湘教版九年级数学上册第三章图形的相似教案(共19课时)
第三章 图形的相似
第一课时（总第33课时）
课题：比例的基本性质 教学目标：
1. 通过与小学所学有关比例的知识的类比，学习成比例线段的有关概念，进一步体会类比的方法．
2. 通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k ”)的思想方法． 3 能熟记比例的基本性质；能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质． 4 能够运用比例的性质进行简单的计算和证明 【教学重点】
比例的基本性质及其证明. 【教学难点】
等比性质的证明. 【教学过程】 一、复习引入：
1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题：
（1）如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则：x= 。
线段的比有顺序性，a:b 和b:a 通常是不相等的。
成比例线段也有顺序性，如d
c
b a =叫做线段a 、b 、
c 、
d 成比例，而不能说成是b 、
a 、c 、d 成比例。 二、探究交流：
1、比例的基本性质
问题1：如果d
c
b a =（或a:b=c:d ），那么ad=b
c 吗？即比例的两外项的积等于两
内项的积，那么如何证明呢？（引导学生一起证明）
问题2：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成） 结论：ad=bc ? a:b=c:d ． 2、合比性质 P63例1结论：如果d c b a =，那么d
d c b b a +=+． （3）等比性质
问题6：试猜想
n m d c b a ===....（0...≠+++n d b ），与n
d b m c a ++++++......相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法）
3．例题1：从ad=bc ，根据什么性质可以得到d:b=c:a ？从ad=bc ，还可以得到哪些比例？
解：从ad=bc ，根据等式的性质（两边同时除以ab ）可以得到a c b d =（即d:b=c:a ）,
从ad=bc ，还可以得到下面7种比例：
∵ad=bc ，两边同时除以ac 得：a b
c d =
（即d:c=b:a ）； 两边同时除以bd 得：d c
b a =（即a:b=c:d ）； 两边同时除以cd 得：d b
c a =
（即a:c=b:d ）；
另外，把上面的4个比例式中的左右两边对调，还可以得到4个比例式，即：
b d a
c =；c
d a b =；b a d c =；c a d b =
．
（这8个比例式不需要学生记忆，只要能正确地写出需要的那一个就可以了。） 例题2： P63例（略） 三、课堂练习：
1.若m 是2、3、8的第四比例项，则m ＝ ；
2．若x 是a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝；
若线段x 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝3，b ＝27，则x ＝； 3．课本P205.练习3。
4．若a:b:c=2:3:7,且a ＋b ＋c=36,则a= ； b= ； c= 。 四、本课小结： 1．比例的性质：
比例的基本性质：a:b=c:d ?ad=bc ；
a:b=b:c ?ac b =2
．
合比性质：如果d c b a =，那么d d c b
b a ±=
±． 等比性质：如果n m d c b a =
???==（0≠+???++n d b ），那么n d b m c a +???+++???++＝b a
．
2．等比性质的证明中渗透了设参数的思想，这是数学中的一种重要思想。
五、布置作业：
课本习题3.2A 组第1，2题；B 组1
补充：已知a:b:c=4:3:2,且a ＋3b －3c=14,求a 、b 、c 的值。
第二课时（总第34课时）
课题：成比例线段（1）
教学目的：
1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念
2、会计算两条线段的比。
3、掌握成比例线段的判定方法。
4、测量图形中线段长度，计算线段的比，培养学生动手操作能力。 重点：线段的比与成比例线段的概念。 难点：测量的精确度。 教学过程： 一、复习引入：
⑴什么是相似的图形？
（2）怎样度量线段的长度？怎样比较两条线段的大小？ 二、新授：
（一）阅读课本第64-65页，思考并回答下列问题：
1、一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段PQ ，P ＇Q ＇的长度分别为m,n ，那么把长度的比
m
n
叫做这两条线段PQ 与P ＇Q ＇的比。记作 Q P m
n
PQ Q P ''=''或,：PQ=n:m 其中，P ＇Q ＇，PQ 分别叫做比的前项、后项，如果
m
n
的比值为k,那么也可写成
PQ k Q P k PQ
Q P ?=''='
'或,。 （1）、在比
b
a
或a ∶b ，a 是，b 是。 ⑵、两条线段的要统一。
⑶、在同一单位下线段长度的比与选用的无关。 ⑷、线段的比是一个没有的数。
（二）建立比例线段的概念
1、复习两条线段比的定义。 同学们学习了两条线段比的有关知识，现在我们来学习和研究
比例线段的有关问题，在学习新知识之前，我们先复习一下两条线段比的定义及
求法，请同学们回忆一下什么是两条线段的比？求下面两条线段的比。 引例：如图：AB=50，BC=25 A ＇B ＇=20 B ＇C ＇=10
求BC AB
，C B B A '
''' 解：∵22550==BC AB 21020
==''''C B B A
∴BC AB =C B B A '
''' 2、分析得出四条线段AB 、BC 、A ＇B ＇、B ＇C ＇是成比例线段。 ⑴题目的已知中共有几条线段？分别是哪4条？ ⑵其中的两条线段AB 、BC 的比是多少？ 另外的两条线段A ＇B ＇，B ＇C ＇的比是多少？
其中的两条线段BC
AB
的比与另外的两条线段的比有何关系？
⑶我们称AB 、BC 、A ＇B ＇、B ＇C ＇这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 ⑷请同学们根据这个例子想一想什么样的四条线段叫做成比例线段？ ⑸学生叙述，教师板书比例线段的定义：
一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。（举例说明） 三、例题评析：
例1、A 、B 两地的实际距离AB= 250m ，画在一张地图上的距离A'B'=5cm,求图上的距离与实际距离的比。
分析：此题实为求两线段之比，要注意单位的统一。
说明：本题所求结果就是地图上所标的比例尺，一般地有：比例尺＝
实际距离
图上距离
，运用此式，可以在比例尺、图上距离、实际距离这三个量中知二求
一。
例2：已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,∠A ＝30°,斜边AB ＝2。 求⑴BC AB ，⑵AB
AC
分析：为求此二比，应先设法求出BC 与 AC 之值，考虑到图形的特点，可利用直角三角形的相关性质去求。
说明：题目中AB=2这一条件可以改变其值并不影响结果。 四、巩固练习
学生练习 P65 1，2
五、小结：相似形→两条线段的比→成比例线段
六、作业：练习册P33--34
第三课时（总第35课时）
课题：成比例线段（2）
教学目的：
1、知道线段的比的概念。理解成比例线段的概念
2、会计算两条线段的比。
3、掌握成比例线段的判定方法。
4、测量图形中线段长度，计算线段的比，培养学生动手操作能力。
重点：线段的比与成比例线段的概念。
难点：测量的精确度。
教学过程：
一、知识回顾：
1、什么叫做两数的比？
2、线段的比：线段的长度比叫这两条线段的比。
3、什么叫比例？有哪些性质？比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
4、比例的其它性质。
5、比例尺：生活常识:同一时刻物高与影长成比例.图上长度与实际长度的比通常称为比例尺.
