2019年甘肃省天水市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）

1．（4分）（2019?天水）已知||1

a=，b是2的相反数，则a b

+的值为() A．3-B．1-C．1-或3-D．1或3-

2．（4分）（2019?天水）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为() A．6

7.310-

?D．5

?C．4

?B．4

7310-

0.7310-

3．（4分）（2019?天水）如图所示，圆锥的主视图是()

A．B．

C．D．

4．（4分）（2019?天水）一把直尺和一块三角板ABC（含30?、60?角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且50

∠的大小为()

∠=?，那么BFA

CED

A．145?B．140?C．135?D．130?

5．（4分）（2019?天水）下列运算正确的是()

A ．222()ab a b =

B ．224a a a +=

C ．235()a a =

D ．236a a a =

6．（4分）（2019?天水）已知12

a b +=，则代数式错误!未找到引用源。的值是(

)

A ．2

B ．2-

C ．4-

D 1

7．（4分）（2019?天水）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( )

A ．错误!未找到引用源。

B ．1

C ．

8π D ．4

π 8．（4分）（2019?天水）如图，等边OAB ?的边长为2，则点B 的坐标为( )

A ．(1,1)

B ．(1,3)

C ．(3，1)

D ．(3，3)

9．（4分）（2019?天水）如图，四边形ABCD 是菱形，O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若80D ∠=?，则EAC ∠的度数为( )

A ．20?

B ．25?

C ．30?

D ．35?

10．（4分）（2019?天水）已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点

P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长

度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果） 11．（4分）（2019?天水）函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是． 12．（4分）（2019?天水）分式方程

01x x

-=-的解是． 13．（4分）（2019?天水）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是．

14．（4分）（2019?天水）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为．（用百分数表示） 15．（4分）（2019?天水）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M N ．

（填“>”、“ =”或“<” )

16．（4分）（2019?天水）如图，在平面直角坐标系中，已知D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为(0，23)，OC 与D 交于点C ，

30OCA ∠=?，则圆中阴影部分的面积为．

17．（4分）（2019?天水）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin EFC ∠的值为．

18．（4分）（2019?天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．

三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19．（10分）（2019?天水）（1）计算：30(2)162sin 30(2019)34|π-+?+-+

（2）先化简，再求值：222

1(1)21x x x x x x --÷+++，其中x 的值从不等式组1215

x x -??-

20．（8分）（2019?天水）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽查了名学生．（2）请你补全条形统计图．

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为度．

（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

21．（10分）（2019?天水）如图，一次函数y kx b

=+与反比例函数

=的图象

交于(,4)

A m、(2,)

B n两点，与坐标轴分别交于M、N两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出40

kx b

+->中x的取值范围；

（3）求AOB

?的面积．

四、解答题（本大题共50分解答时写出必要的演算步骤及推理过程）

22．（7分）（2019?天水）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1:1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处(PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1:3．（参考数据：2 1.414

=，3 1.732)

（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；

（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

23．（10分）（2019?天水）天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件)与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元)与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

24．（10分）（2019?天水）如图，AB、AC分别是O的直径和弦，OD AC

⊥于点D．过点A作O的切线与

OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是O的切线；

（2）若60

AB=，求线段CF的长．

ABC

∠=?，10

25．（10分）（2019?天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB AD

=，CB CD

=，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC BD

⊥．试证明：2222

+=+；

AB CD AD BC

（3）解决问题：如图3，分别以Rt ACB

?的直角边AC和斜边AB为边向外作正方

形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．

26．（13分）（2019?天水）如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(9,0)B 和(0,4)C ，CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直于x 轴，垂足为E ，直线l 是该抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D 的坐标；

（2）若Rt AOC ?沿x 轴向右平移，使其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt △11A O F ，求此时Rt △11A O F 与矩形OCDE 重叠部分图形的面积；

（3）若Rt AOC ?沿x 轴向右平移t 个单位长度(06)t <得到Rt △222A O C ，Rt △

222A O C 与Rt OED ?重叠部分图形的面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写

出自变量t 的取值范围．

2019年甘肃省天水市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项选出来）

1．（4分）已知||1

a=，b是2的相反数，则a b

+的值为()

A．3-B．1-C．1-或3-D．1或3-

【考点】有理数的加法；绝对值；相反数

【分析】先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．

【解答】解：||1

a=，b是2的相反数，

b=-，

a=-，2

∴=或1

当1

+=-=-；

a b

a=时，121

当1

+=--=-；

a=-时，123

a b

综上，a b

+的值为1-或3-，

故选：C．

2．（4分）自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073米，将0.000073用科学记数法表示为()

A．6

?D．5

7.310-

?7310-

?C．4

?B．4

0.7310-

【考点】科学记数法-表示较小的数

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n

?，

与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000073用科学记数法表示为5

?，

7.310-

故选：D．

3．（4分）如图所示，圆锥的主视图是()

A．B．

C．D．

【考点】简单几何体的三视图

【分析】主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．

【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：

故选：A．

4．（4分）一把直尺和一块三角板ABC（含30?、60?角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，且50

∠的大小为()

∠=?，那么BFA

CED

A．145?B．140?C．135?D．130?

