微分方程初步

第十章

习题10-1

1． 指出下列各微分方程的阶数：

(1) x (y ′)2-2yy ′+x =0; (2) (y ″)3+5(y ′)4-y 5+x 6=0; (3) y x '''+2y ″+x 2y =0; (4) (x 2-y 2)d x +(x 2+y 2)d y =0．

解: (1) 因为方程中未知函数y 的最高阶导数的阶数为1,故该方程为一阶微分方程.

(2) 二阶. (3) 三阶. (4) 一阶.

2． 验证下列给定函数是其对应微分方程的解： (1) y =(x +C )e -x , y ′+y =e -x ;

(2) xy =C 1e x +C 2e -x , xy ″+2y ′-xy =0;

(3) x =cos2t +C 1cos3t +C 2sin3t ， x ″+9x =5cos2t ;

(4) 2

2

12C y C x +

=1， xyy ″+x (y ′)2-yy ′=0． 解: (1)

()()()()e e e e e e e x x

x x x x x

y x c y y x c x c y x c -------'=-+'∴+=-+++=∴=+ 是微分方程e x

y y -'+=的解.

(2) 在方程12e e x x xy c c -=+两边对x 求导有12e e x x y xy c c -'+=-上方程两边对x 求导有122e e x x y xy c c -'''+=+,即2y xy xy '''+= 即 20xy y xy '''+-= 所以12e e x x xy c c -=+所确定的函数()y y x =是方程20xy y xy '''+-=的解.

(3)

121212122sin 23sin 33cos34cos 29cos39sin 394cos 29cos39sin 39cos 29cos39sin 35cos 2 x t c t c t x t c t c t

x x t c t c t t c t c t t

'=--+''=---''∴+=---+++= 所以 12cos2cos3sin3x t c t c t =++是微分方程95cos 2x x t ''+=的解.

(4) 方程22

12

1x y c c +=两边对x 求导得

210(1) c x c yy '+= (1)式两边对x 求导得

2211()0(2) c c y c yy '''++= (2)式两边同乘以x 得

2211()0(3) c x c x y c xyy '''++=

(3)-(2)得 2

()0

x y y x y y y ''''+-

= 所以 22

211x y c c

+=是方程2()0xyy x y yy ''''+-=的解.

3． 已知曲线的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求这曲线所满足的微分方程． 解: 设(,)x y 是曲线()y f x =上任一点,则过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-,由已知

0X =时,Y x =,得x y xy '-=- 即 0xy y x '-+=为()y f x =所满足得微分方程.

4． 求通解为y =C e x +x 的微分方程，这里C 为任意常数．

解: 由e x y C x =+得1e x y C '=+,而由已知e x C y x =-得 1y y x '=-+ 故通解为

e x y C x =+的微分方程为1y y x '=-+.

习题10-2

1．求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解： (1) y ′＝

x

y

-+11； (2) xy d x +21x -d y =0; (3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0; (5)

1,0110==+-+=x y y x

y x y x d d ； (6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00==x y ． 解: (1) 原方程分离变量得

(10)11d d y x

y y x

=+≠+- ,两边积分得

1ln ln 11c y x =-++- 即 1ln (1)(1)c x y =-+,

即1(1)(1)e c x y =-+, 1(1)(1)e c

x y -+=±,

记1e c

c ±=,有 (1)(1)(0)x y c c -+=≠, 而当 10y +=即 1y =-时,显然是方程的解,上式取0c =时包含了1y =-,故方程的解为(1)(1)x y c -+= (c 为任意常数)

(2) 分离变量得: 2

10,0d d y

x y y

=

-≠≠,两边积分得,

1ln c y =+,可知 1c y -=,即 1

c y e -=±又 0y =显然是方程的解.

∴ 方程的通解为 y c = (c 为任意常数).

(3) 分离变量得

22

2211

d d y x

y x y x =+-, 两边积分得 221ln(1)ln 1y c x +=+-,即 2

121ln 1

y c x +=- 从而 1221(1)e c y x +=±-,记 1e c c =± 有 22(1)1y c x =--. (4) 分离变量得,

22sin cos cos d d y x

x y x

=-,两边积分得,

1tan cos y c x =-+ 即 tan sec y x c +=.