二、知识应用
1、已知线段a=10mm , b=6cm c=2cm , d=3cm
问：这四条线段是否成比例？为什么?
2.下列各组中四条线段,其中成比例线段的是( )
A. a=2㎝ b=4㎝ c=6㎝ d=8㎝
B. a=1/2㎝ b=1/4 ㎝ c=1/6㎝ d=1/8 ㎝
C. a=1㎝ b=2㎝ c=3㎝ d=4㎝
D. a=2㎝ b=4㎝ c=6㎝ d=12㎝
3.已知线段a=3 b=8 c=6 d=4
(1)线段a 、 b 、 c 、 d是否成比例?
(2)线段a、d、c、b是否成比例?
4.已知三个数1、2、√3 请你再添上一个数（只填一个数），
使它们构成一个比例式，则这个数是。
5.已知线段a=2cm，b=3cm，c=6cm , 且a、b、c、d成比例，
则d=cm;若a、b、d、c 成比例，则d=cm。
6、某日上午，学校教学楼在水平地面上的影子长9米，这时身高1.70米的小名测得身高1.60米的小量的影长为0.8米，小名和小量想知道教学楼的高度，他们解决这个问题吗？
在同一时刻，物高与影长是成比例的。
即甲物高甲影长＝乙物高乙影长，
或者甲物高乙物高＝甲影长乙影长。
特别要注意比例式中各项的对应顺序
变式训练：比如，量得树AB 的影长BC=20m ，木杆长A'B'=1.5m ，影长B'C'=2.5m, 求:树AB 的高
例2、已知：如图，EF
BE AD
AB =，AB=10cm ，
AD=2cm ，BC=7.2cm,E 是BC 的中点， 求EF ，BF 的长。
三、关于“黄金分割”
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果AC
BC AB AC =
，那么，称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫 AB 的黄金分割点.AC 与 AB 的比叫做黄金比. 设AB=1，AC=x 就有：x
x
x -=
11解得：618.0215≈-=x 黄金分割的作图：
四、小结
五、作业：P66 2 P57 A 3、4 B 6
第四课时（总第36课时）
课题：平行线分线段成比例（1） 教学目的：
1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.
2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．
3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．
4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美。 重点：平行线等分线段定理。
难点：平行线等分线段定理的应用。 教学过程 一、引入新课
由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线 ，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？
（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理） 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．
下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）． 二、新知探究 1、做一做：
1）在横格纸上画直线l 1，使得l 1与横线垂 直 ，观察l1被各条横线分成的线段是否相等。 2）再画一条直线l 2（与l 1不平行），那么l 2被各条横线分成的线段有何关系？ 结 论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
2、定理证明：已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC 求证： DE=EF
证明：过E 作GH ∥AC ，分别交l1、l3于点G 、H ∵ l1∥l2∥l3 ∴得到平行四边形ABEG 和
平行四边形BCHE ∴EG =AB ，EH=BC ∵AB=BC ∴EG=EH
又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△DEG ≌△FEH ∴DE=EF 定理的符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ DE=EF
推论:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BC，则F是AC的中点，
EF是△ABC的中位线。
四、巩固练习
1、若AB∥CD∥EF，AC=CE，则 BD=DF=AC=CE.( )
2、已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG=，H是的中点，F是的中点。
3、已知AD∥EF∥BC，且AE=BE，那么DF=。
4、已知AB∥CD∥EF，AF交BE于O，且AO=OD=DF，若BE=60厘米，那么
BO=厘米.
5、已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CM交AB 于N，如果AB=6厘米，则PN=厘米.
6、已知△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD交BC于E，DF∥CB交AB于F，AF=4厘米，则AB=厘米.
7.已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，CE、AF分别交BD 于M、N，求证：BM=MN=ND.
五、小结
定理;如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
第五课时（总第37课时）
课题：平行线分线段成比例（2） 教学目的：
1. 使学生掌握平行线分线段成比例定理及推论.
2. 能够利用定理进行推理，通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．
3. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美。 重点：平行线分线段成比例定理。
难点：平行线分线段成比例定理的应用。 教学过程 一、复习引入
上节课我们学过平行线的性质是什么？
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么在其他直线上截得的线段也相等.
如图，直线 l1∥l2∥l3 如果 AB=BC ，那么DE=EF 问题：如图，直线 l1∥l2∥l3 如果 A B ≠BC.
也就是说：AB 、BC 的比值不等于1.那么结果怎样？ 二、探究新知
假设3
2=BC AB 则把AB 二等分，把BC 三等分。
再过分点做BE 、CF 的平行线，
由平行线等分线段知，这组平行线也把DE 、EF 分别二等分、三等分。
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
A 型图 X 型图
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 三、应用举例
1、已知： l1∥l2∥l3 则:=BC
AB
， 2、如图l1∥l2∥l3 ，
（1）已知BC=3，=EF
DF
3，则AB=. （2）已知AB=a,BC=b ，EF= c ， 则DE=.
3、如图,已知l1∥l2∥l3 ，AB=3厘米， BC=2厘米，DF=4.5厘米. 则EF=，DE= .
4、已知AA 1∥BB 1∥CC 1，AB=2 BC=3，A 1B 1=1.5，求B 1C 1的长。
5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD=3，AB=4，AE=6，求AC 的长。
6、已知：FG ∥AE ∥BC ，GH ∥CD ，求证：HD
EH
BF AF
四、小结
这节课的主要内容：
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
五、作业 P71 1、2 A 、B
第六课时（总第38课时）
课题：相似图形
教学目标：
1．理解相似形的概念，了解相似形是两个图形之间的关系。
2．通过放大与缩小，画与三角形、四边形相似的图形。
3. 由于需要的不同，要制定出大小不一定相同的图形，培养学生的观察能力。教学重点和难点：
重点：理解把一个图形放大与缩小得到的图形与原图形是相似的
难点：通过放大与缩小，画与三角形、四边形相似的图形.
教学过程：
一、导入新课
挂上大小不一样的中国地图两张及两张大小不同的长城图片，“神七”图片等
供同学观察，并看课本第61页的图，提出问题：这几组图片有什么相同的地方呢?
这些图片大小虽然不一样，但形状是相同。
二、讲解新课
由于不同的需要，我们用同一底片冲洗、放大得到的相片有1寸的，也有2寸的，也有更大的，这些大小不一样的相片，其形状是相同。同学们想一想，在毕业证书贴的相片与学籍卡片上的相片、学习证的相片大小不一定一样，但形状相同，如果不相同会有什么后果呢?
