资料工科高等数学课程标准

资料工科高等数学课程标准

工科《高等数学》课程标准

第一部分前言

数学是反映客观世界的科学，是对客观世界定性把握和定量描述，进而逐渐抽象概括形成方法和理论，并且进行广泛应用的科学。数学是抽象的，又是具体的，是一种工具，也是一种文化，更是一种信息。

随着时代的发展，文明的进步，特别是二十世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，与计算机的结合愈来愈紧密，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的发展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量繁杂的信息作出最优的判断和选择，同时为人们交流信息提供了一种有效而简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息、建立模型，进而解决问题，直接为社会创造价值。

在理工科综合院校中，《高等数学》课程是工科各专业一门必修的公共基础课。它将为今后学习工程数学、专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程的提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。基于工科教育的特点，以及为适应迅猛的社会经济发展，在高等数学的教学中必须遵循“以应用为目的，以必需，够用为度”的原则，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以努力提高学生的数学修养和素质。

第二部分课程基本理念

一、优化课程结构，适应理工科教育人才培养模式

理工课大学教育是以培养高层次专业技术和研究人才为根本任务，以适应社会需要为目标，以培养综合素质为主线设计学生的知识、能力、素质结构和培养方

案，毕业生应具有基础理论知识适度、技术应用能力强、知识面较宽、素质高等特点。因此，课程的教学内容体系应突出“能力提高”的主旨，从而与经济建设、科技进步和社会发展要求相适应，与人的全面发展需求相适应，与高等教育大众化条件下多样化的学习需求相适应，与高等教育课程改革与建设的国际化趋势相适应，与国家基础教育课程改革的要求相衔接。

二、以能力培养为切入点，充分体现课程的基础性、应用性和发展性

数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据，进行计算、推理和证明，它为其它学科提供了语言、思想和方法，从而数学的基础性地位无可替代，更不能偏废。但在理工科教育中，高等教学在作为公共基础课的同时，应充分遵循“学有所用”的原则、“学有所需”的原则，而在一切的教学过程中，都要从能力培养出发，发掘学生的潜在的创新思维，以切实提高学生的综合教学素质。

三、以学生为中心，充分发挥学生的学习能动性

高等教学的学习内容应当根据实际的需求进行调整，而内容的是呈现也应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求，同时教学活动必须建立在学生的接受能力基础之上。而教师也不是被动的，应调动一切可行的手段，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，为学习和实践提供有效的知识工具和良好的思维素质。

四、加强计算机与数学教学的整合，促进教学改革，提高教学质量

现代信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及学与教的方式产生了重大的影响。数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，加强计算机与数学教学的整合，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学

生学习数学和解决问题的强有力工具，致力于改变学生的学习方式，使学生整合到现实的、探索性的数学活动中去。

五、构建本课程新的评价体系，考察学生的“输出”能力

评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，考察学生的实际能力，同时激励学生的学习和改进教师的教学。但以往的评价手段过于单一，不能全面反映学生的真实情况，而且评价的价值取向犹为偏颇。所以应建立评价目标多元、评从方法多样的评价体系。对数学学习的评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程;要关注数学知识的掌握，也要关注数学知识的运用。总之，评价的结果优劣要经得起实践检验。

第三部分课程目标

本课程的总目标是要通过对高等数学在高等教育阶段的学习，使学生能够获得相关专业课及工程数学须使用，适应未来工作及进一步发展所必需的重要的数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能;使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决学习、生活、工作中遇到的实际问题，从而进一步增进对数学的理解和兴趣;使学生具有

一定的创新精神和提出问题分析问题解决问题的能力，从而促进生活、事业的全面充分的发展;使学生既具有独立思考又具有团体协作精神，在科学工作事业中实事求是、坚持真理，勇于攻克难题;使学生能敏感地把握现实社会经济的脉搏，适应社会经济的变革发展，做时代的主人。

本课程的总目标进一步阐释为:

一、知识与技能方面

1(了解微积分的发展史，认识微积分的重要性、抽象性、实用性，进而认识科学发展的一般规律。

2(理解极限的概念，掌握极限的运算法则，能够熟练计算一般函数间极限。

3(理解微分的概念，掌握微分的运算法则，能够熟练计算一般函数的微分。

4(理解积分的概念，掌握积分的运算法则，能够熟练计算一般函数的积分。

5(了解微分方程的概念，熟练掌握一些简单的一阶微分方程的解法，掌握几种简单形式的二阶微分方程的解法。

二、数学思想与能力运用方面

1(通过对本课程的学习，使学生在掌握必要的基础知识的同时，具有一定的数学建模思想，并将这种思想贯穿于整个提出问题分析问题解决问题的过程。

2(通过对极限概念的学习，使学生建立无限的思想观，并使学生能用“分割求和取极限”的思想方法求一些诸如无穷数列和、图形面积等问题。

3(通过对微分的学习，使学生能够建立实际问题的模型，理解诸如最值方面的问题，并能分析、推证、解释跟最值有关的一些现实现象。

4(通过对积分的学习，使学生能够利用“微元法”的思想方法，解决一些诸如求面积、求体积、求功等问题。

5(通过对生分方程的学习，使学习初步掌握综合运用微积分的能力。

6(通过对本课程的学习，使学生具有一定的自学能力和将数学思想扩展到其它领域的能力。

三、科学观和价值观方面

1(具有高尚的科学观，实事求是，尊重客观规律，反对迷信邪教。

2(有较强的求知欲，逐步进步，崇尚科学思维，有较强的毅力，不怕困难，有信心战胜它。

3(热爱生活，有团结协作精神，勇于批评和自我批评。

4(有理想、有抱负，热爱祖国，有振兴中华的使命感和责任感。

第四部分课程内容

一、函数极限连续

函数是近代数学的基本概念之一。高等数学就是以函数为主要研究对象的一门数学课程。极限是贯穿高等数学始终的一个重要概念，它是这门课程的基本推理工具。连续则是函数的一个重要性态，连续函数是高等数学研究的主要对象。通过学习这些知识，不仅为以后的学习打下必要的基础，而且有利于学生认知能力的提高和飞跃。

(一)具体目标

1(函数

(1)理解函数的定义，掌握函数的要素。

(2)掌握函数的单调性和奇偶性，了解函数的周期性和有界性。

(3)了解反函数、复合函数的概念。

(4)熟练掌握基本初等函数的图形;理解初等函数的概念。

(5)能建立简单的实际问题的函数关系。

2(极限

(1)了解极限的“ε-δ”、“ε-N”定义，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

(2)掌握极限的四则运算法则。

(3)了解极限的两个存在准则(夹逼定理和单调和界定理)，掌握两个重要极限。

(4)了解无穷大，无穷小的概念，掌握无穷小的比较。

3(连续

(1)理解函数连续的概念，会判断间断点的类型。

(2)了解初等函数的连续性。

(3)了解闭区间上连续函数的最值定理、介值定理和极的存在性定理。

(二)案例

例1 讨论函数的奇偶性、有界性、单调性。

例2 写出的复合过程，并判断的有界性。

例3 将半径为r的半圆圈成圆锥，试建立圆锥体积V与r的关系V(r)。

12,,xx，，lim2，ln(1，),lim，,1,,3x,x,,0xx,,例4 求

1，x,1，，lim,limnn，2,n，1x,0n,,x例5 求

3xxsin21,,lim,lim1，,,,,,x0xxxsin3,,例6 求

ln(1，x)(x,0)2x(x,0)例7 试比较和的阶数高低

x，1f(x),2x,1例8 求的间断点，并判断其类型。

二、一元函数微分学

导数与微分都是微分学的基本概念。导数概念最初是从寻找曲线的切线以及确定变速运动的瞬时速度而产生的。它在自然科学与工程技术上都有着极其广泛的应用。微分伴随着导数而产生的概念。通过本部分内容的学习，使学生在掌握基础知识的同时，能够利用所学知识，解决一些实际问题。

(一)具体目标

1(理解导数与微分的概念。了解导数的几何意义及可导性与连续性的关系。

2(熟练掌握导数与微分的运算法则以及基本公式。能熟练地计算初等函数的一阶、二阶导数。

3(会求隐函数及参数方式所确定的函数的一阶导数。

4(理解罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理。

5(掌握罗必塔法则。

6(理解函数极值的概念。

7(会求函数的极值，能判断函数的单调性和函数图形的凹凸，会求曲线的拐点。掌握函数图形的描绘方法。

8(能解决最值的应用题。

(二)案例

y,x1，x例1 求的一阶、二阶导数。

y,xlnx例2 求曲线在(1，0)的切线与法线方程。

xe,1lim,0xx例3 求

y，xy'xy，1,e例4 求(y由方程确定)

x,1，sint,

,y'y,cost，sintx,例5 求(y由方程确定)

例6 求周长为l的面积最大的矩形边长。

xy,21，x例7 作出的图像。

三、一元函数积分学

微分学的要基本问题是:已知一个函数，求它的导数。但是，在科学技术领域中往往会遇到与此相反的问题:已知一个函数的导数，求原来的函数。由此产生了积分学，包括定积分与不定积分。而定积分的广泛用途是:利用微元法，解决物理和工程技术中的诸多问题。