(5) 原方程可化为:(1)(1)d d y y y x x x +=+,两边积分得 23232323

y y x x c +=++ 由 0

1x y

== 得 115

236

c =

+=, 所以原方程满足初始条件的特解为 2323523236

y y x x +=++ 即 33222()3()5x y x y -+-=. (6) 分离变量得 e d d y

y y x x --=, 两边积分得 2

2

e e

y

y

x y c --+=+ 由 (1)0y = 得 1

2

c =

, 故原方程满足初始条件的特解为 21(1)(1)2

e y

y x -+=+.

(7) 分离变量得 2e d e d y x

y x = ,两边积分得 212

e e y

x

c =

+, 由 0

0x y == 得

12c =

,所以,原方程满足初始条件的特解为 21(1)2

e e y

x =+. 2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系. 解: 设t 时刻物体的温度为T ,由题意有 ()d d T

k T t

α=-- (k 为比例系数) 分离变量得

d d T

k t T α

=--,两边积分得, 1ln kt c T α=-+-,得e kt T c α-=+, 由题意有0t =时,0T T =,代入上式得, 0c T α=-.

∴0()e kt T T αα-=-+ (k 为比例系数). 3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解：

(1) xy ′-y -2

2y x +＝0；

(2) y ′=

x y +sin x

y ； (3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ; (4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1； (5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1．

解: (1) 原方程可化为 y y x '=

, 令 y u x = 则 y ux =, y u xu ''=+ 代入原

方程得: xu ' 即

d d u x

x

=

两边积分得 1

l n ()l n u

c x =+

即 u c x =

将y u x

=

代入得 2

y c x =. (2) 令y

u x =,则 ,y ux y u xu ''==+ 代入原方程得:

sin u x u x =d d 即 sin d d u x u x = 两边积分得 1l n t a n l n 2u x c =+,则 tan ,2arctan 2

u

cx u cx ==, 将y

u x

=代入得2arctan y x cx =.

(3) 原方程可化为

2

21()()33d d y y x x x y

=-, 令 y u x =,则 d d d d u y x u x x +=, 代入上式得,

23

31d d u x u u x

=-+, 两边积分得 31ln(1)ln u x c +=-+, 即 3

(1)x u c +=,

将 y

u x

=代入得 332x y cx +=. (4) 原方程可化为 2()y y y x x '+=, 令 y u x =, 则 ,d d d d y u

y ux u x x x

==+,代入上式

得

22d d u x u u x =-, 即 11122x du x u u ??

=-??-??

d , 两边积分得 112ln ln 2u c x u -=+ 即 2

2u cux -= 将y u x =代入得 2y

cxy x

-=, 由 (1)1y = 得 1c =-, ∴

2y xy x -=-, 即 2

21x

y x =+ 所以原方程满足初始条件的特解为2

21x

y x =

+. (5) 原方程可化为 ln d d y y y x x x =, 令 y u x = 则 d d d d y u u x x x

=+, 上方程可化为 ln d d u u x

u u x += 即 (ln 1)d d u x u u x

=- 两边积分得 1l n l n l n 1c u x =+- 即 1

l n 1() e c

u c x

c -==± 亦即 1e

cx

u += 将 y u x

=

代入得 1e cx

y x += 由初始条件(1)1y = 得 1c =-

故原方程满足初始条件的特解为 1e

x

y x -=.

4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解： (1) y ′-y =sin x ; (2) y ′-

x

n

y =x n e x ； (3) (x -2y )d y +d x =0; (4) ※

(1+x sin y )y ′-cos y =0； (5) y ′-

1

+x y

=(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+2

2

21212x x y x x +=+，y (0)=23;

(7) y ′-

y x 1=-x

2

ln x , y (1)=1; (8) y ′+2xy =(x sin x )·2

x -e

，y (0)=1．

解: (1) 这是一阶非齐次线性微分方程,

()()()1,()sin (())

(sin )

(sin )sin cos ()

2

1

(sin cos )

2

d d

e d e e d e e d e P x dx P x x

dx

x

x x x x x

x P x Q x x

y Q x e x c x x c x x c x e x e e c c x x -----=-=??∴=+??=+=?+-?-?=+=-+???