大小不相同的中国地图或世界地图，其形状也是相同的，只是由于需要的不同，印制成大小不一的图片。对于某一地区，也经常会绘制成各种大小不同的建筑物、山岗等所处的位置都是相同，同学们想一想，如果两张地图(同一地区)的形状不一样，那就会给我们许多错觉，就会产生许多麻烦的事情。
在日常生活中我们会看到许多这样形状相同，而大小不一定相同的图形。直观上，把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似的（在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形）。同学们你还能说出哪些相似的图形吗?
(同学们思考、讨论、交换意见)国旗、国旗上的五角星。画一个图形放在投影机上映射到屏幕上的图形与原图、平面镜上看到你自己的像等。
如图所示的是一些相似的图形。
想一想：放大镜下的图形和原来的图形相似吗?
你看过哈哈镜吗?哈哈镜中的形像与你本人相似吗?
还有一些图形，看起来有点相像，但它们不是相似的图形。
为什么有一部分图形看起来相像，但不相似呢?这就是数学上说的相似图形还有其特征，就是这章要探索的内容。
三、课堂练习
1、已知△ABC∽△A′B′C′，且∠A=48°，AB=8，A'B'=4，AC=6，
求∠A'的大小和A'C'的长。
2、课本第62动脑筋，你能画出两个或更多的相似形吗?（注意一起研究）
3、学生练习P63 练习2
四、小结
形状相同而大小不一定相同的图形称为相似形，相似形在日常生活中经常碰到。如何画出相似形？
五、作业
练习册P31--32
第七课时（总第39课时）
课题：相似三角形判定（1） 教学目标：
1、掌握三角形相判定的预备定理------平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
2、体验定理的推导过程，提高对比、推广、化归等数学思想。
3、加强思维能力训练，提高解决实际问题能力，树立从一般到特殊，从特殊到一般的辩证主义观点。
重点：相似三角形的判定方法。 难点：预备定理的两种基本图形。 教学过程： 一、复习导入
1.______________________的两个三角形, 叫做相似三角形．
2.相似三角形的特征__________________________． 如图，如果△ABC ∽△DEF, 那么， ，
3、相似比的意义。
如何判断两个三角形是否相似？
除了根据相似三角形的定义来判断是否相似， 还有其它的方法吗？ 二、探究交流
已知：DE//BC ，且D 是边AB 的中点，DE 交AC 于E .猜想：△ADE 与△ABC 有什么关系?并证明。 ∵ DE // BC
∴∠1 =∠B ，∠2 =∠C 且 ∠A= ∠A ∴△ADE 与△ABC 的对应角相等 又D 是边AB 的中点， 21
===BC DE AC AE AB AD ∴△ADE 与△ABC 的对应边成比例 ∴△ADE ∽△ABC
当点D 是AB 上任意一点时，上面的结论还成立吗？ 学生探究，分组讨论得出： 结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似。
变式：DE 与AB 、AC 的延长线相交。如图 即：如果DE ∥BC ，那么△ADE ∽△ABC 归纳总结定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线） 相交，截得的三角形与原三角形相似。 注意：对应边和对应角的位置。
三、知识应用：
1、已知：DE ∥BC ，EF ∥AB.求证：△ADE ∽△EFC.
2、如图，点D 为△ABC 的边AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，延长DE 至F ，使DE=EF.求证:△CFE ∽△ABC
3、如图，AB ∥GH ∥CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于G ，AB=2cm ，CD=3cm ，求GH 的长。
5. 已知：DE ∥BC ，AE=50cm ，EC=30cmBC=70cm ，∠BAC=45°，∠ACB=40求：（1）∠AED 和∠ADE 的大小。（2）求DE 的长。
6、如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，BE 的延长线交CD 的延长线于G ，
(1)求证：BC
AE
GB GE
(2)若GE=2，BF=3，求EF 的长。
四、小结
五、作业：P78 1、2
第八课时（总第40课时）
课题：相似三角形判定（2） 教学目标：
2、掌握三角形相似的判定定理1。
2、进一步提高对比、推广、化归等数学思想，加强思维能力训练，提高解决实际问题能力，树立从一般到特殊，从特殊到一般的辩证主义观点。 重点：相似三角形的定义，相似三角形的定理。
难点：利用相似三角形的定义。突破难点的关键为是用对比，化归等数学思想。 教学过程：
一、复习旧知识，运用类比的思想方法引导学生提出问题 1、什么叫相似三角形？怎么表示？
注意：与三角形全等的书写类似，表示对应角的字母顺序需要一样 2、上节课我们还学习了一个判定两三角形相似的定理，哪位同学能说说
3、判定两个三角形相似还有哪些方法？根据昨天的猜想，今天我们开始来研究这个问题。 二、探究学习
做一做：任意画△ABC 和△A'B'C' ，使∠A=∠A'，∠B=∠B' （1） ∠C =∠C' 吗？
（2） 分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？ （3） 把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等的两三角形相似．
用数学符号表示这个定理：∵∠A=∠A '，∠B =∠B '，∴?ABC ∽?A 'B 'C '. 对于三角形来说，有两个角对应相等意味着三个角都对应相等。 下面来证明这个定理。
三、应用举例，变式练习
例1：已知：?ABC 和?DEF 中，∠A=40°，∠B =80°，∠E =80°，∠F =60°，求证：?ABC ∽?DEF .
让学生运用本节学习的定理自己证明。
证明：∵在?ABC 中，∠A=40°，∠B =80°∴∠C=180°- 40°- 80°=60° ∵在?DEF 中，∠E =80°，∠F =60°∴∠B =∠E ，∠C=∠F ∴?ABC ∽?DEF （两角对应相等的两三角形相似）. 课堂练习（投影）
1、应用这节课学的判定定理1判定下列三角形中哪些是相似的？哪些不是相似的？相似的用线段把它们联起来.
例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.
说明：在教师的引导下，先由学生自己作出图形，并写出已知、求证、证明.
