] = l : [gM g(x) vO gW>0 x<0 x>0 解：因为B] ={x|0 2In x xe [l,e] n (0,g) J21n x xe [l.e] In" x XG O,w]c(0,+oo) hr x xe (e.e^] 例 12设/(X )= y |x '":验证f{f[/M]} = i. 0 |X|>1 解：由题设，对任意的x, 0 解：首先写出以f(x)为自变量的函数g[f(x)].得 由 f(x)的定义域知，兀》0 时，/(x) = -x < O,x /V(x)]，g[g(x)] J[g(QLg[/(x)]? 例13设函数g(x) = \ x + 2 x<0 x > 0 g[f(x)] = 2-mo /(x) + 2 x<0 x>Q" 入得 g[/(x)] = 2+ x x 2 +2 x>0 x<0" x<0 x<0 ，求 "<：求&[子(兀)]? x > 0 ,/(x) = W： g[g(x)]= -rw g(x) < 0 g(X)> 0 =O.(v Vx, g(x) < 0) 0 g(") g(x) < 0 g(AT)> =.0 (??? Vx,g(x) < 0) g[f(x)] = < -/2W f( x) < 0 J 0 f(x)>0~\-x2 x<0 x >0 =gM. 又解：当x < 0时，g(x) = 0,从而 /[/(X)] = /(O) = 0;g[g(x)] = g(O) = 0; f\ g(兀)1 = /(o)= 0; g\/(x)] = g(0) = 0 当兀 > 0时，/(x) = x,g(x) = -x2,从而 = /(x) = x; g[g(x)] = g(-x2) = 0; = /(-x2) = 0; g[/(x)] = g(x) = -x2. 综上所述得同上结果。 X X < 1 例15求函数y = lx2 l 2X 4 解：由丁 = X,—oo V 兀V 1 得兀=”一8 < J < 1 由y = x2,l < x < 4的兀二J7，l < j < 16, 由y = 2X,4 < x < 得兀=logo ,16 < y < +8. 综上所述得其反函数为 X X < 1 y = < Vx 1 < x < 16. logj 16 < x 例16证明：若函数j = /(x),(-oo 证明：因为y = /(x),(-oo < x < +oo)的图形关于点A(a,j())对称，所以 /(2a-x) = 2j0-/(x) (1) 又由于y = /(x),(-oo < x < +oo)的图形关于点B(b9y})对称,则由点(2?-x,2j0-/(x))及(1)式推得 f[x^2(b-a)] = 2y} -[2j0 -/(x)] (2) 设/(兀)=￡(兀)+三二色工，⑶ b-a 下面证明g(x)是以2(b-a)为周期的函数。 因为gM = f(x)-y,~y° x,根据(2)式得 b-a g[x + 2(b-a)] = /[x4-2(b -a)]-牛主“ + 2(b-a)] b-a =2丿1 一2几 + /(工)一~ 兀一2(丿]一Jo) b-a =fM一y() x = g(x). b-a 由此可见g(Q是以2(*-a)为周期的函数，根据(3)即知函数/(x)是 线性函数与周期函数的和。 特别地，y0 =时，/(x) = g(x)是周期函数。 例17容器屮装有A,B,C三个阀，在每分钟内，A,B分别流入20升、25升水，C流出80升水，若A开放5分钟后开放B,B开放10分钟后开放C, 求容器中水量与吋间t的函数关系，并绘11!它的图形。 解：设阀门A开放t分钟末时容器中的水量为y,则得 20/ 0 20x5 + (20 + 25)(/ -5) 5 丿=< 100 + 45x10 + (45 —80)(/ —15) 15 0 20/ 45/-125) 5<^<15 J = 1-35/+ 1075) 15 0 Z>30- 7 第二章极限与连续 例1 对于数列{兀“},若x2jt_1t a,(k t oo), x2k t a,(k t 8)，证明 无“ T Cl, (/7 T 8) 证明：X/￡>0, 因为TQ,仗TOO),所以存在正整数K「当k>K x时，有 I x2k_} -a\<￡(1) 因为X2k T ci,伙TOO),所以存在正整数K2，当k>K2时，有 | x2k - a \<￡(2) 取N = max{2K|-1,2心},则当斤>N时，(1)、(2)同时成立。 若处{2k — l}/>Nn2K]-l>K], -a\ 若 fiw {2k},n > N > 2K2 > K2, \x n—a \ 所以\/￡ > 0, MN,当n> N时，|兀〃-G |v ￡成立， 由定义得X ri Td,(/2—>g)。 例2 设X],X2,??-是使不等式0 V 兀“ V 1,(1-％)x“+] >*,(〃二1,2,…)成立的任何实数，证明：lim x n =—? “TOO " 2 证明：因为/?,x(l-x) < 一，因此(l-x H)x M <(l-x n)x w+1,又由 4 x n v 1知，1 - x n > 0,所以x n <兀“+|,故数列{兀”}单调递增维向量有上界1,故lim x n存在。设lim x n =a，则rtl (1 - x n)x n+i >丄知,a必满/1T8 〃T8 4 足(\-a)a ?丄，于是必有a = —,B|J limx H =—? 