高考数学经典例题

1（10天津）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA =。（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值；（2）证明AF ⊥平面1A ED ；（3）求二面角1A ED F --的正弦值。 【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，满分12分。

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A 为坐标原点，设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,

(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,31,,02E ?? ???

（1） 解：易得10,,12EF ??= ???u u u r ,1(0,2,4)A D =-u u u u r

于是1113

cos ,5EF A D EF A D EF A D

==-u u u r u u u u r

u u u r u u u u r g u u u r u u u u r

所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为3

5

（2） 证明：已知(1,2,1)AF =u u u r ,131,,42EA ??=-- ???u u u r ,1

1,,02ED ??=- ???

u u u r 于是AF u u u r ·1EA u u u r

=0，AF u u u r ·ED u u u r =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ?=

所以AF ⊥平面1A ED

(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =r ，则0

u EF u ED ?=??=??r u u u r g r u u u r

g ,即102102

y z x y ?+=????-+=?? 不妨令X=1,可得(1,21u →=-）。由（2）可知，AF →

为平面1A ED 的一个法向量。

于是2cos

,==3||AF AF |AF|

u u u →→

→

→

→

→

?，从而5sin ,AF u →→

所以二面角1A -ED-F 的正弦值为

53

方法二：（1）解：设AB=1，可得AD=2,AA 1=4,CF=1.CE=12

链接B 1C,BC 1，设B 1C 与BC 1交于点M,易知A 1D ∥B 1C ，由

1CE CF 1

==CB CC 4

,可知EF ∥BC 1.故BMC ∠是异面直线EF 与A 1D 所成的角，易知BM=CM=11

B C=52

,所以2223cos 25BM CM BC BMC BM CM +-∠=

=g ,所以异面直线FE 与A 1D 所成角的余弦值为35

（2）证明：连接AC ，设AC 与DE 交点N 因为

1

2

CD EC BC AB ==，所以Rt DCE Rt CBA ??:，从而CDE BCA ∠=∠，又由于90CDE CED ∠+∠=?,所以90BCA CED ∠+∠=?，故AC ⊥DE,又因为CC 1⊥DE 且1CC AC C ?=，所以DE ⊥平

面ACF ，从而AF ⊥DE.

连接BF ，同理可证B 1C ⊥平面ABF,从而AF ⊥B 1C,所以AF ⊥A 1D 因为

1DE A D D ?=，所以AF ⊥平面A 1ED

(3)解：连接A 1N.FN,由（2）可知DE ⊥平面ACF,又NF ?平面ACF, A 1N ?平面ACF ，所以DE ⊥NF,DE ⊥A 1N,故1A NF ∠为二面角A 1-ED-F 的平面角 易知Rt CNE Rt CBA ??:，所以