【考点】平行线的性质

【分析】先利用三角形外角性质得到140

∠=∠+∠=?，然后根据平行线

FDE C CED

的性质得到BFA

∠的度数．

【解答】解：9050140

∠=∠+∠=?+?=?，

FDE C CED

DE AF，

∴∠=∠=?．

140

BFA FDE

故选：B．

5．（4分）下列运算正确的是()

A ．222()ab a b =

B ．224a a a +=

C ．235()a a =

D ．236a a a =

【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：

A 选项，积的乘方：222()ab a b =，正确

B 选项，合并同类项：2222a a a +=，错误

C 选项，幂的乘方：236()a a =，错误

D 选项，同底数幂相乘：235a a a =，错误

故选：A ．

6．（4分）已知1

a b +=，则代数式223a b +-的值是( ) A ．2

B ．2-

C ．4-

D ．132

【考点】代数式求值

【分析】注意到223a b +-只需变形得2()3a b +-，再将12

a b +=，整体代入即可【解答】解：

2232()3a b a b +-=+-，

∴将12a b +=

代入得：1

2322

?-=- 故选：B ．

7．（4分）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为( )

A ．14

B ．12

C ．

π D ．

π 【考点】几何概率

【分析】用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区

域内的概率．

【解答】解：设正方形ABCD 的边长为2a ，

针尖落在黑色区域内的概率2

248

a a ππ

??==．故选：C ．

8．（4分）如图，等边OAB ?的边长为2，则点B 的坐标为( )

A ．(1,1)

B ．(1,3)

C ．(3，1)

D ．(3，3)

【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质

【分析】过点B 作BH AO ⊥于H 点，OAB ?是等边三角形，所以可求出OH 和BH 长．

【解答】解：过点B 作BH AO ⊥于H 点，OAB ?是等边三角形，

1OH ∴=，3BH =

∴点B 的坐标为3)．

故选：B ．

9．（4分）如图，四边形ABCD 是菱形，O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若80D ∠=?，则EAC ∠的度数为( )

A ．20?

B ．25?

C ．30?

D ．35?

【考点】圆周角定理；菱形的性质

【分析】根据菱形的性质得到1

1(180)502

ACB DCB D ∠=∠=?-∠=?，根据圆内接四边形的性质得到80AEB D ∠=∠=?，由三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是菱形，80D ∠=?，

(180)5022

ACB DCB D ∴∠=∠=?-∠=?，

四边形AECD 是圆内接四边形，

80AEB D ∴∠=∠=?，

30EAC AEB ACE ∴∠=∠-∠=?，

故选：C ．

10．（4分）已知点P 为某个封闭图形边界上一定点，动点M 从点P 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M 的运动时间为x ，线段PM 的长度为y ，表示y 与x 的函数图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】动点问题的函数图象

【分析】先观察图象得到y 与x 的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，利用圆的定义，P 点在圆上运动时，开始y 随x 的增大而增大，然后y 随x 的减小而减小，则可对D 进行判断，从而得到正确选项．

【解答】解：y 与x 的函数图象分三个部分，而B 选项和C 选项中的封闭图形都

有4条线段，其图象要分四个部分，所以B 、C 选项不正确；

A 选项中的封闭图形为圆，开始y 随x 的增大而增大，然后y 随x 的减小而减小，

所以A 选项不正确；

D 选项为三角形，M 点在三边上运动对应三段图象，且M 点在P 点的对边上运

动时，PM 的长有最小值．故选：D ．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分。只要求填写最后结果）

11．（4分）函数y =中，自变量x 的取值范围是 2x ．【考点】4E ：函数自变量的取值范围

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得20x -，解得：2x ，故答案为：2x ． 12．（4分）分式方程

01x x

-=-的解是 2x = ．【考点】3B ：解分式方程

【分析】先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可【解答】解：原式通分得：

2(1)

0(1)

x x x x --=-

去分母得：2(1)0x x --= 去括号解得，2x =

经检验，2x =为原分式方程的解故答案为2x =

13．（4分）一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a ．其中整数a 是这组数据中的中位数，则这组数据的平均数是 5 ．【考点】中位数；算术平均数

【分析】先利用中位数的定义得到4a =，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．

【解答】解：整数a 是这组数据中的中位数，

4a ∴=，

∴这组数据的平均数1(2.2 3.3 4.4411.1)55

=++++=．

故答案为5．

14．（4分）中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为 40% ．（用百分数表示）【考点】AD ：一元二次方程的应用

【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决．

【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，

220000(1)39200x +=，

解得，10.4x =，2 2.4x =-（舍去），

∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，

故答案为：40%．

15．（4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M < N ．

（填“>”、“ =”或“<” )