40° 65° 40° 75° 70° 80° A
B
C D E 65° 45° 45° 50°
A
B C
D 然后教师总结并给出解答参考： 已知：如图（7），Rt ?ABC 中，CD 是斜边上的高． 求证：?ABC ∽?CBD ∽?ACD ． 课堂练习（投影）
1、填空：（填上“不”、“不一定”或“一定”） 两个等腰三角形都有一个角为45°，这两个等腰三角形
_______相似；如果都有一个角为95°，这两个等腰三角形_______相似．
2、如右图，(1)若∠B=∠C ，则 ?ABE ∽?______；
?DBO ∽?______．
(2) 若∠B=∠C ，且∠1=∠A ，则图中相似三角形共有
______对．
四、小结 （教师可向学生提问：到目前为止，我们学习了哪些判定三角形相似的方法？然后师生共同总结）
直角三角形的一个重要结论：
∵∠ACB=90°,CD ⊥AB ∴?ABC ∽?ACD ∽?CBD
五、作业：课本P .76 1、2、3 填空题
（1）_______相等， ______成比例的两个三角形相似；
（2）DE 是ΔABC 的中位线，则ΔAD E ∽ ___，相似比是____; (3)所有的等腰直角三角形都______; 选择题
（1）ΔABC ∽ΔA`B`C`，AB=2，BC=3，A`B`=1，则B`C`=（ ）
A 1.5
B 3
C 2
D 1
(2) ΔABC ∽ΔA`B`C`,∠A =400∠B=1100,则∠C=（ ）
A 400
B 1100
C 1200
D 300
第九课时（总第41课时）
A B
C D
图（7）
A B
C
D E
O
1
课题：相似三角形的判定（3）
教学目标
1．使学生了解判定定理2的证明方法并会应用．
2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．
3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生动手操作、自主探索、猜测验证的能力．
4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
教学重点：判定定理3的应用．
教学难点：了解判定定理3的证题方法与思路．
教学过程
一、复习提问
1．我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？
2．叙述判定定理1，定理1的证题思路是什么？（①作符合要求的图形，动手操作、自主探索、猜测验证。
定义判定方法
全等三角形三角、三边对应相等ASA AAS SAS SSS HL 相似三角形三角对应相等, 三边对应成比例
类比三角形全等判定的“SAS”让学生得出：
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
简单说成：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似．
∵在和中，
且．
∴∽
问：如何验证这个定理成立呢？
学生动手操作。证明这个定理
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴△ADE∽△ABC，
再证明：△ADE≌△A'B'C'.
三、应用举例
例1 依据下列各组条件，判定两个三角形是不是相似，并说明为什么：
（1），，
（2），，
(3) 已知：?ABC和?DEF中，∠B=∠E=80°，AB=4.2,AC=3,DE=2.1,DF=1.5.
例 2 已知：?ABC和?DEF中，∠A=70°，∠F=70°，AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.求证：?ABC∽?DEF.
例3已知：Rt?ABC 和Rt ?DEF 中，∠A=90°，∠D =90°，
2
1
==EF BC DE AB ，求证：?ABC ∽?DEF .
问：若两个直角三角形中，任意两组对应边成比例，那么这两个直角三角形是否一定相似？ 练习：
1．如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是（ ）
A. AB2=BC ·BD
B. AB2=AC ·BD
C. AB ·AD=BD ·BC
D. AB ·AD=AD ·CD 2．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AC 上一点，
DE ⊥AB 于点E ，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD 的长为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3.已知：如图，△ABC 中，P 、D 是AB 、AC 边上的点，连结DP ．要使 △ ACP ∽△ABC ．需添加的一个条是。
四、小结
1．让学生了解判定定理2的验证思路与内容． 2．会利用判定定理2判定两个三角形是否相似．
五、布置作业
教材中P79 1，2 A 组5、6 B 组3．
第十课时（总第42课时）
课题：相似三角形的判定（4） 教学目标
1、掌握三角形相似的判定定理3；会用三角形相似的判定定理3来证明有关问题；
3、通过用三角形全等的判定方法类比得出三角形相似的判定方法，使学生进一步领悟类比的思想方法。
4、通过解题的引申练习，培养学生练习后反思的好习惯。 重点和难点
理解相似三角形的判定定理3，并能用其来解决有关问题 教学设计 一、知识回顾
你已经知道的相似三角形的判定方法有哪些？
1、用定义判定：三个角对应相等，三边对应成比例。
2、预备定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
3、判定定理1：两个角对应相等的三角形相似。
判定定理2：两条边对应成比例，且夹角相等 的两个三角形相似。 两个三角形 形状 大小 对应边 对应角 符号 相似比 全等三角形 相同 相等 相等 相等 ≌ K=1 相似三角形
相同
不一定相等 成比例
成比例
∽
K 为正实数
判定定理中比值为1改成比值为正数“Ｋ”，就可得到相似三角形的判定方法．写出猜想命题．
猜想：类似三角形全等的“边边边”定理，在三角形相似中：如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似吗？ （类比边边边公理）△ABC 与△A ′B ′C ′中，
若B A AB ''= C A AC ''= B B BC
''=K ，则有△ABC ∽△A ′B ′C ′．
三、证明定理
用作图、度量、观察的方法，证明猜想一，形成判定定理1。（参考书P71—72）
三角形相似的判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例的两三角形相似。
四、例题巩固
例1、已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，并且A ′B ′=3，AB=2.4，BC=1.6，∠B=65°， ∠C=75°。求B ′C ′的长，以及∠A ′，∠B ′的度数。
例2、满足一个三角形三边长为3，4，3.5厘米,另一个三角形的三边长为1.8,2.4,2.1厘米的两个三角形相似吗？
例3、如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′ 中，∠C =90°，
∠C ′ =90°，且'
'''C A AC
B A AB
求证： Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’
五、练习
1、已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似. (1)AB=3，BC=4，AC ＝6 DE ＝6，EF ＝8，DF ＝9 (2)AB=4， BC=8，AC ＝10 DE ＝20，EF ＝16，DF ＝8 (3) AB=12，BC=15，AC ＝24 DE ＝16，EF ＝20， DF ＝30
2、已知ABC 的三边长分别为6cm ，7.5cm ，9cm ，△DEF 的一边长为4cm ，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）. A. 2cm ，3cm ； B. 4cm ，5cm ； C. 5cm ，6cm ； D. 6cm ，7cm . 3. 求证：三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形是否相似。
六、课堂小结 思考几个问题
（1） 相似三角形的定义
（2） 什么是相似比？相似比有没有顺序？
（3） 在确定相似三角形的对应边、对应角时，怎样避免定位上的错误？ （4） 相似三角形与全等三角形有何区别与联系？
（5） 相似三角形的判定定理1是什么？怎么得出来的？ 七、作业P85 1、2 P89 A 4、5
教学后记
三角形相似与全等的判定有类似之处，能否让学生用类比的方式，猜想并独立发现判定方法，关键在教师正确的引导.怎样想到一个新知识比怎样证明一个已知结论更重要，这就需要教师设计富有启发性的问题，引导学生深入思考，充分运用深层次的类比联想和特殊化等手段来实现独立探索知识的过程.
