河北科技大学大学物理答案稳恒磁场

习 题

12-1 若电子以速度()()6161

20103010.m s .m s --=醋+醋v i j 通过磁场

()0030.T =-B i ()015.T j 。(1)求作用在电子上的力；(2)对以同样速度

运动的质子重复上述计算。 解：（1）

()

()k

j i j i B v F 136610624.015.003.0100.3100.2-?=-??+?-=?-=e e （2）k F 1310624.0-?-=

12-2 一束质子射线和一束电子射线同时通过电容器两极板之间，如习题12-2图所示。问偏离的方向及程度有何不同？

质子射线向下偏移，偏移量较小；电子射线向上偏移，偏移量较大。

12-3 如习题12-3图所示，两带电粒子同时射入均匀磁场，速度方向皆与磁场垂直。(1)如果两粒子质量相同，速率分别是v 和2v ；(2)如果两粒子速率相同，质量分别是m 和2m ；那么，哪个粒子先回到原出发点？ 解：qB

m

T π2=

(1)同时回到原出发点；(2) 质量是m 先回到原出发点。 12-4 习题12-4 图是一个磁流体发电机的示意图。将气体加热到很

高温度使之电离而成为等离子体，并让它通过平行板电极1、2之间，

在这

习题12-2图

习题12-3图

习题12-4图

里有一垂直于纸面向里的磁场B 。试说明这两极之间会产生一个大小为vBd 的电压（v 为气体流速，d 为电极间距）

。问哪个电极是正极？ 解：qE qvB =，vB E =，vBd Ed U ==，电极1是正极。

12-5 一电子以713010.m s v -=醋

的速率射入匀强磁场内，其速度方向与B 垂直，10T B =。已知电子电荷191610.C e --=-?。质量

319110.kg m -=?，求这些电子所受到的洛仑兹力，并与其在地面上所受

重力进行比较。 解：11719

108.410100.310

6.1--?=????==evB F N ，

3031109.88.9101.9--?=??==g m G e N

18104.5?=G

F

12-6 已知磁场B 的大小为04.T ，方向在xy 平面内，并与y 轴成p 角。试求电量为10pC q =的电荷以速度()7110m s -=?v k 运动，所受的磁场力。 解：j i j i B 2.032.03

cos

4.06

cos

4.0+=+=π

π

，k 710=v ，

()()

47121032.02.02.032.0101010--?+-=+???=j i j i k F N 。 12-7 如习题12-7图所示，一电子在20G B =的磁场里沿半径为20cm

R =的螺旋线运动，螺距50.cm h =，如图所示，已知电子的荷质比

11117610.C kg e -=醋，求这电子的速

度。

习题12-7图

解：71141004.71076.120.01020?=????==-⊥m

q

BR

v m/s v ∥711

41028.021076.105.010202?=????==-π

πm q Bh m/s

05.71028.004.7722=?+=v m/s.

12-8 空间某一区域有均匀电场E 和均匀磁场B ，E 和B 方向相同，一电子在这场中运动，分别求下列情况下电子的加速度a 和电子的轨迹。开始时，(1)v 与E 方向相同；(2)v 与E 方向相反；(3)v 与E 垂直；(4)v 与E 有一夹角q 。

解：（1）()B E F ?+-=v q 由于速度与磁场同向，所以洛仑兹里为0。

i i F a m qE e =-=

i E a e

e m qE

m q -=-

=，电子的轨迹为沿x 轴的直线。 （2）同理，i E a e

e m qE

m q -=-

=，电子的轨迹为沿x 轴的直线。 （3）设初始时速度沿y 轴，电子的速度可分解为沿x 轴的v ∥和yoz 平面内的⊥v ， v ∥导致电子在x 轴方向上做匀变速直线运动，⊥v 的运动使得电子受洛伦兹力在yoz 平面做匀速圆周运动。a ∥i e m qE -=，e

m qvB

a -

=⊥，方向指向圆心。

（3）θsin v v =⊥，使得e sin m qvB a θ-

=⊥，a ∥i e

m qE

-=电子在x 轴方向

上做匀变速直线运动，平面做匀速圆周运动。 12-9 在空间有相互垂直的均匀电场E 和均匀磁场B ，B 沿x 方向，E 沿z 方向，一电子开始时以速度v 向y 方向前进，问电子运动的轨迹如何？ 解：（1）开始时电子受的电场力与磁场力方向相反，若E Bv =，则合力为0，电子将做匀速直向运动；