(2) 这是一阶非齐次线性微分方程,(),()e n x n

P x Q x x x

=-

= ()()ln ln (())

()()()()()

d d d d

e e d e

e e

d e e d d d e P x x P x x

n

n

x

x

n x

n x n x n x x x n n x n n x n x y Q x x c x x c e x x c x x e x x c x e x c x c --

--??∴=+??=?+=?+=?+=+=+?????

(3) 原方程可化为

2d d x

x y y

+=,这是一个关于y 的一阶齐次线性微分方程,且 ()1,()2P y Q y y ==, 所以

()()(())(2)

(2)(2(1))2(1)d d d d e e d e e d e e d e e e P y y P y y

y y

y y y y y

x Q y y c y y c y y c y c y c -----??=+??=?+=+=-+=-+???

(4) ※

原方程可化为

tan sec d d x

x y y y

-=,这是一个关于y 的一阶非齐次线性微分方程,且 ()tan ,()sec P y y Q y y =-=, 所以

()()tan tan (())

(sec )

1

(sec cos )

cos 1()

cos d d d d e e d e e d d P y y P y y

y y

y y

x Q y y c y y c y y y c y y c y

--??=+?

?=+=?+=+??? (5) 这是一阶非齐次线性微分方程且1

(),()(1)1

e x P x Q x x x =-

=++,所以 ()()1

1

11(())

((1))(1)()(1)()

d d d d

e e d e

e e

d d P x x P x x

x

x

x

x x x x y Q x x c x x c x e x c x e c --

++??=+??=+?+=++=++???

将初始条件 (0)1y =代入上式中得0c = 故,原方程满足初始条件的特解是 (1)e x y x =+.

(6) 这是一阶非齐次线性微分方程,且 2

22

22(),()11x x P x Q x x x ==++,所以 2222()()222112

2ln(1)

ln(1)2

223

2(())

2()

12()11(2)112()

13

d d d

e e d e e d e e d d P x x P x x

x x

x

x x x x y Q x x c x x c x x x c x x x c x

x c x --

++-++??=+??=++=++=++=++????

将初始条件(0)1y =代入上式得1c =,所以原方程满足初始条件的特解是

32

23

3(1)

x y x +=+. (7) 这是一阶非齐次线性微分方程,且12

(),()ln P x Q x x x x

=-

=-,所以

()()1

1

2(())

2

(ln )

2

(ln )22(ln )

2(1ln )d d d -d e e d e e d d P x x P x x

x

x x x y Q x x c x x c x x x x c x x x c x x x cx

-??=+??=-+=-+=++=++???

将初始条件 (1)1y =代入上式得 1c =-

所以,原方程满足初始条件的特解是 2(1ln )y x x =+-.

(8) 这是一阶非齐次线性微分方程,且()2P x x =,2

()sin e x Q x x x -=?,所以

22

2

()()22(())

(sin )

(sin )(sin cos )

d d d d

e e d e e e d e d e P x x P x x

x x x x

x x x y Q x x c x x x c x x x c x x x c -----??=+??=?+=+=-+???

将初始条件(0)1y = 代入上式得 1c =,故原方程满足初始条件的特解是: 2

(sin cos 1)e x y x x x -=-+.

5※

． 设函数f (x )在［1,＋∞)上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为

V (t )＝

3

π［t 2

f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y (2) =9

2

的特解． 解: 依题意有 22

1

()()(1)ππ

d 3t

f x x t f t f =

??-???,两边同时对t 求导有: 2

2()2()()ππ3

f t tf t t f t ='??+?? 即 2

2

()3()2()t f t f t tf t '=- 亦即 2

2

32x y y xy '=-

故 ()y f x =所满足的微分方程是 22

32x y y xy '=-, 该方程可化为 2

3()2()y y y x

x

'=-,

这是齐次方程.可求得该齐次方程的通解为: 3

y x cx y -=

将初始条件 2(2)9y =

代入上式得 1c =-,所以,该微分方程满足条件2

(2)9

y =的特解是 3y x x y -=-.

6． 已知f (x )＝

x t f x

d ?