(完整word版)湘教版九年级数学上册知识点总结简洁重点的
九（上）数学知识点覃勉 第一章一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2、分解因式法 3、配方法 4、公式法 （1）求根公式： b2-4ac≥0时，x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根（＞0有两个实数根，=0两个相等实数根）.当b2-4ac ＜0时，方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。 第三章图形的相似 1、线段的比 一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果ａ/ｂ＝ｃ/ｄ，那么ａｄ＝ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三 角形．如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ相似，且Ａ′，Ｂ′，Ｃ′分别与Ａ，Ｂ，Ｃ对应，那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方
湘教版九年级上册数学期末试卷
九年级上册数学期末测试试卷 总分：120 时间：120 姓名 得分 一.选择题（每小题3分，共30分） 1.方程x 2 =x 的解是 （ ） =0 =1 =±1 =1,x=0 2.在Rt △ABC,∠C ＝90°, sinB ＝ 3 5 ,则sinA 的值是( ) A.35 B.45 C.53 D.54 3．一斜坡长10m ，它的高为6m ，将重物从斜坡起点推到坡上4m 处停下，则停下地点的高度为 （ ） A ．2 m B ． m C ．3 m D ．4 m 4.方程x 2-2x-3=0变为(x+a)2 =b 的形式,正确的是 ( ) A. (x+1)2 =4 B (x-1)2 =4 C. (x+1)2 =3 D.(x-1)2 =3 5．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD ，并使其面 积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 ( ) o B. 45o 6．用13m 的铁丝网围成一个长边靠墙面积为20m 2 的长方形，求这个长方形的长和宽，设平行于墙的一边为x m ，可得方程 ( ) A ．(13)20x x -= B ． 20)13(2 =-x x C ．113202x x ? ?-= ?? ? D ． 20)213(2 =-x x 7. 已知点M (－2，3 )在双曲线x k y = 上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(3，-2 ) B.(-2，-3 ) C.(2，3 ) D.(3，2) 8.在ABC 中,∠C=900 a,b,c 分别是∠A,∠B ,∠C 的对边.则 （ ） = B. b= = = 9、已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）是反比例函数x k y =（0>k ）图象上的两点，若210x x <<，则有 （ ） A ．210y y << B ．120y y << C ．021< 九年级上学期期末考试数学试题 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B. 2 C．1和 2 D．－1和 2 2．cos60°－sin30°＋tan45°的值为( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 3．在反比例函数y＝k x (k<0)的图象上有两点(－1，y1)，(－ 1 4 ，y2)，则y1 －y2的值是( ) A．负数 B．非正数 C．正数 D．不能确定 4．某校为了解八年级学生每周课外阅读情况，随机调查了50名八年级学生，得到他们在某一周里课外阅读所用时间的数据，并绘制成频数分布直方图，如图所示，根据统计图，可以估计在这一周该校八年级学生平均课外阅读的时间约为( ) A．2.8小时 B．2.3小时 C．1.7小时 D．0.8小时 ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图) 5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是( ) A．9 m B．6 m C．6 3 m D．3 3 m 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10，则下列不正确的是( ) A．∠B＝60° B．a＝5 C．b＝5 3 D．tan B＝ 3 3 7．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似 中心，OD ＝12 OD ′，则A ′B ′∶AB 为( ) A ．2∶3 B ．3∶2 C ．1∶2 D ．2∶1 8．方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则 m 的值是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 9、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC ′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠ ABE ＝AE ED 10、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是1x =，则下列结论中正确的是（ ）． Ａ．0ac > Ｂ．0b < Ｃ．240b ac -< Ｄ．20a b += 第一章 反比例函数 探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1） 目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数 的概念； 2、理解反比例函数的概念和意义； 3、培养学生自主探究知识的能力。 重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。 探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、一次函数的概念： 一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。如：1 2 y x =-， 4y x =，… 二、新知探究： 类似地，有反比例函数： 1、概念： 一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成k y x =（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 2、强调： ①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠； ②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数； ④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。 例题讲评： 1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。 ⑴5y x = ⑵20.4 y x =- ⑶2x y =- ⑷2xy = 分析： ⑴5 y x = 是反比例函数，5k =； ⑵2 0.4 y x =- 不是反比例函数； ⑶2 x y =-是正比例函数； 第1章反比例函数 1.1 反比例函数 教学目标 【知识与技能】 理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式. 【过程与方法】 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力. 【情感态度】 培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值. 【教学重点】 理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式. 【教学难点】 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想. 教学过程 一、情景导入，初步认知 1．复习小学已学过的反比例关系，例如： (1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数) (2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数) 2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？ 【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础. 二、思考探究，获取新知 探究1：反比例函数的概念 （1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式. （2）利用（1）的关系式完成下表： （3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？ （4）平均速度v是所用时间t的函数吗？为什么？ （5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y之间可以表示成y=k （k为常数且k≠0）的形式， x 那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量，常数k称为反比例函数的比例系数. 【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t，其中自变量t可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值围.由于t代表的是时间，且时间不能为负数，所有t的取值围为t>0. 【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题. 2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？ (1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积S的关系； 湘教版九年级数学上册第一章测试题（含答案） (考试时间：120分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题 共36分) 一、选择题(每小题3分，共36分) 1．下列函数关系式中，y 不是x 的反比例函数的是( D ) A ．xy ＝5 B ．y ＝5 3x C ．