4 2 2 v Iwx] 仮ij 3 lim- --- . “Too n 解:因为磁一1 v [赵]< nx,即x--< 回 < 工，由夹逼定理可得 n n i ?[nx] lim ----- 二 x. /1T8 If 解：因为 nl< 工 p!< (n - 2)(n - 2)!+(T ? -1 )!+/:!< 2(〃-1)!+〃!, p=l 例5利用定义证明limVx + 4=3o 兀T 5 证明：任给￡>0,因为 (—4 < x < +g) 要使|血一32只要号“，即A5Z 就可。 故取6 = 3E ,当Ov|x —5|v 》时，|Jx + 4—3|V￡成立。 所以 lim 厶 + 4 = 3 XT 5 lim 71T8 PT nl ZP! PT nl 25-1)!门 n\ lim “Too /I 2>! nl 1. |厶 + 4-3| 二 (J 兀 + 4 + 3)(J 兀 + 4 — 3) 丨兀-5| J x + 4 + 3 丿兀-5| 例6 设 /(%)= ，问Q取何值时，lim/(x)存在? x + a x<0x->° 解：因 lim f(x) = lim(x + a) = a , lim f(x) = lim((? v +1) = 2 , XT O~ X ->0~ 入 T O* XT O* 故当 ci = 2 时，lim f(x) = lim f(x),即 lim f(x)存在。 XT ()- XT O' XTO 例7设lim(fct + b -丄二’)= 0,求常数R 和b 。 XTs X + 1 按有理分式当XTOO 时的计算公式，若要上式右端的极限为零，必须分 子 中的X 3,%2的系数为零，故k = l,b = O 。 X +1 ) 例8设lim( ---------- ax-b) = -y 求常数a"的值。 心8兀+1 2 兀+1 ? 解：lim( ---------- ax-b) = lim(x-ld --------------- ax-b) xT8 x+1 — 1 + X =lim[（l 一 a ）x -\_b ------ ] XT8 1 + x 要使上述极限等于丄，必需且只需1 一a 二0-1-b = -.H 卩a 二l,b 二一。 2 2 2 例 9 已知lim "、+"" + 〃 =2,求a,b° XT2 x 2 -x-2 + z7 V + h 解：因为limU 2-x-2) = 0且lim — ---------------- = 2,存在，所以 XT2 XT 2 X - -X -2 lim(x 2 + ar + b) = 0,即 4 + 2a + b = 0 (A) XT 2 x 1 + ax+ b (x-2)(x + 2 + a) 兀 + 2 + a 4 +a 又2 = lim --- --------- = lim --------------------- = lim ------------ = ------- XT 2 X 2 -X -2 22 (x - 2)(兀 +1) 兀 T 2 % +1 3 +1 解：因为lim (也+ b ——) XT8 兀厶+1 恤伙一1)/+加2+也+ — 1 XT8 + 1 得a = 2,代入(A)得b = -S.故得a = 2,b = -S 解：因为 例10己知lim XT8 兀 + c 、 x =4(c 工 0),求 c 。 n-c 丿 lim JVT8 "兀+cY lim(^^￡ YT8 X -C )x = lim (1 + 2c 上匚）云 x-c 丿 x-c =e 2c = 4 所以 c=ln2 解：令+ 则当XT 0时，fTl 。 Jx +1 — 1 十 — 1 [? /?+/ + ] 3 lim —T =— = lim — -------- = lim ------------ =— “TO "兀+ 1—1 —I 厂 _i 3 r + 1 2 例12求亦長一罷+ R XT/ 解：lim 仮一严+曲 ?TTa+ ? / “2 一 八 2 x-a I ------------------------ I — ------ -j= + A / 兀一d lim 七+也 J(X + d)(X-d) x —> a y!x-a *] = lim 低+丽二 XT" Jx + Cl .. y[x -4a +y/x-a lim ------- 1 --------- XT/ ./□ Z? 4x-4a y/x-a lim / ? + lim , ? j Vx 2 -a 2 5 x 2 -a 2 x-a lim ____ "T" (V^ + V^) v 兀彳—a =+ lim / 入"Qx + a =lim —y= 7=―/+ lim / = (心++ Q 2/ Qx + a 2 cos v x c 例13设/(x) = \ f ~ ,其中0c是已知常数，问: \ ax+ b x> c (1) 当cHO时，应选G为何值，使/(x)为连续函数? (2) 若c = 0 ,则a,b应为何值，/(x)为连续函数? 解：(1) a 2cosc-b C (2) b'=2卫为任意值。 x3-l 例14求函数/(%)= 兀’的连续区间、间断点及其类型。A, x=\. 乂3 _i 解：T lim/(x) = lim- ---------- = lim(x2 +x + 1) = 3, XTl XT1 X~\ XTl A = 3时，lim/(x) = /(l), x->l F-l 从而/(X)在兀=1处连续。又因为兀Hl时，/(X)=-—为有理分式， x-\ 在(―,1)及(1,+8)内连续。