（2）设电子在此S 坐标中某一瞬时速度为v

，则电子受的力为

()B v E q F ?+-=，令B v E ?=0，则()B v v q F

?+-=0，设S '系相对

S 系沿y 轴逆向以0v 的速度运动，则在S '系中没有电场，电子的速度

v v v +='0，受的力()B v v q F

?+-=0()B v E q ?+-=与在S 系中受的力相同，初始速度00

2v v

='，在yoz 平面内做匀速圆周运动，所以在S 系看来电子做摆线运动。

12-10 飞行时间谱仪。歌德斯密特设计过测量重离子质量的准确方法，这个方法是测量重离子在已知磁场中的旋转周期。一个单独的带电碘离子，在224510.W bm --醋

的磁场中旋转7圈所需要的时间约为312910.s -′。试问这个碘离子的质量有多少千克（近似值）？

解：qB

m T π2=，2

193105.4106.1271029.1---???=?m π，25

1011.2-?=m kg

x

y

z

v

B

E

12-11 如习题12-11图所示，一个铜片厚度为 10.mm d =，放在15.T B =的磁场中，磁场的

方向与铜片表面垂直。已知铜片中自由电子密度为2238410.cm -′，每个电子的电荷为191610.C,e --=-?

当铜片中有200A I =的电流时，(1)求铜片两侧的电势差aa j

￠

；(2)铜片宽度

b 对aa j

￠

有无影响？ 为什么？

解：3.22100.1106.1104.85

.120013

1922=??????==

--d IB nq U H V 12-12 一块半导体样品的体积为a b c 创，如习题13-12图所示。沿x 方向有电流I ，在z 方向加有均匀磁场B 。这时的试验数据为010.cm a =，035.cm b =，100.cm c =，10.mA I =，03.T B =，样品两侧的电势差

655.mV AA j

￠

=。

(1)问这块半导体是正电荷导电(P 型半导体)还是负电荷导电(N 型半导体)？(2)求载流子浓度（即单位体积内带电粒子数）。 解：(1)N 型半导体；

（2）2419

331086.2001

.0106.11055.63.0100.1?=??????==---a qU IB n H m -3 12-13 一个铜圆柱体半径为a ，长为l ，外面套一个与它共轴且等长的圆筒，筒的内半径为b ，在柱与筒之间充满电导率为g 的均匀导电介质。求：(1)柱与筒之间电阻；(2)柱与筒之间有电势差j

时柱与筒之间的电场强度的

习题12-11图

习题12-12图

分布。 解：（1）a

b

l rl r R b

a

ln 212d 1

πγπγ

==

?

； （2）a b l R

I 1

ln 2-==

?πγ?

，E a b r rl I J γ?γπ===

-1ln 2，a

b

r E 1ln 1-=? 12-14 如习题12-14图所示，有一个半径为0r 的半球状电极与大地接触，大地的电阻率为r 。假定电流通过这种接地电极均匀地向无穷远处流散，试求这种情况下的接地电阻。 解：0222d 0r r r R r πρπρ

==?∞

习题12-14图

习题12-15图

13-15 一长度为l ，内、外半径分别为1R 和2R 的导体管，电阻率为r 。求下列三种情况下管子的电阻。(1)若电流沿长度方向流过；(2)电流沿径向流过；(3)如习题12-15图所示，管子被切去一半，电流沿图示方向流过。 解： （1）()

2

1

22R R l

R -=πρ

（2）1

2ln 22d 2

1

R R

l rl r R R R πρπρ

==?

（3）

1

2ln d 1

12

1

R R l r r l R R R ρππρ

==?

， 12

1ln

R R l R -=ρπ

12-16 一铜棒的横截面积为22080mm ′，长为20.m ，两端电势差为50mV 。已知铜的电导率715710.S m s -=醋，铜内自由电子的电荷密度为

10313610.C m -醋。试求：(1)它的电阻R ；(2)电流I ；(3)电流密度的大小j ；

(4)棒内电场强度的大小；(5)所消耗的功率P ；(6)一小时所消耗的能量W ；(7)棒内电子的漂移速度d v 。

解：（1）467

1056.40.2101600107.5?=??