y ＝－3x － 1 D ．y ＝2x －3 2．点P (－3，1)在双曲线y ＝k x 上，则k 的值是( A ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.1 3 3．下列图象中是反比例函数y ＝－2 x 图象的是( C ) 4．已知反比例函数y ＝k x 的图象经过P (－4，3)，则这个函数的图象位于( D ) A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 5．若函数y ＝3x m ＋ 1是反比例函数，则m 的值是( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 6．函数y ＝k x 的图象如图所示，那么函数y ＝kx －k 的图象大致是( C ) 7．在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p (Pa)与它的体积V (m 3)成反比例．当 V ＝200 m 3时，p ＝50 Pa.则当p ＝25 Pa 时，V 的值为( B ) A ．40 m 3 B ．400 m 3 C ．200 m 3 D ．100 m 3 8.如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2 x (k 2≠0)相交于A ， B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为( A ) A ．(－1，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－1) D ．(－2，－2) 第8题图 第11题图 第12题图 9．△ABC 的边BC ＝y ，BC 边上的高AD ＝x ，△ABC 的面积为3，则y 与x 的函数图象大致是( A ) 九上 第一章反比例函数 （一）反比例函数 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而 得到反比例函数的解析式； （二）反比例函数的图象与性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在 双曲线的另一支上． 4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形 PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 ． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概 而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时， 两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （三）反比例函数的应用 1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式． 2、反比例函数与一次函数的联系． 3、充分利用数形结合的思想解决问题． 第二章一元二次方程 （一）一元二次方程 1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20 ax bx c ++=（a、b、c为常数， a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。 2、把20 ax bx c ++=（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项（包括符号）。 （二）一元二次方程的解法 1、直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得； 如果方程能化成 (p≥0)的形式，那么进而得出方程的根。 2、配方法：配方式 基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程 第1章反比例函数 1.1反比例函数 一二旧知链接 1.下面的函数是反比例函数的是(). A.y=3x+1 B.y=x2+2x C.y=x2 D.y=3x 2.形如y=k x(k是常数,)的函数称为,其中x是,y是.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 3.下列函数中,属于反比例函数的是. ①y=2x+1;②y=2x2;③y=15x;④y=-23x;⑤x y=3;⑥2y=x;⑦x y=-1. 二二新知速递 1.在函数y=3x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.若函数y=k x k-2是反比例函数,则k=. 3.列出下列问题中的函数表达式,并指出它们是什么函数. (1)某农场的粮食总产量为1500t,则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式; (2)在加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式; (3)小明完成100m赛跑时,时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式. 1.在反比例函数y=2x中,自变量x的取值范围是(). A.x?0 B.x>0 C.x<0 D.一切实数 2.当路程s一定时,速度v与时间t之间的函数关系是(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 3.函数y=2k+1x是反比例函数,则k的取值范围是(). A.k?-12 B.k>-12 C.k<-12 D.k?0 4.若y与x成正比例,y与z成反比例,则下列说法正确的是(). A.z是x的正比例函数 B.z是x的反比例函数 C.z是x的一次函数 D.z不是x的函数 5.下列说法正确的是(). A.圆面积公式S=πr2中,S与r成正比例关系 B.三角形面积公式S=12a h中,当S是常量时,a与h成反比例关系 C.y=1x+1中,y与x成反比例关系 D.y=x-12中,y与x成正比例关系 6.在温度不变的情况下,一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例,当V=200时,p=50,则p =25时,V=. 7.在平面直角坐标系x O y中,点P到x轴的距离为3个单位长度,到原点O的距离为5个单位长度,则经过点P的反比例函数的表达式为. 8.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=-6. (1)求y与x的函数表达式; (2)当x=4时,求y的值. 基础训练 1.下列问题中两个变量间的函数表达式是反比例函数的是(). A.小红1分钟可以制作2朵花,x分钟可以制作y朵花 B.体积10c m3的长方体,高为h c m时,底面积为S c m2 C.用一根长50c m的铁丝弯成一个矩形,一边长为x c m时,面积为y c m2 D.小李接到一次检修管道的任务,已知管道长100m,设每天能完成10m,x天后剩下的未检修的管道长为y m 2.若函数y=(m+2)x2m+1是反比例函数,则m的值为(). A.-2 B.1 C.2或1 D.-1 3.若y与-3x成反比例,x与z成正比例,则y是z的(). A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.不能确定 期末测试(一) (时间：90分钟 满分：120分) 题号 一 二 三 总分 合分人 复分人 得分 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．下列函数：①y ＝－2x ；②y ＝－x 2；③y ＝2x －1；④y ＝1 x －2.其中是反比例函数的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．(厦门模拟)两个相似三角形的面积比为1∶4，那么它们的对应边的比为( ) A ．1∶16 B ．16∶1 C ．1∶2 D ．2∶1 3．关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋2k ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ≤92 B ．k ＜9 2 C ．k ≥92 D ．k ＞9 2 4．计算cos60°－sin30°＋tan45°的结果为( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1 5．某农科院对甲、乙两种甜玉米各用10块相同条件的试验田进行试验，得到两个品种每公顷产量的两组数据，其 方差分别为s 2甲＝0.002，s 2乙 ＝0.03，则( ) A ．甲比乙的产量稳定 B ．乙比甲的产量稳定 C ．甲、乙的产量一样稳定 D ．无法确定哪一品种的产量更稳定 6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，c ＝10，则下列不正确的是( ) A ．∠ B ＝60° B ．a ＝5 C ．b ＝5 3 D ．tanB ＝ 33 7．如图，AB ∥CD ，AC 、BD 、EF 相交于点O ，则图中相似三角形共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 8．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则下列结论不一定成立的是( ) A ．AD ＝BC′ B ．∠EBD ＝∠EDB C ．△ABE ∽△CB D D ．sin ∠AB E ＝AE ED 课时参考答案 (课前预习、课堂探究、课堂训练、课后提升) 第1章 反比例函数 1.1 反比例函数 课前预习 1.y=k x ≠ 零 课堂探究 【例1】 探究答案:-1 k ≠0 B 变式训练1-1:解:判断某函数是否是反比例函数,不是看表示变量的字母是不是有x 与y ,而要看它能否化为y=k x (k 为常数,k ≠0)的形式. 所以(2)是反比例函数,其中k=-6;(3)是反比例函数, 其中k=-3. 变式训练1-2:解:(1)由三角形的面积公式,得12 xy=36, 于是y=72 x . 所以,y 是x 的反比例函数. (2)由圆锥的体积公式,得13 xy=60,于是y=180 x . 所以y 是x 的反比例函数. 【例2】 探究答案:1.y=k x (k ≠0) 2.(√2,-√2) 解:设反比例函数的解析式为y=k x (k ≠0), 因为图象过点(√2,-√2), 将x=√2,y=-√2代入,得-√2= √2 ,解得k=-2. 因此,这个反比例函数的解析式为y=-2 x , 将x=-6,y=13 代入,等式成立. 所以函数图象经过-6, 13 . 变式训练2-1:B 变式训练2-2:解:(1)设y 1=k 1x ,y 2=k 2x (k 1,k 2为常数,且k 1≠0,k 2≠0),则y=k 1x+k 2x . ∵x=1,y=4;x=2,y=5,∴{ k 1+k 2=4,2k 1+ k 22 =5. 