(一)具体目标

1(理解不定积分的概念。

2(理解定积分的概念及基本性质。

3(熟练掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的换元法和分部积法，掌握较简单的有理函数的积分。

4(熟练掌握牛顿——莱布尼兹公式。

5(掌握定积分的换元法和分部积分法。

6(了解变上限的定积分作为其上限函数及求导定理。 7(掌握定积分的微元法，会用定积分计算相关的几何量与物理量。

8(了解广义积分的概念，会求简单的广义积分。 (二)案例

2例1 x是2x的一个函数吗,

例2 写出不定积分的基本公式。

12x1，,,xxdxxedxdx2,,,(1，)xx例3 求

1x,/213xedx,cosxdx,(x,1)dx000,,,例4 判断正负:

1418,/23,/25xdx与xdx,sinxdx与sinxdx0000,,,,例5 比较大小:

22xty,edt,求y(0),y'(0)0,例6 若

322,/2312xxdx,|x|dx,cosx(1，sinx)dx,xedx,2100,,,,例7 若

例8 证明圆锥，正四棱锥，环的体积公式。

11,1dx,dx00,,2，1xx例9 求

四、常微分方程

寻求变量之间的函数关系是解决实际问题时常见的重要课题。但是，人们往往不能直接由所给的条件找到函数关系，却比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变量之间关系的等式，然后再从中解得待求的函数关系。这样的等式，移这为微分方程。这部分内容将讨论几种特殊类型的微分方程及其解法，并初步介绍一些应用。 (一)具体目标

1(了解微分方程的概念以及通解、初始条件和特解的概念。 2(熟悉掌握一阶线性可分离变量的方程的求解方法。 3(熟练掌握一阶线性齐次方程的解法，掌握一阶线性非齐次方程的解法，会利用常数变易法解一阶线性非齐次方程。

4(了解二阶线性微分方程的解的结构。

5(熟练掌握二阶线性常系数齐次方程的解法。 6(掌握几种简单形式的二阶线性常系数非齐次方程的解法。 (二)案例

2y"，y',2x,2例1 y=x+1是否为方程的解,

2y',xy例2 求的通解。

11x2y',y,e22例3 例2 求的通解。

xy'，y,cosx,y(,),1例4 求的特解。

例5 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与下落速度成正比(k>0)，初速为0，求下落速度与时间的关系。

y",2y',3y,0例6 求的通解。

y"，4y,x，1，sinx例7 求的通解。

例8 设有一链条悬挂在钉子上，起动时两端钉子为8米和12米。若不计摩擦力，试求链条离钉所需时间。

第五部分课程实施建议

一、教学建议

为实现本课程的目标，体现本课程的基本理念，《标准》提倡多种教学形式。广大教师应结合实际情况，创造性开展教学，在教学中总结经验，探索教学规律。下面就教学方面的一些问题提出建议和参考案例。

(一)落实课程理念，倡导探究性学习

本课程的基本理念中强调对学生的科学素质的培养。科学素质是指学生将来参加社会生活、从事经济生产、作出个人决策所必需的对科学概念和过程的理解，以及一定的探究能力，能较好地理解科学技术与社会的相互关系和科学的本质，形成科学的态度和正确的价值观。所以倡导探究性学习，对我们的教学工作具有重要的指导意义，应当贯彻在我们的全部教学活动中。

倡导探究性学习的根本目的的在于提高学生的问题解决的能力，因此仅仅靠知识的传承、讲授、灌输就不能有效地达到目的，必须改变教学的策略和方法，改变学生的学习方式。

倡导探究性学习能使学生既能理解、掌握和应用知识，又发展了收集和处理科学信息的能力，获取新知识的能力，分析解决问题的能力，交流与合作的能力，特

别是培养了创新精神和实践能力;同时，还将使学生的学习过程更富有个性化，对情感的体验、科学态度的养

成，正确价值观的树立，也会有极大的促进。

(二)明确教师在教学活动中的地位，强调以学生为中心的教学。

数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间互动的过程。教师是教学活动的组织者、引导者与合作者。一切的教学活动必须建立在以学生为中心的基础上。要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展。要让学生获得成功的体验，树立信心。而要体现以学生为中心的理念，必须在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，发掘学生的创新精神，

