考研数学一真题及答案全

考研数学一真题及答案全 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．

（1

）若函数0(),0x f x b x >=?≤?在x 连续，则 (A) 12

ab =

． (B) 1

2

ab =-． (C) 0ab =．

(D) 2ab =．

【答案】A

【详解】由0

1lim 2x b a +

→==,得1

2

ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则

(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．

(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C

【详解】2()

()()[]02

f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．

【答案】D

【详解】方向余弦12

cos ,cos cos 33

===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代

入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：

m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻

记为(单位：s)，则

(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =．

(D) 025t >．

【答案】C

【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T E -αα不可逆． (B) T E +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T 2E -αα不可逆．

【答案】A

【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,

,0,从而T αα-E 的特

征值为011,,

,,因此T αα-E 不可逆.

（6）设有矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，122C ?? ?

= ? ???

(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．

(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B

【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化, B 则不行.

（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件

(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．

【答案】A

【详解】由(|)(|)P A B P A B >得

()()()()

()()1()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;

由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,

,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记

1

1n

i i X X n ==∑，则下列结论不正确的是

(A)21()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 ．

(B) 212()n X X -服从2χ分布．

(C) 21

()n

i i X X =-∑服从2χ分布．

(D) 2()n X -μ服从2χ分布．

【答案】B

【详解】22

2211

~(0,1)()~(),()~(1)1n n

i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 22

1~(,),()~(1);X N n X n

-μμχ2211()~(0,2),

~(1)2n n X X X X N --χ.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．

（9）已知函数2

1

(),1f x x

=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】24

2

1()1(11)1f x x x x x

=

=-++-<<+,没有三次项.

（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．

【答案】12e ()x y C C -=+

【详解】特征方程2230r r ++=

得1r =-,

因此

12e ()x y C C -=+.

（11）若曲线积分?

-+-L y x aydy xdx 1

22在区域{}

1),(2

2<+=y x y x D 内与路径无关，则

=a

． 【答案】1- 【详解】有题意可得

Q P

x x

??=

??,解得1a =-. （12）幂级数11

1)1(-∞

=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．

【答案】

2

1

(1)

x + 【详解】1

1

2

1

1

1

(1)[()](1)

n n n n n nx

x x ∞

∞

--=='-=--=

+∑∑. （13）???

?

? ??=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则

()321,,αααA A A 的秩为 ．

【答案】2

【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A

（14）设随即变量X 的分布函数4

()0.5()0.5()2

x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】0

0.54()d [0,5()()]d 222

x EX xf x x x x x +∞+∞

-∞

-==+

=?

?

??.

三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答．题纸．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．

设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),x

y f x =求

2200

,x x dy

d y dx

dx

==.

【答案】

(e ,cos )x y f x =

()

''12'12''''''''''

11121212222

2''''

11122

sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dy

f e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴

=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．

求2lim

ln(1)n k k n n

→∞+. 【答案】

21222112

0012202lim ln(1)1

122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)2

1111

ln(1)02211111

ln 2221n k n n k k n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dx

x x ∞

→∞=→∞→∞+??=++++++ ??

???=++++++ ???=+=+=+-+-+=-∑

???101

1002111ln 2[(1)]

22111111

ln 2[()ln(1)]

002221111

ln 2(1ln 2)2224dx

x

x dx dx x

x x x +=--++=--++=--+=???

（17）（本题满分10分）．

已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，

方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.

方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，

当1x =，1y =时''3

2

y =-，当1x =-，0y =时''6y =.

所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.

（18）（本题满分10分）．

设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0

()

lim 0x f x x

+

→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;

（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)

()

lim 0x f x x

+

→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ?∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ?∈，使得，()0f ξ=.

(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，

0()

lim 0,'(0)0,x f x f x

+

→<∴<由拉格朗日中值定理知

(1)(0)

(0,1),'()010f f f ηη-?∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知

1(0,)(0,1)ξη?∈?，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少

有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．

设薄片型物体S 是圆锥面22y x z +=被x z 22=割下的有限部分，其上任意一点处的密度为2229),,(z y x z y x ++=μ，记圆锥面与柱面的交线为C ； （I ）求C 在xOy

平面上的投影曲线的方程； （II ）求S 的质量M 。

【答案】(1)C 的方程为22z z x

?=??=??xoy 平面的方程为：

22(1)1

0x y z ?-+=?

=?

(2)(,,)

M u x y z dS

∑∑∑

===

????

2cos3

22

22

8

1818cos

3

d d

ππ

θ

ππ

θθθ

--

==

???

3

2

2

96cos96(1)64

3

d

π

θθ

===?=

?

（20）(本题满分11分)．

设3矩阵

123

(,,)

Aααα

=有3个不同的特征值，

312

2

ααα

=+

（I）证明：(A)2

r=;

（II）若

123

βααα

=++，求方程组Axβ

=的解.

【答案】

().