解得{ k 1=2, k 2=2. ∴y 与x 的函数表达式为y=2x+2x . (2)当x=4时,y=2×4+24 =812 . 课堂训练 1.B 2.C 3.A 4.-2 5.解:设大约需要工人y 个,每人每天生产纪念品x 个. ∴xy=100,即y=100 x (x>0) ∵5≤x ≤8,∴ 1008≤y ≤1005 , 即1212 ≤y ≤20, ∵y 是整数,∴大约需工人13至20人. 课后提升 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.2 7.400 8.-12 9.解:(1)∵y 是x 的正比例函数, ∴m 2-3=1, m 2=4, m=±2. ∵m=2时,m-2=0, ∴舍去. ∴m=-2. (2)∵y 是x 的反比例函数, ∴m 2-3=-1, m 2=2, m=±√2. 10.解:(1)由S=12 xy=30,得y=60x , x 的取值范围是x>0. (2)由y=60x 可知,y 是x 的反比例函数,系数为60. 1.2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象 湘教版九年级上册初中数学 全册试卷 （5套单元试卷+1套期中试卷+1套期末试卷） 第1章测试卷 一、选择题(每题3分，共24分) 1．下面的函数是反比例函数的是() A．y＝ 3 x－1 B．y＝ x 2C．y＝ 1 3x D．y＝ －1 x3 2．反比例函数的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点() A．(2，－3) B．(－3，－3) C．(2，3) D．(－4，6) 3．若反比例函数y＝k－1 x的图象位于第一、三象限，则k的取值可能是() A．－1 B．0 C．1 D．2 4．已知反比例函数y＝－2 x，下列结论不正确的是() A．图象必经过点(－1，2) B．y随x的增大而减小 C．图象位于第二、四象限D．若x＞1，则－2＜y＜0 5．某厂现有300吨原材料，这些原材料的使用天数y与平均每天消耗的吨数x 之间的函数表达式是() A．y＝300 x(x＞0) B．y＝ 300 x(x≥0) C．y＝300x(x≥0) D．y＝300x(x＞0) 6．反比例函数y＝2 x的图象上有两个点(x1，y1)，(x2，y2)，且x1 A B C D 8．在学完反比例函数图象的画法后，嘉琪同学画出了函数y＝a x－1的图象，如 图所示，那么关于x的分式方程a x－1＝2的解是() A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 二、填空题(每题4分，共32分) 9．反比例函数y＝－5 x的自变量x的取值范围是________________． 10．反比例函数y＝k x的图象经过点(3，－3)，则k的值为________． 11．若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝k x的图象的一个交点坐标为(－1，2)， 则另一个交点的坐标为____________． 12．在某一电路中，保持电压不变，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例，其图象如图所示，则这一电路的电压为________V. 13．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反 比例函数y＝k x(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为____________． 14．已知点P(m，n)在直线y＝x＋3上，也在双曲线y＝2 x上，则m 2＋n2的值为 九（上）数学知识点答案 第一章一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)，其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 2、分解因式法 （1）分解因式的概念 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，根据a·b=0，那么a=0或b=0，这种解一元二次方程的方法称为分解因式。 （2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤 一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0，得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。 3、配方法 （1）直接开平方法的定义 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。 （2）配方法的步骤和方法 一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。 4、公式法 （1）求根公式 b2-4ac≥0时，x= a ac b b 2 4 2- ± - (2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义 一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)；二、计算b2-4ac 的值，当b2-4ac≥0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。 命题与证明 二、知识要点梳理 知识点一：定义 要点诠释：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义． 知识点二：命题 要点诠释：一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．（句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．） 知识点三：命题的结构 要点诠释：命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识点四：公理 要点诠释：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短”，“一条直线截两条平行所得的同位角相等” 知识点五：：定理 要点诠释：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 知识点六：真命题与假命题 要点诠释：如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。 知识点七：证明 要点诠释：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程） 湘教版九年级数学上册单元测试题 第1章测试卷 1．下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是( ) A ．y ＝2x －13 B ．y ＝1x －1 C ．y ＝－1x 2 D ．y ＝1 2x 2．如果点(3，－4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是( ) A ．(3，4) B ．(－2，－6) C ．(－2，6) D ．(－3，－4) 3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I (A)与电阻R (Ω)成反比例函数关系．如图所示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，当电阻R 为5Ω时，电流I 为( ) A ．6 A B ．5 A C ．1.2 A D ．1 A 4．已知反比例函数y ＝3 x ，下列结论中不正确的是( ) A ．图象经过点(－1，－3) B ．图象在第一、三象限 C ．当x ＞1时，0＜y ＜3 D ．当x ＜0时，y 随着x 的增大而增大 5．若在同一直角坐标系中，正比例函数y ＝k 1x 与反比例函数y ＝k 2 x 的图象无交点，则有( ) A ．k 1＋k 2＞0 B ．k 1＋k 2＜0 C ．k 1k 2＞0 D ．k 1k 2＜0 6．已知点A (－1，y 1)，B (2，y 2)都在双曲线y ＝3＋m x 上，且y 1>y 2，则m 的取值范围是( ) A ．m <0 B ．m >0 C ．m >－3 D ．m <－3 7．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝k －1 x 的图象不可能是 ( ) 8．如图，分别过反比例函数y ＝2 x (x ＞0)图象上任意两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为 点C ，D ，连接OA ，OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1，S 2，则S 1与S 2的大小关系是( ) A ．S 1＞S 2 B ．S 1＜S 2 C ．S 1＝S 2 D ．S 1，S 2的大小关系不能确定 9．如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x 的图象上， AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝3，EF ＝10 3，则k 2－k 1的值为( ) A ．4 B.143 C.16 3 D ．6 10．如图①，在矩形ABCD 中，BC ＝x ，CD ＝y ，y 与x 满足的反比例函数关系如图②所示， 等腰直角三角形AEF 的斜边EF 过C 点，M 为EF 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．当x ＝3时，EC EM C ．当x 增大时，EC ·CF 的值增大 D ．当y 增大时，BE ·DF 的值不变 九（上）数学知识点 第一章 反比例函数 反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象：（1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度 越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减 小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大． 第二章 一元二次方程 （1）一元二次方程：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化作ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)的形式。 （2）一元二次方程的一般式及各系数含义 一般式：ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，a ≠0)，其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 1、直接开平方法 2、分解因式法：（1、提公因式法；2、公式法； 3、十字交叉相乘法） 3、配方法：加上一次项系数一半的平方。 4、公式法 （1）根的判别式：2 4b ac ?=-，?>0时，方程有两不等实数根；?=0时，方程有两相同实数根；?<0时，方程无实数根。 （2）求根公式 ： 当2 4b ac ?=-≥0时，x=a ac b b 242-±- （3）韦达定理：12b x x a +=- ,12c x x a ?= 第三章 图形的相似 1、 线段的比 一般地， 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段 2、比例的基本性质 如果 a c b d =， 那么ａｄ ＝ ｂｃ． 3、相似三角形的性质和判定 三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 如果△Ａ′Ｂ′Ｃ′与△ＡＢＣ 相似， 且Ａ′， Ｂ′， Ｃ′分别与Ａ， Ｂ， Ｃ 对应， 那么记作△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，读作“△Ａ′Ｂ′Ｃ′相似于△ＡＢＣ”．相似三角形的对应边的比ｋ叫作相似比 判定定理１ 三边对应成比例的两个三角形相似． 判定定理２ 两角对应相等的两个三角形相似. 判定定理３ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 相似三角形周长的比等于相似比， 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4、相似多边形 把对应角相等， 并且对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形．相似多边形的对应边的比ｋ 叫作相似比． 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 取定一点Ｏ， 把图形上任意一点Ｐ 对应到射线ＯＰ （或它的反向延长线）上一点Ｐ ′ ， 使得线段ＯＰ ′与ＯＰ 的比等于常数ｋ（ｋ ＞ ０）， 点Ｏ 对应到它自身， 这 种变换叫作位似变换 ， 点Ｏ 叫作位似中心， 常数ｋ 叫作位似比（'OP k OP =）。 两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比． 5、相似多边形的性质 性质１ 相似多边形的对应边成比例 性质２ 相似多边形的对应角相等． 性质３ 相似多边形周长的比等于相似比， 相似多边形面积的比等于相似 比的平方． 第四章、解直角三角形 锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A 初中数学九年级上册教学计划 上渡办事处中心学校欧南益 一、学情分析: 本学期我担任九年级187班的数学教学工作。共有学生91人，上学期期末统考及格率为65%，平均83.77分；两年的初中学习，他们思维能力大大提高，同时能灵活运用数学知识解决生活中的实际问题。大部分同学对数学产生了浓厚的兴趣。他们能专心听讲，积极思考，能提出一些探讨性问题。但个别学生基础差，考试成绩不理想，学习风气还欠浓厚。我深感教育教学的压力很大，在本学期的数学教学中务必精耕细作。如何用新理念使用好新课程标准教材？如何在教学中贯彻新课标精神？如何在提高合格率的同时加强个性特长的发展，让所有学生参与数学活动，进行自主探究、合作学习。这要求在教学过程中具有创新意识、每一个教学环节都必须巧做安排。为此，特制定本计划。 二、教材分析： 新教材体现了新的概念，对执教者提出了更高的要求，教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理。使学生懂得数学来源与实践又反过来作用于实践。提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。培养学生应用数学知识解决问题的能力。 本学期所教九年级数学包括第一章反比例函数，第二章一元二次方程，第三章图形的相似，第四章锐角三角函数，第五章用样本推断总体。其中第一章反比例函数，要理解反比例函数等概念；能掌握反比例函数的图象及其性质，并应用其解决相关问题。第二章一元二次方程要掌握一元二次方程的有关概念;会解一元二次方程;能建立一元二次方程的模型解决实际问题；让学生了解一元二次方程的各种解法，并能运用一元二次方程和函数解决一些数学问题逐步提高观察和归纳分析能力，体验数学结合的数学方法。同时学会对知识的归纳、整理、和运用。从而培养学生的思维能力和应变能力。第三章图形的相似要感知相似三角形的概念，会识别相似三角形的对应边、对应角，通过一些具体情境的应用深化对 E D C B A 21 2017-2018 学年九年级数学上册期末考试试题 一：填空题： 1. 已知函数k y x =的图象过点(1,-2)，则该函数的图象必在（ ） A. 第二、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限 D. 第三、四象限 2. 若函数x m y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围 是（ ） A ．2->m B ．2- 教案 一元二次方程 小结与复习（1） 教学目标 1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。 2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。 3、掌握本章的主要数学思想和方法。 重点难重 重点：一元二次方程解法。 难点：选用适当的方法解一元二次方程。 教学过程 （一）复习引入 1、回顾本章的主要数学思想和方法。 本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决。 2、理清本章的知识结构图。 请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。 说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。 （二）讲解例题 例1选择题： （1）mx2-3x+x2=0是关于x的一元二次方程的条件是（） A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m为任意实数 （2）用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是（）A（x+2）2=19 B（2 x+1）2=16 C（x+ ）2=4 D（x+1）2=4 评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x2-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1。 （2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。 例2选择适当的方法解下列方程： （1）（x-1）2+ x（x-1）2=0 （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0 （3）-2y2+3= y （4）x2+2 x-4=0 评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。 2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两 湘教版九年级上数学期末 测试卷 Prepared on 22 November 2020 湘教版九年级上数学期末测试卷 一、填空题 1、写出一个一元二次方程，使它的二次项系数是1， 两个根分别是2和0. 2、一副中国象棋共有红、黑两色棋子32枚，其中红“炮”与“黑”炮各有2枚，小明任意摸出一枚棋子，摸到“炮”的概率是 3、已知人的正常体温是37°C ，当气温与体温的比成黄金分割比时，人会感觉最舒适，那么你感觉最舒适的气温约是 （精确到十分位） 4、在中国地图册上，连接上海、香港、台湾三地可以构成一个三角形，用刻度尺量得三边长如图，目前，海峡两岸暂未实行通行，从台湾到上海必须绕道香港。已知飞机从台湾直飞上海的距离约为1286km ，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的空中距离是 km. 5、张明为了测量甲乙两楼的高度，在甲楼楼顶测得乙楼楼顶的仰角为30°，又测得乙楼楼底的俯角为45°，已知两楼的距离为30m ，由此可知一楼的高度是 m （精确到） 6、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边上的 高，其中AD=9cm ，BD=4cm ，那么CD 的长为 cm. 7、用“如果…那么…”的形式把命题“四个角相等的四边形是矩形”的逆命题写出来 8、已知方程()200x mx n n ++=≠有一个根是n ，那么m+n= 二、选择题 9、下列定理中有逆定理的是（ ） A.对顶角相等 B.平行四边形的对角线互相平分 C.正方形的四条边相等 D.全等三角形的对应角相等 10、老师在黑板上写出四个一元二次方程，他说不解方程就能判断方程是否有解.下列方程中有一个方程没有实数根，这个方程是（ ） A.210x x +-= B.210x x ++= C.2 0x x += D.2210x x -+= 11、若关于x 的方程()2110x m x +-+=有两个相等的实数根，那么m 的值是（ ） A.±3 或-1 12、如图，已知电线杆垂直于地面，小明测得拉线与地面的夹角为α，拉线底部与电线杆底部的距离为m ，由此可知拉线的长为（ ） A.m ·cos α B.cos m α C.sin m α ·tan α 13、下列命题中，真命题是（ ） A.两个等腰三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 D.底相等，同时高也相等的两个三角形一定相似 14、两个三角形相似，下列结论中不正确的是（ ） A.对应高的比等于相似比 B.对应角平分线的比等于相似比 C.周长比等于相似比 D.面积比等于相似比 15、下列三角函数值中，最大的是（ ） A.sin30° ° ° ° 16、一只蚂蚁在如图所示的光盘上任意爬行，已知两圆直径分别为12cm 和3cm ，则蚂蚁在阴影部分内的概率是（ ） A.14 B.116 C.12 D.不能确定 三、解答题 17、解方程 ()()222x x x -+=+ 18、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=6，求sinB 的值. AB=AC,P 19、如图，在△ABC 中， 是BC 边的中点，PM ⊥AB,PN ⊥AC ，垂足分别为M,N,求证：PM=PN湘教版数学九年级上册期末考试数学试题
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