初中几何三角形五心及定理性质.pdf

三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心。

外心的性质：

3、当三角形为锐角三角形时, 外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时,外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时,外心在斜边上,与斜边的中点重

合。

1、三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7 个点可以得到 6 个四点圆。

2、三角形外心O、重心G 和垂心H 三点共线,且OG︰GH=1 ︰2。（此直

线称为三角形的欧拉线（Euler line ））

1. 若 D 、 E 、 F 分别是△ABC 三边的高的垂足,则∠1 = ∠2 。（图1）

2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1）

3. 若 D 、 E 、 F 分别是△ABC 三边的高的垂足,则∠1 = ∠2 。（图2）

已知：ΔABC中,AD、BE 是两条高,AD、BE 相交于点O,连接CO 并延长

三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心。

1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。

3、P 为ΔABC所在空间中任意一点, 点0 是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b× 向量PB+c× 向量PC)/(a+b+c).

4、O 为三角形的内心, A、B、C 分别为三角形的三个顶点,延长AO 交BC 边于N,则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

5、(欧拉定理)⊿ABC 中,R 和r 分别为外接圆为和内切圆的半径, O 和I 分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr ．

△ABC 中,0 为内心,∠A 、∠B、∠C 的内角平分线分别交BC、AC、AB

于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.

7、内心到三角形三边距离相等。

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心, 叫做三角形的旁心。

如图,点M 就是△ABC 的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个

角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心,而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,这时重心,内心,外心,垂心,

四心合一。

三条中线定相交,交点位置真奇巧, 交点命名为 “重心”,重心性质要明了,重心分割中线段,数段之比听分晓；长短之比二比一,灵活运用掌握好．外心

三角形上作三高,三高必于垂心交．高线分割三角形,出现直角三对整,

直角三角形有十二,组成六对相似形, 四点共圆图中有,细心分析可找清.

内心

三角对应三顶点,角角都有平分线, 三线相交定共点,叫做“内心”有根源；

点至三边均等距,可作三角形内切圆, 此圆圆心称 “内心”,如此定义理当然．