其次要让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识，最后要让学生能根据自身行动的反馈信息来形成对客观事物的认识和解决实际问题的方案。这就要求我们教师在教学过程中尽力帮助学生自己进行知识构建，而不是去复制知识，即教师要引导学生自己去认识和发现知识，认识和发现科学的方法，创造和实现知识与科学方法的应用。为此，教师就要精心设计每一次的教学活动，要根据不同层次的教学对象，课程的不同内容以及不同的目标要求灵活多样地组织教学。或讲授，或讨论，或课题设计，或问题解决，或设立情境。

(三)以问题解决为核心组织教学，创立良好的教学环节促进“问题解决”的实现

教学的问题可分为概念问题、方法问题、思想问题、计算问题、推论问题、应用问题以及实际操作或模拟实现等问题。教师组织教学就是要引导和帮助学生或激励和启发学生一一解决这些问题。要让学生置身于问题之中，有获得问题解决的成就感，也有乐于和敢于面对新问题挑战的紧张感。这可以大大提高学生的分析问题解决问题的能力，实际应用的能力，知识拓展的能力，以及总体把握的能力;而且这对提高团队协作能力和科学的素质有极大的帮助。

为促进“问题解决”的实现，必须创立良好的教学环境。多媒体辅助教学就是一种重要的手段。多媒体辅助教学的突出功能就是信息交换量大，而且实时快捷，另一个突出功能就是形象直观，易于接受。另外设立相关资料库、报告会、专题讨论、分组讨论等都是可考虑采用的手段。

以下给出一些问题解决的具体案例，仅供参考。

1(关于极限概念问题

极限本身是一个很抽象的概念，与已掌握的中学教学知识有着持的飞跃，学生要理解这

个概念有很大的难度。但为了使学生更好地了解这个概念，我们可以多讲一些实例，提出学生感兴趣的问题，引导学生去思考、去分析。譬如，我们可以介绍“割圆术”，先画几个图例，圆的内接正三角形、正六边形、十二边形……让学生观察、分析、归纳，最后得出结论，正多边形的面积与圆的面积相差愈来愈小，从而直观地认知:圆的面积与这组正几边形的面积有着特殊的关系。进而我们说这圆的面积就称做正几边形的面积的极限。然后再引导:现在不知道圆的面积，怎样来求它呢,让学生思索。通过引导、归纳，知道只须求正几边形的面积的极限。紧接着、提出问题:如何求不规则图形的面积,(画一个曲线三角形)。引导(画一些分割线)启发(画一个矩形)让学生自己动手画一些分割线，取矩形……得到一组分割图。引导:现在无法直接计算曲线三角形的面积，但是可以……学生自己会得出比较清晰的结论，从而建立“分割求和取极限”的思想。而对于极限概念就有了比较具体的影象。这里的图例可以通过多媒体演示来完成，效果会更好，如果再有相应的课件，能够进行计算，就很完美了。如此，学生的各方面的素质都会得到提高。

对于导数的概念，定积分的概念也有同样的思路和手段。

2(关于极限运算

极限运算是学生熟练掌握的基本能力。这里我们要让学生抓住问题的实质，掌握从“归类”到“方法”的正确思路。我们可以提出这样一组计算问题，让学生解决。

sinsinsinx,sinxxxxlimlimlimlimx,x,0x,,x,0xxxx，sinx求极限:? ? ? ?

x,sinxlimx,,x，sinx?

经过学生的计算之后，让学生进行比较归纳，得出结论是“先进行归类”，“再使用方法”，从而养成良好科学的解题习惯。

求不定积分也是这样。让学生解决这样一组计算问题，再进行比较归纳。

21x1xdxdxdxdx2,22,,2,x(1，x)1，x1，x1，x求不定积分:? ? ? ?

11dxdx,22,2x(1，x)1，x? ?

3(关于建立数学模型，解决实际生活中的最值问题。

这一方面教材中都有一些典型的例题，用来训练和提高学生的建模思想和实际应用能力。

这里我们可以让学生观察生活中的一些最值问题，并进行分析。譬如让学生观察饮料瓶的底和高的比例。引导学生解决这个比例问题。发现这是一个用料最省的问题。进一步用数学思想来表达:容积一定的情况下，如何确定底高之比，使得表面积最小,进而建立函数关系，利用导数知识来最终解决这个问题。这种锻炼既提高运用知识的能力，又培养科学的习惯，探索的精神，求知的兴趣。

二、评价建议

(一)评价的目的

评价的目的在于教学的诊断、反馈、评定和激励。是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展。评价应全面客观的反映教学的真实情况，为改进教学提供真实可靠的依据。