?==-l S G σS Ω?==

-51019.21

G

R （2）3

4

1028.2050.01056.4?=??==GU I A

（3）66

3

10425.110

16001028.2?=??==-S I J A/m 2 （4）025.00

.2050.0===

l U E V/m （5）114050.01028.23

=??==IU P W （6）4104003600114=?==Pt W J

（7）4

10

6d 1005.110

36.110425.1-?=??==nq J v m/s 12-17 假定正负电子对撞机的储存环是周长为240m 的近似圆形轨道。已知电子的速率接近光速，当环中电流强度为8mA 时，问整个环中有多少电子在运行？ 解：l Nqc T Nq I ==

，10819100.410

0.3106.1240008.0?=????==-qc Il N 12-18 一长直导线载有电流50A ，离导线50.cm 处有一电子以速率

711010.m s -醋运动。求下列情况下作用在电子上的洛仑兹力。(1)设电子

的速率v 平行于导线；(2)设v 垂直于导线并指向导线；(3)设v 垂直于导线和电子所构成的平面。 解：（1）

1671970100.2100.1106.1050

.02501042---?=???????=?=πππμqv r I F N,方

向垂直于导线； （2）16

100.2-?=F N,方向平行于导线；

（3）0=F

12-19 如习题12-19图所示，在无限长的载流直导线AB 的一侧，放着一条有限长的可以自由运动的载流直导线CD ，CD 与AB 相垂直，问CD 怎样运动？

解：边向上运动边顺时针旋转，并远离AB ，转置于原方向相反时会受到相反的作用。

习题12-19图

习题12-20图

习题12-21图

12-20 把一根柔软的螺旋形弹簧挂起来，使它的下端和盛在杯里的水银刚好接触着，形成串联电路，再把它们接到直流电源上，通以电流，如习题12-20图所示。问弹簧将发生什么现象？ 怎样解释？

上下振动，弹簧有电流时，匝间吸引，使弹簧紧缩，弹簧离开水银面，电路断开，电流为零，重力使弹簧伸长，产生电流，使弹簧紧缩，周而复始。

12-21 如习题12-21图所示，有一载有电流为2I 的线框，由张角为()2p a -的圆弧和连圆弧两端的弦构成，弧的半径为R ，现有另一根载电

流为1I 的长直导线穿过圆弧的中心，且垂直与线框的平面，试求作用于线框上的力矩。

解：电流为1I 不对圆弧作用，只对连圆弧两端的弦产生作用。

y r I I F d 2sin d 120πθμ=

，y y r

I I F y M d 2sin 2d 2d 120πθ

μ==，

θαtan sin R y =，θαsec sin R r =

θπθ

αμθθαπθαθμd tan sin d sec sin 2sec sin sin 2d 120222120R I I R R I I M ==

απ

α

μθπθαμαcos ln sin d tan sin 1200

120R I I R I I M -==?

12-22 一根长铜导线，其直径为326.mm ，通过该导线的电流为20A (在国际电工规范中，直径为326.mm 的铜导线允许通过的最大电流为35A )。问：(1)导线中的电流密度为多少？(2)电子在导线中的漂移速度为多少？(3)设导线中的场强为一常量，沿导线的场强为多少？ 解：（1）6621039.210

63.120?=??==

-πS I J A/m 2 (2) 410

6

d 1076.110

36.11039.2-?=??==nq J v m/s (3)27

6

1019.410

7.51039.2-?=??==σJ

E V/m 12-23 有两个同轴导体圆柱面，它们的长度为20m ，内圆柱面的半径为30.mm ，外圆柱面的半径为90.mm ，若两圆柱面之间有10A m 电流流过，

求通过半径为60.mm 的圆柱面上的电流密度。

解：53

6

1033.120

10621010---?=????==πS I J A/m 2 12-24 如习题12-24图所示，一用电阻率为r 的材料制成的截圆锥体，其长为l ，两端面的半径分别为1R 和2R ，试计算此锥体两端面之间的电阻。 解：由几何关系可知

1

2R R

L L L =+'' L R R R L 2

12

-='，x L R R r 21

-=， ()222122d d d x R R x

L r x R -==πρ

πρ ()2

12

2212d R R L

x R R x L R L

L L πρπρ=-=?