所以当A = 3时，/(兀)的连续区I'可为(_oo,+oo)； 当AH3时，v lim /(x) f(x)在兀=1处间断，连续区间为 XT】 (—00,1)及(l,+oo)。X = 1为可去间断点。 (分段函数的分段点是函数可能的间断点) 的连续区间。 例"函数畑(—2) 解:定义域为(-00,1)U(1,2)0(2,+oo),即XH1,2.为无穷间断点，故函数的连续区间为:(-00,1) > (1,2)、(2,+oo). (初等函数的连续区间就是有定义的区间) 例16求极限limx[丄]. ”T° X 解：因为—lv[——, X X X 当x>0 时,有1 - x < x[—] < 1, lim x[—] = 1 x XTO*x 当x<0 时,lim x[—] = 1 x 所以limx[丄]=1. "TO X 又解:因为兀[丄]=x[--(-)],(丄)为丄的小数部分，取极限即得。 X 兀兀X X 例17设/(x) = sin-,证明对于满足条件-1 X 序列x n T 0,(n = 1,2,…),使lim /(x n) = a. 〃T8 o §彳，即有sin"。 Jl 解：Va G [-1,1],令兀。=arcsina, -------- < x 令七=- ---------- "=12…)显然有七T O"=12…),并且 + x0 =sin — = sin(2 兀龙+ x0) = sin x0 = a. 兀 “ 因此有\imf(x n) = a. 〃T8 例18设/(兀)在[a,b]±连续,且f(a) < a, f(b) > b,证明至少存在一点ce [a.h],使/(c) = c 0 证明：设F(x) = f(x) - x , 例17己知函数f(x)在[0,1]±非负连续，且f(O)=f(l)=O…则对任一实数 Z,(0 v Z v 1),必有实数c, (0 5 c 5 1),使/(c) = /(c + Z). 证明：作函数F(x) = /(x)-/(x + Z),则 F(0) = /(0) - /(/) <0F(l-Z) = /(0) - /(I) = /(1-/)>0 若F(0) = 0,则c=0即为所求，若F(l-Z) = 0,则c = 1 一2即为所求。 若F(0)H0,F(l —/)工0,则F(0)v0,F(l — /)>0,对连续函数F(x),由介值定理，存在0vcvl — Zvl,使F(c) = /(c) — /(c + 2) = 0,即 存在ce[0,l-Z],使/(c) = /(c + 2). 例18设函数f(x)在[a,b]上连续，且f(a) = f(b),证明一定存在长度为耳的区间[。,0] u [?,&],使f(a) =/(/?),即在区间S,字]上一定存在C,使/(c) = /(c+ ~ ). b — a 证明：令F(x) = /(x)- /(x + ------------- ).对F(x)用介值定理即可。 2 例19设n为自然数，函数f(x)是[0,n]上的连续函数，且f(0)=f(n),则一定存在a,a + lw [0刖,使子(a) = /(a + 1). 证明：令g(x) = f(x +1) - /(x),则g(x)是[0,n?l]上的连续函数,且 JI-1 i>(Q=m)-/(o)=o, k=() 记M(g)= max [g(x几加(g)= min [g(兀儿则 0 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常 见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ） 关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 高数练习题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞ →21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞→2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、e n n n =?? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12) 2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+ 与0 lim ()x x f x →- 存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 0) (x e .A x 1-→ 0) (x x 1 sin .B → )3 (x 9x 3x .C 2→-- )1x (x ln .D → 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） e x 11lim .A x 0x =??? ??+→ 1x 1sin x lim .B x =∞→ 1x 1sin x lim .C 0x =→ 1x x sin lim .D x =∞→ 19、下列极限计算正确的是（ ） 1x x sin lim .A x =∞→ e x 11lim .B x 0x =??? ??