??

?

??30

3＋3x -3， 求f (x )． 解: 方程两边对x 求导得 ()3()3f x f x '=+ 即 33y y '-= 这是一阶非齐次线性微分方程,()3,()3P x Q x =-=,其通解为

3333333(3)(3)

()1d d e e d e e d e e e x x

x x x

x

x

y x c x c c c -----??=+=+=-+=-+??

由已知30()()333d x t

f x f t x =+-? 得 (0)3f =-,代入上式得 2c =-, 所以

3()12

e x

f x =--. 7． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为

C ′(x )＝

x

C

x +++11，

且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )． 解: 由1()1x C C x x ++'=

+得1

11C C x

'-

=+,这是一阶非齐次线性微分方程,且 1

(),()11P x Q x x

=-

=+,其通解为 []1

1

1111(1)(1)ln(1)d d e e d x

x x x C x C x x C -++??=?+=+++?

由初始条件0(0)C C =代入上式得 10C C =.所以商品的生产成本函数

[]0()(1)ln(1)C x x x C =+++.

8※

． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电器使用时间x 的延长，它的保养维修费会成倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为

a x

b S x b x S 21+-=d d ， 其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的

使用费S 最高?

解: 原方程

21d d s b b s a x x x +=-可化为 2(1)d d s b b a s x x x +-=-,这是一阶非齐次线性微分方程,且2

(1)(),()b b a

P x Q x x x +=-=-,其通解为,

2

21(1)(1)()()()d d e e d d b

b x

x b b x x

b b b

b a b a S x

c x x x c x x a

x ax c cx x

----++??=-+=-?+=+=+??

由已知0x x =时,0s s =代入上式得,001

b s x a C x +-=

,又由b a S c x x =+得1122b b a bcx a S bcx x x +--'=-+=,令0S '=得唯一驻点11()b a x bc +=,将001

b s x a C x +-=代入得1

1

000()b a x x bs x ab +=?-,由问题的实际意义知,最值存在,所以当是时间

1

1000()b a

x x bs x ab

+=?-时,其平均单位时间的使用费S 最高.

习题10-3

1． 求下列微分方程的通解：

(1) y '''=x e x ； (2) y ″=

2

11

x +； (3) (1+x 2)y ″+2xy ′=0； (4) y ″-(y ′)2=0；

(5) 2

23

t x x d d +1=0．

解:（1）对方程两端连续积分三次得

112

2

123

(1)e (2)e (3)2

x x x

y x c y x c x c c x y x e c x c ''=-+'=-++=-+++

这就是所求的通解.

（2）对方程两端连续积分两次得 1arctan y x c '=+

21121

arctan d arctan ln(1)2

y x x c x x x x c x c =+=-+++?

这就是所求的通解.

（3）令()y p x '=,则()y p x '''=，于是原方程可化为

2(1)20x p xp '++= 分离变量得

2

d 2d 1p x x p x =-+，积分得 121c p x =

+,即1

2

1c y x '=+.

再积分得12arctan y c x c =+.

（4）令()y p x '=，则y p '''=，原方程可化为 20p p '-=，即

2

d d p

x p = 两边积分得11x c p -

=+,即1

1p x c =-+. 亦即

1

d 1

d y x x c =-

+ 再积分得 12ln ||y x c c =-++ （5）令()x p x '=,则d d p x p

x ''=,原方程变为3

d 10d p x p

x +=,即31d d p p x x

=-. 两边积分得 2

2

121c x p x += 即

p =.

亦即d d x t =

即d x t =.

积分得12c t c =+. 从而 221121()c x c t c +=+.

这就是所求的通解.

2． 求下列微分方程满足初始条件的特解： (1) y '''=ln x ，y (1)=0, y ′(1)=-

3

4

, y ″(1)=-1; (2) x 2y ″+xy ′=1, y (1)=0, y ′(1)=1; (3) y ″+2

y '=1, y (0)=0, y ′(0)=1．

解：（1）方程两边积分得：1ln y x x x c ''=-+，由(1)1y ''=-得10c =，于是ln y x x x ''=-,

上式两边再积分得 2223

ln 24

x y x x c '=-+. 由3

(1)4

y '=-

得20c =，于是 223ln 24

x y x x '=-

两边再积分得333111

ln 636y x x x c =-+. 由(1)0y =得311

36

c =.