(二)评价的原则

1(对学习过程的评价与对学习结果的评价相统一的原则。既不仅要关注对学生学习结果的最后判断，更要关注学习过程的发展、变化状态，随时把握它们的发展态势，使之不断得到调节和完善。

2(教师评价与学生自我评价和相互评价相统一的原则。即评价的主体应多样化。

3(对学生智力因素与非智力因素评价相统一的原则。既评价的内容应是全方位，多层次的，既包括对学生知识、技能、能力的评价，也包括对学生态度、情感、行为等的评价。

(三)评价的内容

1(恰当评价学生的知识和技能

在评价学生的知识和技能时，应遵循《课程标准》的基本理念，以课程标准制订的知识与技能目标为标准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应该注意的是《课程标准》是学生学习应达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着基础知识与技能的积累逐步达到。

评价应结合实际背景和问题解决的过程进行，对学生的评价应当更多的关注其对知识本身意义的理解和在理解基础上的应用。

2(注重学生学习过程和学习方法的评价

学习方法与学习的过程、阶段、心理条件等有着密切的联系，它不仅蕴含着对学习规律的认识，而且也反映了对学习内容理解的程度。在一定意义上，它还是一种带有个性特征的学习风格。

学习方法是学生完成学习任务的手段和途径，是学生在获得知识，形成能力过程中所采取的基本活动方式和思想方法。学生如何学习，遇到问题如何解，学生如何主动地吸纳知识，掌握显得极为重要。

3(注重评价学生的知识和技能的运用和应用能力

高等职业教育的目的就是培养应用型人才。评价一个学生，不仅看他的知识量，更要看他是否能运用所学知识，解决实际问题。

4(重视评价学生的创新意识和创造性思维的能力

高等学校的学生已具备一定的基础知识和主动的探究意识，他们中蕴藏着极大的创造性、积极性，有待开发。在教学过程中，教师要有意识地培养学生的创新意识和创造性思维，并且注重对学生这方面的评价，以进一步推动这方面能力的发展和提高。

5(重视针对学生的科学素质的评价

重要评价的科学素质，也就是重视对学生的科学素质的培养，有助于增强学生的求知欲、好奇心，有助于增强团队协作精神，有助于形成为人类造福推动人类文明进步的崇高理想。

(四)评价的形式

考试的目的在于对教学的诊断、反馈、评定和激励。考试命题的依据是《标准》所提出的教学内容和教学要求。

《标准》提供多种形式的考试，以实现本课程的基本理念和人才培养目标。成绩评价采用等级制。考试采用闭卷或开卷，也可以写小论文或心得报告，可以分组解决课题，可以多种考试形式相结合。

考试内容中应加大运用所学基础知识和基本技能进行实际运用的比重，同时，对学生的学习过程进行考察，包括学生参与本课程的程度，学生的思维能力，课堂的表现好坏，作业完成的质量，都作为评定成绩的依据，而所占的比重，对不同层次的学生可以灵活掌握。

(五)评价的管理

本课程考核以学分制为评价管理，建立促进学生综合素质全面发展的评价体系，打破了单纯以学科考试成绩优劣的单一“应试”评价模式，体现了对推进素质教育的保障功能，评价功能，激励功能和学籍管理功能。

三、教材编写建议

教材为学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、实施课程教学的重要教材编写应以《标准》为基本依据，要充分提供生动素材，呈现方式应丰富多彩。教材的编写应有助于确立学生在教学过程中的主体地位，激发学生的学习兴趣，引导学生在积极思考与合作交流中获得良好的情感体验，建构自己的数学知识。教材的编写还要有利于调动教师的能动性，创造性地进行教学。

考虑到不同层次学生之间的差异，在保证基本要求的前提下，教材应体现出自己的特色，并具有一定的弹性。编写教材时，应充分考虑与其他课程资源的开发和利用相结合。

因此，根据《标准》的要求，教材的内容要以应用为目的，以必需、够用为度和少而精的原则，在保证科学性的基础上，注意讲清概念，减少数理论证，注重学生基本运算能力和分析问题、解决问题的能力的培养，重视理论联系实际，内容通俗易懂，既便于教师教，又便于学生学，努力体现专业特色。在内容的组织上，在保证相对系统性的前提下，突出以问题解决为核心来组织编排内容，并及时配备与教材内容吻合，灵活多样难度量适中的习题。在内容的呈现上要形式多样化，力争将抽象的内容形象化，这样就要求文字描述简洁明快流畅、多配图形，版面整洁新颖，从而编写出具有自身特色，为师生所喜爱的教材。

中国矿业大学理学院

高等数学教研室