+→ 5126x x 8x lim .C 232x =-+-→ 1x x lim .D 0x =→ A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1 lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 则下列结论正确的是 设 高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数 上册练习题 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt = -? ，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ()( , )(2)( )(1 =+=? x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且 设 （A ）2 2x （B ）2 2 2 x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 )31(lim . 6. , )(cos 的一个原函数 是已知 x f x x = ? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 22 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 121 2 2 11 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. . d ) 1(17 7x x x x ? +-求 高等数学上册试题B 一、单项选择题（下面每道题目中有且仅有一个答案正确，将所选答案填入题后括号内。共24分） 1．（3分）设()x f 的定义域为[]1,0，()x f ln 的定义域为（ ） Ａ．[]1,0 Ｂ．()2,0 Ｃ．[]e ,1 Ｄ．()1,0 2．（3分）设()x x x f =，()2 2x x =?，则()[]x f ?是（ ） Ａ．x x 2 Ｂ．22x Ｃ．x x 22 Ｄ．x x 2 3．（3分）在区间()+∞∞-,内，函数()() 1lg 2 ++=x x x f 是（ ） Ａ．周期函数 Ｂ．有界函数 Ｃ．奇函数 Ｄ．偶函数 4．（3分） ()??? ??=≠=0,0,2tan x a x x x x f ，当a 为何值时，()x f 在0=x 处连续（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．0 Ｄ．4- 5．（3分）设 ()()???? ?=≠+=0,0,11 x x x x f x α，要使()x f 在0=x 处连续，则=α（ ） Ａ．0 Ｂ．0 Ｃ．e Ｄ．e 1 6．（3分）函数1+=x y 在0=x 处满足条件（ ） Ａ．连续但不可导 Ｂ．可导但不连续 Ｃ．不连续也不可导 Ｄ．既连续已可导 7．（3分）已知()()()()()d x c x b x a x x f ----=且()()()()d c b c a c k f ---='，则=k （ ） Ａ．a Ｂ．b Ｃ．c Ｄ．d 8．（3分）下列函数中，是同一函数的原函数的函数对是（ ） Ａ．x 2sin 21与x 2cos 41 - Ｂ．x ln ln 与x 2 ln Ｃ．2 x e 与x e 2 Ｄ．2tan x 与x x 2sin 1 cot +- 二、填空题 9．（3分） = →x x x x 2sin 1sin lim 220 第八章典型习题 一、 填空题、选择题 1、点)3,1,4(M -到y 轴的距离就是 2、平行于向量}1,2,1{a -=? 的单位向量为 3、().0431,2,0垂直的直线为 且与平面过点=--+-z y x 4、.xoz y z y x :面上的投影柱面方程是在曲线?? ?==++Γ2 10222 5、()==-=+=+=-δ λ δλ则平行与设直线,z y x :l z y x : l 1111212121 ()23A ()12B ()32C ()21 D 6、已知k 2j i 2a ????+-=,k 5j 4i 3b ? ???-+=,则与b a 3??-平行的单位向量为 ( ) (A )}11,7,3{(B )}11,7,3{- (C )}11,7,3{1291-± (D )}11,7,3{179 1-± 7、曲线???==++2 z 9 z y x 222在xoy 平面上投影曲线的方程为( ) (A )???==+2z 5y x 22 (B )???==++0z 9z y x 222(C )???==+0 z 5y x 22 (D )5y x 22=+ 8、设平面的一般式方程为0A =+++D Cz By x ,当0==D A 时,该平面必( ) (A)平行于y 轴 (B) 垂直于z 轴 (C) 垂直于y 轴 (D) 通过x 轴 9 、 设 空 间 三 直 线 的 方 程 分 别 为 251214: 1+=+=+z y x L ,67313:2+=+=z y x L ,4 1312:3-=+=z y x L 则必有 ( ) (A) 31//L L (B) 21L L ⊥ (C) 32L L ⊥ (D) 21//L L 10、设平面的一般式方程为0=+++D Cz By Ax ,当0==B A 时,该平面必 ( ) (A) 垂直于x 轴 (B) 垂直于y 轴 (C) 垂直于xoy 面 (D) 平行于xoy 面 11、方程05 z 3y 3x 2 22=-+所表示的曲面就是( ) (A )椭圆抛物面 (B )椭球面 (C )旋转曲面 (D )单叶双曲面 二、解答题 高 数练习 题 一、选择题。 