+''

习题12-24图

习题12-25图

12-25 如习题12-25图所示，求各图中O 点的磁感应强度B 的大小和方向。 解：（1）a I B πμ40=

，向里；（2）R I B 80μ=，向里；（3）R

I

B 40μ=，向里。 12-26 两根导线被引到金属三角形AB

C 的AC 点上，电流方向如习题12-26图所示，求三角形中心处的磁感应强度是多少？ 解：注入A 点的直线电流在O 点的磁感强度为0。

流经ABC 的电流为I/3，流经AC 的电流为2I/3，电流ABC 在O 点场与电流AC 在O 点场大小相等，方向相反，合场为0。BC 之后至延长线电流在

O 点场

()a

I a I

B πμπμ43180cos 120cos 2300=?-?=

，向外。

习题12-26图

习题12-27图

12-27 有一半径为R 的“无限大”半圆柱形金属薄片中，有电流5A I =自下而上通过，如图习题12-27所示．试求圆柱轴线上一点P 的磁感应强度。 解：θπμd 2d 2

0R

I

B =

θθπμd sin 2d 20R I

B x =

R

I R I B x 20020

d sin 2πμθθπμπ==?，

由对称性可知0=y B ，所以

R

I

B B x 20πμ=

= 12-28 一个塑料圆盘， 半径为R 、电荷q 均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为w ，求圆盘中心处的磁感应强度。 解：2d 2d d d R r

qr q T q I πωπω===

，2002d 2d d R r q r I B πωμμ== R

q R r q B R πωμπωμ22d 0020==?

12-29 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内外半径分别为b 和c )构成，使用时，电流I 从一导体流出，从另一导

体流回。设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求r a <，a r b <<，b r c <<及r c >各区间的磁感应强度大小，r 为场点到轴线的垂直距离。

解：（1）a r <，2202d a

r I rB μπ==??l B ，r a I B 202πμ=；

（2）b r a <<，I rB 02d μπ==??

l B ，r

I B πμ20=

； （3）c r b <<，???

? ??---==??2222012d b c b r I rB μπl B ，222

202b c r c r I B --=πμ；

（4）r c <，02d ==??

rB πl B ，0=B 。

12-30 两个的平行平面上，有均匀分布的面电流，面电流密度大小分别为

1i 及2i 。试求下列情况下两面之间的磁感应强度与两面之外空间的磁感应强度。(1)两电流平行；(2) 两电流反平行；(3)两电流相互垂直。 解：单个均匀分布的面电流无穷大平面的磁场i B 02

1

μ=，与电流垂直，与平面平行。

（1）两面之间的磁感应强度0=B ，两面之外空间的磁感应强度i B 0μ=； （2）两面之间的磁感应强度i B 0μ=，两面之外空间的磁感应强度0=B ； （3）两面之间的磁感应强度和之外空间的磁感应强度都为i B 02

2

μ=

。 12-31 如习题12-31图所示，两平行长直导线相距为d ，每根导线载有电流为12I I I ==，电流流向如图所示，求：(1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A 处的磁感应强度；(2)通过图中阴影面积的磁通量

()

11

24r

r d ==。 解：无限长载流直线的磁场r

I

B πμ20=

，

（1）A 点的磁场d

I

B πμ02=； （2）()r d I

r I B -+=

πμπμ2200， ()3ln d 22d 04

/34

/004

/34/m πμπμπμIl

r l r d I r I r Bl d d d d =??

????-+==Φ?

?

12-32 无限长导体圆柱沿轴向通以电流

I ，截面上各处电流密度均匀分布，柱半

径为R 。求柱内外磁场分布。

解：R r <，22

02d R r I rB l B μπ==??

2

02R Ir

B πμ=

； R r >，I rB l B 02d μπ==??

r

I B πμ20=。

12-33 有一长圆柱形导体， 截面半径为R ．今在导体中挖去一个与轴平行的圆柱体，形成一个截面半径为r 的圆柱形空洞，其横截面如习题12-33图所示，在有洞的导体柱内有电流沿柱轴方向流过。求洞中各处的磁场分布。设柱内电流均匀分布， 电流密度为J ，从柱轴到空洞轴之间的距离为d 。

解：设整个大圆平面有向外的电流，电流密度为J ，小圆平面附加一个向

里的电流，电流密度为J ，向里的方向矢量为k

。由环路定理可知，圆内

习题12-31图

磁场k r J B ?=021μ，所以大圆面电流的磁场k r J B ?=10121μ，小圆面电

流的磁场k r J B

?-=2022

1μ，总磁场

()k d J k r r J B B B ?=?-=+=0210212

1

21μμ为匀强磁场。

12-34 电荷q 均匀地分布在半径为R 的圆环上，这环以匀角速度w 绕它的几何轴旋转。试求：(1)轴线上离环心为x 处的磁感应强度B ；(2)磁矩。 解：（1）圆环的电流π

ω

2q I =

，圆环上一段弧长在x 处的磁场

220208d 4d d R

l q R l I B πωμπμ==

由电流分布的对称性可知，x 处的磁场只在x 轴上，所以x 处的磁场2202204sin 8d sin d x R R

R q R l q B B l

+==

=??