1

2

1

,

,

,0

2

1

3

2

1

3

2

1

2

1

3

的特征值

是

，故

，

A

=

=

?

?

?

?

?

?

?

-

∴

=

-

+

∴

+

=

λ

α

α

α

α

α

α

α

α

α

又A有三个不同的特征值，故0

1

=

λ为单根，且A一定能相似对角化.

.2

)

(

)

(

,

~

=

Λ

=

∴

Λ

∴

r

A

r

A

（2）由（1），0

=

Ax的通解为()T

k1

,2,1-，

3

2

1

α

α

α

β+

+

=

，故有()()β

β

α

α

α=

=

?

?

?

?

?

?

?

T

A1,1,1

1

1

1

,

,

3

2

1

，即.

()).

(

)1,1,1(

1

,2,1为任意常数

的通解为k

k

Ax T

T+

-

=

∴β

（21）（本题满分11分）．

设二次型22212312

3121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换Qy x = 下的标准形为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

（21）【答案】二次型的矩阵???

?

? ??---=a A 14111412

，

因为二次型在正交变换下的标准形为22

1122y y λλ+，故A 有特征值0，

0=∴A ，故2=a .

由0)6)(3(2

1

4

11

1

4

12

=-+=---+---=-λλλλλλλA E 得特征值为

0,6,3321==-=λλλ.

解齐次线性方程组()0=-x A E i λ，求特征向量.

对31-=λ，????? ??-→????? ??-------=--0001101015141214153A E ,得???

?? ??-=1111α；

对62=λ，????? ??→????? ??----=-0000101014141714146A E ,得???

?

? ??-=1012α；

对03=λ，????? ??--→????? ??------=-0002101012141114120A E ,得???

?

? ??=1213α；

因为123,,ααα属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令()()()T T T 1,2,16

1,1,0,121,1,1,131

3222111=-==-=

=

βααβααβ， 所求正交矩阵为????????

? ??-

-=612

13

16

2031

6121

31Q ,对应标准形为2

22163y y f +-=.

（22）（本题满分11分）．

设随机变量X 与Y 相互独立，且X 的概率分布为1{X 0}{X 2}2

P P ====

，Y 的概率密度为2,01

()0,y y f y <

?其他. （I ）求{Y EY}P ≤

（II ）求Z X Y =+的概率密度。

22、【答案】（1）3

2

d 2d )(1

0=?==??+∞

∞-y y y y y yf EY Y ，

{}9

4d 2d )(320

32

=

==≤∴??∞-y y y y f EY Y P Y . （2）Z 的分布函数为

{}{}{}{}{}{}{}[][])2()(2

1

22

1

2202,0,)(-+=

-≤+≤=≤+=+≤===≤++=≤+=≤=z F z F z Y P z Y P z Y X P z Y X P X z Y X P X z Y X P z Z P z F Y Y Z ，， 故Z 的概率密度函数为

[]???

??<≤-<≤=??

???????≥<≤-<≤<≤<=-+='=其它,03

2,210,3,

032,221,010,0,

0)2()(21)()(z z z z z z z z z z z z f z f z F z f Z Z .

（23）（本题满分11分）．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的.设n 次测量结果n X X X ,,21相互独立且均服从

正态分布),(2σμN .该工程师记录的是n 次测量的绝对误差

),,2,1(n i X Z i i =-=μ.利用n Z Z Z ,,21估计σ. （I ）求i Z 的概率密度；

（II ）利用一阶矩求σ的矩估计量； （III ）求σ的最大似然估计量.

【答案】1Z 的分布函数为{}{}???

???≤-=≤-=≤=σσμμz X P z X P z Z P z F Z 111)(1，

.12)(,0;0)(,011-??

?

??Φ=>=≤σ

z

z F z z F z Z Z 时时 所以i Z

的概率密度均为22

2e ,0()()0,

z Z Z

z f z F z -

?>'==?

其他

σ.

（2）πσπ

σ

π

σσπσσ

2222d 22d 220

20

2

20

12

222

=???

? ?

?-=

?=∞+-∞

+-=-∞

+?

=?

t t z t z e t te

z e z EZ 令， 令Z EZ =1，即

Z =π

σ

22，得σ的矩估计量为： Z 22?πσ

=，其中∑==n

i i Z n Z 1

1. （3）记n Z Z Z ,,,21 的观测值为n z z z ,,,21 ，当),,2,1(0n i z i =>时， 似然函数为∑??====-

---==∏

∏n

i i i z n n n z n

i n

i i e

e z

f L 1

2

2

22

212

21

1

)2(222

);()(σ

σσπσ

πσσ，

∑=-

--=∴n

i i

z

n n n L 1

2

2

21

ln )2ln(22ln )(ln σσπσ，

令∑∑====+-=n i i n i i z n z n d L d 12123101)(ln σσσσσ，得 ∑==∴n i i Z n 1

2

1?σσ的最大似然估计量为.