【考点】二次函数图象与系数的关系

【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，

42()M N a b a b -=+--

42()0a b c a b c =++--+<，

即M N <，故答案为：<

16．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点B 坐标为(0，23)，OC 与D 交于点C ，30OCA ∠=?，则圆中阴影部分的面积为 223π- ．

【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；扇形面积的计算

【分析】连接AB ，根据90AOB ∠=?可知AB 是直径，再由圆周角定理求出

30OBA C ∠=∠=?，由锐角三角函数的定义得出OA 及AB 的长，根据

ABO S S S ?=-阴影半圆即可得出结论．

【解答】解：连接AB ，

90AOB ∠=?，

AB ∴是直径，

根据同弧对的圆周角相等得30OBA C ∠=∠=?，

23OB =，

tan tan30232OA OB ABO OB ∴=∠=?==，sin304AB AO =÷?=，

即圆的半径为2， 2

22322322

ABO S S S ππ??∴=-=

-??-阴影半圆故答案为：223π-

17．（4分）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么sin EFC ∠的值为

．

【考点】矩形的性质；解直角三角形；翻折变换（折叠问题）

【分析】先根据矩形的性质得5AD BC ==，3AB CD ==，再根据折叠的性质得

5AF AD ==，EF DE =，在Rt ABF ?中，利用勾股定理计算出4BF =，则1CF BC BF =-=，设CE x =，则3DE EF x ==-，然后在Rt ECF ?中根据勾股定理得

到2221(3)x x +=-，解方程即可得到x ，进一步得到EF 的长，再根据正弦函数的定义即可求解．

【解答】解：四边形ABCD 为矩形，

5AD BC ∴==，3AB CD ==，

矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 处，

5AF AD ∴==，EF DE =，

在Rt ABF ?中，4BF AF =，

541CF BC BF ∴=-=-=，

设CE x =，则3DE EF x ==- 在Rt ECF ?中，222CE FC EF +=，

2221(3)x x ∴+=-，解得43

x =， 5

33EF x ∴=-=，

sin 5

CE EFC EF ∴∠=

=．

故答案为：4

．

18．（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 6058 个〇．

【考点】规律型：图形的变化类

【分析】根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．【解答】解：由图可得，

第1个图象中〇的个数为：1314+?=，第2个图象中〇的个数为：1327+?=，第3个图象中〇的个数为：13310+?=，第4个图象中〇的个数为：13413+?=，

∴第

2019个图形中共有：132019160576058+?=+=个〇，

故答案为：6058．

三、解答题（本大题共3小题，共28分，解答时写出必要的文字说明及演算过程）

19．（10分）（1）计算：30(2)162sin 30(2019)34|π-+?+-+

（2）先化简，再求值：222

1(1)21x x x x x x --÷+++，其中x 的值从不等式组1215x x -??-

的整数解中选取．

【考点】CC ：一元一次不等式组的整数解；6D ：分式的化简求值；2C ：实数的运算；5T ：特殊角的三角函数值

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再选取使分式有意义的x 的值代入计算可得．

【解答】解：（1）原式1

842142

=-+-?++

84114=-+-++

=；

（2）原式21

(1)1

x x x x x x x --+=+-

x x x x +=-

-，解不等式组1

215x x -??

得13x -<，

则不等式组的整数解为1-、0、1、2，

1x ≠±，0x ≠， 2x ∴=，

则原式2

212

=--． 20．（8分）天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生．（2）请你补全条形统计图．

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为度．

（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学生？

【考点】用样本估计总体；条形统计图；扇形统计图

【分析】（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；

（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数；

（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）816%50

÷=，

所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；

（2）喜欢戏曲的人数为5081012164

----=（人)，

条形统计图为：

（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为16

360115.2

??=?；故答案为50；115.2；

（4）12

1200288

?=，

所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．

21．（10分）如图，一次函数y kx b

=+与反比例函数

=的图象交于(,4)

A m、(2,)

B n

两点，与坐标轴分别交于M 、N 两点．（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出40kx b x

+->中x 的取值范围；（3）求AOB ?的面积．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】（1）将点A 、点B 的坐标分别代入解析式即可求出m 、n 的值，从而求出两点坐标；

（2）根据题意，结合图象确定出x 的范围即可；（3）将AOB ?的面积转化为AON BON S S ??-的面积即可．【解答】解：（1）点A 在反比例函数4

y x

=上，

∴

=，解得1m =， ∴点A 的坐标为(1,4)，

又点B 也在反比例函数4y x

=上，

∴

n =，解得2n =， ∴点B 的坐标为(2,2)，

又点A 、B 在y kx b =+的图象上，

∴4

k b k b +=??

+=?，解得26k b =-??=?，

∴一次函数的解析式为26y x =-+．

（2）根据图象得：4

0kx b x

+->时，x 的取值范围为0x <或12x <<；