πωμθπωμθ； （2）磁矩22

1

R q IS m ω=

= 12-35 电缆由一导体圆柱和同轴的导体圆筒构成，使用时，电流I 从一导体流出，从另一导体返回。电流均匀地分布在横截面上。设圆柱的半径为1r ，圆筒的内外半径分别为2r 和3r ，如习题12-35图所示，r 为到轴线的垂直距离，求r 从零到大于3r 的范围内各处磁感应强度B 的大小。 解法见12-29

x

习题12-33图

习题12-35图

12－36 如习题12-36图所示，一螺绕环由表面绝缘的细导线密绕而成，共有N 匝。中间的半径为R ，横截面是半径为r 的圆形，r R =。当导线中通有电流I 时，求：(1)环内磁感应强度B 的大小；(2)环内任一截面上的磁通量。

解：(1)I N RB l B 02d μπ==??

，R

I

N B πμ20=

； (2)R

Ir N B r 22

02

m μπ==Φ

12-37 一块半导体样品的体积为a b c 创，如习题12-37图所示，沿x 方向有电流I ，在z 方向加有均匀磁场B 。这时实验得出数据为010.cm a =，10.mA I =，1310T B -=?，薄片两侧的电势差655.mV AB U =。(1)问这

半导体是正电荷导电(P 型)还是负电荷导电(N 型)？(2)设每个载流子的电荷为1916010.C q -=?，求载流子浓度(即单位体积内参加导电的带电粒子数)。

解：(1) 半导体是负电荷导电(N 型半导体)

(2)2419

331086.2001

.0106.11055.63.0100.1?=??????==---a qU IB n H m -3

习题12-36图

习题12-37图

习题12-38图

12-38 横截面积为220.mm s =的铜线弯成U 形， 如习题12-38图所示。其中OA 和DO ￠段固定在水平方向不动，ABCD 段是边长为a 的正方形的三边，可绕OO ￠转动；整个导线放在均匀磁场B 中，B 的方向竖直向上。已知铜的密度为389.g cm r -=?，当这铜线中的电流为10A I =时，在平衡情况下，AB 段和CD 段与竖直方向的夹角为=15a °，求磁感应强度B 的大小。

解：电磁力矩αcos 2

B Ia B m M =?=

，

重力矩αραραρsin 2sin 2

1

2sin 2g s a ga as ga as M =?+='， 平

衡

时

M M '

=，

α

ραsin 2cos 22g s a B Ia =，

35.910

15tan 8.9109.8100.22tan 236=??????==-I g s B αρT

12-39 一边长为a 的正方形线圈载有电流I ，处在均匀外磁场B 中，B 沿水平方向，线圈可以绕通过中心的竖直轴OO ￠转动，如习题12-39图所示，转动惯量为J 。求线圈在平衡位置附近作微小振动的周期。

解：222

d d sin t J B Ia B m M αα=-=?-= ，即

0sin d d 222=+J B Ia t αα。 当α很小时，αα≈sin ，则方程变为0d d 22

2=+J

B Ia t α

α，

J

B

Ia 2=ω，B Ia J T 2

22πωπ==

习题12-39图

习题12-40图

习题12-41图

12-40 一根长直导线载有电流为1I ，一长方形回路和它在同一平面内，载有电流为2I ，回路长为a ，宽为b ，靠近导线的一边距导线的距离为c ，如习题12-40图所示。求直导线电流的磁场作用在这回路上的合力。 解：()

b c c ab

I I b c c a I I F +=

??? ??+-=

πμπμ2112210210，向左。 12-41 两个圆线圈分别载有电流1I 和2I ，它们的半径分别为1R 和2R ，线圈2的直径在线圈1的轴线上，两圆心相距为L ，如习题12-41图所示。求1L R ?、2R 时，1I 作用在线圈2上的力矩。

解：1I 在线圈2处的磁场(

)

2

/3221

2

1102L

R R I B +=

μ，由于1R L >>，

所以3

2

1102L R I B μ≈

；

作用在线圈2上的力矩3

2

22121022

22L

R R I I B I R B m M πμπ==?= ，矢量方向向里。