4、1 1lim 1 --→x x x （ ）。 a 、1-= b 、1= c 、=0 d 、不存在 5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（ ）。 a 、x 1sin b 、 x x sin c 、12--x d 、x ln 7、()=--→1 1sin lim 21x x x （ ）。 a 、1 b 、2 c 、0 d 、2 1 9、下列等式中成立的是（ ）。 a 、e n n n =??? ??+∞→21lim b 、e n n n =? ?? ??++∞ →2 11lim c 、e n n n =??? ??+∞→211lim d 、 e n n n =? ? ? ??+∞ →211lim 10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（ ）。 a 、是低阶无穷小量 b 、是同阶无穷小量 c 、是等阶无穷小量 d 、是高阶无穷小量 11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（ ）。 a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、 数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) . （A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x (B) x (C)1 ln(12)2x + (D) x (x +2) 14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）. （A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值 （B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在 （D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0 lim ()x x f x →+与0 lim ()x x f x →-存在，则（ ）. （A ）0 lim ()x x f x →存在且00 lim ()()x x f x f x →= （B ）0 lim ()x x f x →存在但不一定有00 lim ()()x x f x f x →= （C ）0 lim ()x x f x →不一定存在 （D ）0 lim ()x x f x →一定不存在 16、下列变量中（ ）是无穷小量。 17、=∞→x x x 2sin lim （ ） 2 18、下列极限计算正确的是（ ） 19、下列极限计算正确的是（ ） A. f(x)在x=0处连续 B. f(x)在x=0处不连续，但有极限 C. f(x)在x=0处无极限 D. f(x)在x=0处连续，但无极限 23、1lim sin x x x →∞ =（ ）. （A ）∞ （B ）不存在 （C ）1 （D ）0 24、221sin (1) lim (1)(2) x x x x →-=++（ ）. （A ）13 （B ）13- （C ）0 （D ）23 25、设1sin 0()3 0x x f x x a x ?≠? =??=?，要使()f x 在(,)-∞+∞处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 （C ）1/3 （D ）3 ) ( , 0 x 1 x 2 0 x 1 x ) x ( f . 20、 2 则下列结论正确的是 设 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 例 利用二重积分的性质，估计积分 2 222(2)d D x y x y σ+-?? 的值，其中D 为半圆形区域2 2 4,0x y y +≤≥． 解 我们先求函数2 2 2 2 (,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值． 由2 2 220,420,x y f x xy f y x y '?=-=??'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=． 在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2 ()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0． 在边界22 2:4L x y +=(0)y ≥上， 242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤ 由3 ()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22 x x x ==- =，(0)(0,2)8h f ==． 5537 ()(,)2224 h f ± =±=． 综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知 222202(2)d 82D x y x y πσπ?