CN EC

BC AC

=

，又5AC =所以5CN =，在22130

5

Rt NCF NF CF CN Rt A AN ?=+=

V 中，在中2211430NA A A AN =+= 连接A 1C 1,A 1F 在22

11111114Rt AC F A F AC C F ?=+=中，

222111112

cos 23

A N FN A F Rt A NF A NF A N FN +-?∠==?在中，。所以15sin 3A NF ∠= 所以二面角A 1-DE-F 5

2（浙江）已知m ＞1，直线2:02

m l x my --=，椭圆2

22:1x C y m +=，1,2F F 分别为椭

圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两

点，

12AF F V ，12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭

圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

（Ⅰ）解：因为直线:l 202m x my --=经过2

2(1,0)F m -，2212

m m -=,

得22m =，

又因为1m >，所以2m =， 故直线l 的方程为2

202

x -

=。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y 。

由2222

2

1m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得

则由2

2

28(1)804

m m m ?=--=-+>，知

28m <，

且有212121

,282

m m y y y y +=-=-g 。

由于12(,0),(,0),F c F c -， 故O 为12F F 的中点，

由2,2AG GO BH HO ==u u u r u u u r u u u r u u u r

，

可知1121(,),(,),3333

x y x y G h 设M 是GH 的中点，则1212

(,)66

x x y y M ++， 由题意可知2,MO GH <

即22

2212121212()()4[()()]6699

x x y y x x y y ++--+<+ 即12120x x y y +<

而22

12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++

所以21

082

m -<

即24m <

又因为1m >且0?> 所以12m <<。

所以m 的取值范围是(1,2)。

3（辽宁）设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆

C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o

,2AF FB =u u u r u u u r

. （Ⅰ）求椭圆C 的离

心率；（Ⅱ）如果|AB|=

15

4

，求椭圆C 的方程. 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.

（Ⅰ）直线l 的方程为 )y x c =-，其中c =

联立2222),1

y x c x y a b ?=-?

?+=??

得22224(3)30a b y cy b ++-=

解得22122222

(2)(2)

,33c a c a y y a b a b +-==++

因为2AF FB =u u u r u u u r

，所以122y y -=. 即

222222

(2)(2)

233c a c a a b a b

+-=?++ 得离心率 23

c

e a ==. ……6分

（Ⅱ）因为21AB y =-

2221534a b

=+.

由23c a =

得3b a =

.所以515

44

a =，得a=3

，b =椭圆C 的方程为22

195

x y +=. ……12分

4（北京）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于1

3

-.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得

111

113

y y x x -+=-+-g 化简得 2234(1)x y x +=≠±.

故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±

（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为

(3,)M y ,(3,)N y .

则直线AP 的方程为001

1(1)1

y y x x --=

++，直线BP 的方程为001

1(1)1

y y x x ++=

-- 令3x =得000431M y x y x +-=

+，00023

1

N y x y x -+=-.

于是PMN V 得面积

又直线AB 的方程为0x y +=

，||AB = 点P 到直线AB

的距离d =. 于是PAB V 的面积 当PAB

PMN S S =V V 时，得2

000002

0||(3)|||1|

x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，

所以20(3)x -=20|1|x -，解得05|3

x =。 因为220034x y +=

，所以0y = 故存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，此时点P 的坐标

为

5(,3. 解法二：若存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，设点P 的坐标为

00(,)x y

则1

1||||sin ||||sin 22

PA PB APB PM PN MPN ∠=∠g

g . 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以

||||

||||

PA PN PM PB =

所以

000|1||3|

|3||1|

x x x x +-=-- 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53

= 因为220034x y +=，所以033y =±

故存在点P S 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，此时点P 的坐标为533(,)3

±

. 5（2江苏）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15

92

2=+y x 的左、右顶

点为A 、B ，右焦点为F 。设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点设M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。（1）动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）

设

3

1

,221=

=x x ，求点T 的坐标；（3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m

无关）。

[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。 （1）设点P （x ，y ），则：F （2，0）、B （3，0）、A （-3，0）。 由422=-PB PF ，得2222(2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92

x =。 故所求点P 的轨迹为直线92

x =。

（2）将3

1,221==x x 分别代入椭圆方程，以及0,021<>y y 得：M （2，53

）、N （13

，20

9

-

） 直线MTA 方程为：

03

52303y x -+=

+-，即113y x =+，

直线NTB 方程为：

03

2010393

y x --=

---，即5562y x =-。 联立方程组，解得：7

103x y =???

=??

， 所以点T 的坐标为10(7,)3

。 （3）点T 的坐标为(9,)m

直线MTA 方程为：

03093y x m -+=

-+，即(3)12m

y x =+， 直线NTB 方程为：03093y x m --=

--，即(3)6

m

y x =-。 分别与椭圆1592

2=+y x 联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠，

解得：2223(80)40(,)8080m m M m m -++、

222

3(20)20(,)2020m m

N m m --++。 （方法一）当12x x ≠时，直线MN 方程为：222

22

2

222

203(20)

202040203(80)3(20)80208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。此时必过点D （1，0）；