≤+-≤???， 即 22220(2)d 16D x y x y σπ≤+-≤??． 例 设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域， 1D 为D 在第一象限的部分，则 (cos sin )( )D xy x y dxdy +=??． （A ）1 2 cos sin D x y dxdy ?? （B ）1 2D xy dxdy ?? （C ）1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0 高等数学(数二> 一.重点知识标记 高等数学 科目大纲章节知识点题型重要度等级 高等数学 第一章函数、极限、连续 1 .等价无穷小代换、洛必达法则、泰勒展开式求函数的极限★★★★★ 2 .函数连续的概念、函数间断点的类型 3 .判断函数连续性与间断点的类型★★★ 第二章一元函数微分学 1 .导数的定义、可导与连续之间的关系 按定义求一点处的导数，可导与连续的关系★★★★ 2 .函数的单调性、函数的极值讨论函数的单调性、极值★★★★ 3.闭区间上连续函数的性质、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理微分中值定理及其应用★★★★★ 第三章一元函数积分学 1 .积分上限的函数及其导数变限积分求导问题★★★★★ 2 .有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分 计算被积函数为有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的不定积分和定积分★★ 第四章多元函数微分学 1 .隐函数、偏导数、的存在性以及它们之间的因果关系 2 .函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连 续性的讨论与它们之间的因果关系★★ 3 .多元复合函数、隐函数的求导法求偏导数，全微分★★★★★ 第五章多元函数积分学 1. 二重积分的概念、性质及计算 2.二重积分的计算及应用★★ 第六章常微分方程 1.一阶线性微分方程、齐次方程， 2.微分方程的简单应用，用微分方程解决一些应用问题★★★★ 一、函数、极限、连续部分： 极限的运算法则、极限存在的准则(单调有界准则和夹逼准则>、未定式的极限、主要的等价无穷小、函数间断点的判断以及分类，还有闭区间上连续函数的性质(尤其是介值定理>，这些知识点在历年真题中出现的概率比较高，属于重点内容，但是很基础，不是难点，因此这部分内容一定不要丢分。 二、微分学部分： 主要是一元函数微分学和多元函数微分学，其中一元函数微分学是基础亦是重点。 一元函数微分学，主要掌握连续性、可导性、可微性三者的关系，另外要掌握各种函数求导的方法，尤其是复合函数、隐函数求导。微分中值定理也是重点掌握的内容，这一部分可以出各种各样构造辅助函数的证明，包括等式和不等式的证明，这种类型题目的技巧性比较强，应多加练习。函数的凹凸性、拐点及渐近线，也是一个重点内容，在近几年考研中常出现。 多元函数微分学，掌握连续性、偏导性、可微性三者之间的关系，重点掌握各种函数求偏导的方法。多元函数的应用也是重点，主要是条件极值和最值问题。 三、积分学部分： 一元函数积分学 一个重点是不定积分与定积分的计算。在计算过程中，会用到不定积分/定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法。其中，换元积分法是重点，会涉及到三角函数换元、倒代换，如何准确地进行换元从而得到最终答案，却是需要下一番工夫的。定积分的应用同样是重点，常考的是面积、体积的求解，多练掌握解题技巧。对于定积分在物理上的应用(数二有要求>，如功、引力、压力、质心、形心等，近几年考试基本都没有涉及，考生只要记住求解公式即可。 多元函数积分学的一个重点是二重积分的计算，其中要用到二重积分的性质，以及直角坐标与极坐标的相互转化。这部分内容，每年都会考到，考生要引起重视，需要明白的是，二重积分并不是难点。 四、微分方程： 这里有两个重点：一阶线性微分方程。二阶常系数齐次/非齐次线性微分方程。 线性 第一章行列式 1.行列式的运算 2.计算抽象矩阵的行列式★★★ 第二章矩阵 1. 矩阵的运算 2. 求矩阵高次幂等★★★ 3. 矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★ 第三章向量 1. 向量组的线性相关及无关的有关性质及判别法 2. 向量组的线性相关性★★★★★ 3. 线性组合与线性表示判定向量能否由向量组线性表示★★★★ 高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________. 求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】) sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 x x x x x x x x x x +++-=+-+→→高等数学下册典型例题精选集合.doc
高等数学求极限的常用方法附例题和详解
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