当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）。

（方法二）若12x x =，则由2222

24033608020m m m m --=++及0m >，得210m =，

此时直线MN 的方程为1x =，过点D （1，0）。 若12x x ≠，则210m ≠，直线MD 的斜率222

2

4010802403401

80MD

m

m m k m m

m +==---+， 直线ND 的斜率222

2

201020360401

20ND

m

m m k m m

m -+==---+，得MD ND k k =，所以直线MN 过D 点。

?D 'A B C

D

M O

A '

B '

C '

?因此，直线MN 必过x 轴上的点（1，0）。

6（四川）已知正方体ABCD －A B C D ''''的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点

O 是对角线BD '的中点.（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和

BD '的公垂线；（Ⅱ）求二面角M －BC '－B '的大小；（Ⅲ）求

三棱锥M －OBC 的体积.

本小题主要考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正

方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法一：（1）连结AC ，取AC 中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK 因为M 是棱AA ’的中点，点O 是BD ’的中点 所以AM 1

//'//2

DD OK 所以MO //AK

由AA ’⊥AK ，得MO ⊥AA ’

因为AK ⊥BD ,AK ⊥BB ’，所以AK ⊥平面BDD ’B ’ 所以AK ⊥BD ’ 所以MO ⊥BD ’

又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交 故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线

（2）取BB ’中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC ’B ’ 过点N 作NH ⊥BC ’于H ，连结MH 则由三垂线定理得BC ’⊥MH

从而,∠MHN 为二面角M -BC ’-B ’的平面角

MN =1,NH =BNsin 45°=122

224

=g

在Rt △MNH 中，tan ∠MHN =

222

4

MN NH ==故二面角M -BC ’-B ’的大小为arctan 2

(3)易知，S △OBC =S △OA ’D ’，且△OBC 和△OA ’D ’都在平面BCD ’A ’内 点O 到平面MA ’D ’距离h ＝12

V M -OBC =V M -OA ’D ’=V O -MA ’D ’=13S △MA ’D ’h =

124

解法二：

以点D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D -xyz

则A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,1,0),A ’(1,0,1),C ’(0,1,1),D ’(0,0,1) (1)因为点M 是棱AA ’的中点,点O 是BD ’的中

点

所以M (1,0, 12

),O (12

,12

,12

)

11

(,,0)22

OM =-u u u u r ,'AA u u u r =(0,0,1),'BD u u u u r =(-1,-1,1)

'OM AA u u u u r u u u r g =0, 11

'22

OM BD =-+u u u u r u u u u r g +0=0

所以OM ⊥AA ’,OM ⊥BD ’

又因为OM 与异面直线AA ’和BD ’都相交 故OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线.

(2)设平面BMC '的一个法向量为1n u r

=(x ,y ,z )

BM u u u u r =(0,-1,1

2

), 'BC u u u u r ＝(－1,0,1)

110

'0n BM n BC ?=??=??u r u u u u r g u r u u u u

r g 即1020

y z x z ?-+=???-+=? 取z ＝2,则x ＝2,y ＝1，从而1n u r

=(2,1,2) 取平面BC 'B '的一个法向量为2n u u r

＝(0,1,0)

cos 1212121

,3

||||n n n n n n <>===u r u u r

u r u u r g u r u u r g 由图可知，二面角M -BC '-B '的平面角为锐角 故二面角M -BC '-B '的大小为arccos 1

3

(3)易知，S △OBC ＝14S BCD 'A '

＝1144

=g

设平面OBC 的一个法向量为3n u u r

＝(x 1,y 1,z 1)

'BD u u u u r

＝(－1,－1,1), BC uuu r ＝(－1,0,0) 31'0

n BD n BC ?=??=??u u r u u u u r g u r u u u

r g 即111100x y z x --+=??-=? 取z 1＝1,得y 1＝1，从而3n u u r

＝(0,1,1)

点M 到平面OBC 的距离d

＝31||4||BM n ==u u u u r

g u u r

V M －OBC ＝1

11

334424

OBC S d ?==g g

g