所以，原方程满足初始条件的特解为3311111

ln 63636

y x x x =-

+. （2）令()y p x '=，则y p '''=，原方程化为2d 1d p x

xp x +=.即2d 1d p p x x x

-+=，这是一阶非齐次线性方微分方程.

1()p x x

=

,2

()Q x x -=，其通解为 1

1

d d 2111

e (e d )(ln )x x x x p x x c x c x

--??=+=+?

即11(ln )y x c x '=

+，由(1)1y '=得11c =，于是1

(ln 1)y x x

'=+,从而 2211

(ln 1)d (ln 1)(ln 1)(1ln )2

y x x x d x x c x =+=++=++??

由(1)0y =得21

2

c =-

∴211(1ln )22y x =+-即 21

ln ln 2

y x x =+.

（3）令y p '=，则y p '''=，原方程可化为

2d 1d p

p x

=-,由(0)1y '=，即0x =时，1p =. 显然1p =是上述方程的解，即d 1d y

x

=，积分得y x c =+,由(0)0y =得0c =，所以，原方程满足初始条件的特解为y x =.

3． 已知某个二阶非齐次线性微分方程有三个特解y 1=x , y 2=x +e x 和y 3=1+x +e x ，求这个方程的通解．

解：因为123,,y y y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解，则21e x y y -=,321y y -=是

某对应的齐次微分方程的特解且e e 1

x x =≠常数，故e x

和1是其对应的二阶齐次线性微分方

程的两个线性无关的特解，故对应齐次线性方程的通解为

12e x y c c =+

又1y x =是这个二阶非齐次线性微分方程的特解，故这个方程的通解是

12e x y c c x =++.

4． 求下列齐次线性方程的通解或在给定条件下的特解：

(1) y ″-4y ′+4y =0; (2) y ″-y ′-2y =0; (3) y ″+5y ′+6y =0, y (0)=1, y ′(0)=6;

(4) y ″-2y ′-10y =0, y (6π)=0, y ′(6

π

)=6π

e ．

解：（1）特征方程为2

440r r -+=，它有两个相等的特征根122r r ==,所以，所求的通解为212()e x y c c x =+.

（2）特征方程为220r r --=,它有两个不相等的实特征根121,2,r r =-=故所求的通解为212e e x x y c c -=+.

（3）特征方程为2560r r ++=，它有两个不相等的实特征根122,3r r =-=-,故所求的通解为2312e e x x y c c --=+.

由(0)1y =得121c c +=,又由(0)6y '=及23122e 3e x x y c c --'=--得12236c c +=-，解方程组

12121236c c c c +=??+=-? 得 12

9

8c c =??

=-? 所以，原方程满足初始条件的特解为239e

8e x

x y --=-.

（4）特征方程为2

2100r r -+=,它有两个共轭复数根，1,213i r =±,故方程的通解为

12e (cos3sin3)x

y c x c x =+，由π

6ππ

()0,()e 66

y y '==得113c =-,2c =0,故所求特解为:

1

e cos33

x y x =-

5． 求下列非齐次线性微分方程的通解或给定初始条件下的特解：

(1) y ″+3y ′-10y =144x e -2x ; (2) y ″-6y ′+8y =8x 2+4x -2;

(3) y ″+y =cos3x , y (

2π)=4, y ′(2

π

)=-1; (4) y ″-8y ′+16y =e 4x , y (0)=0,y ′(0)=1．

解：（1）特征方程2

3100r r +-=有两个不相等的实数根125,2r r =-=,故对应齐次方程的通解为

5212e e x x Y c c -=+

因为2λ=-不是特征方程的根，故可特解为

*2()e x y Ax B -=+

则 *2(22)e x y Ax A B -'=-+-, *2(444)e x y A B Ax -''=-++ 代入原方程可解得 12,1A B =-=. 所以*2(112)e x y x -=-=. 所求通解为

25212(112)e e e x x x y x c c --=-++

（2）特征方程2

680r r -+=有两个不同的特征根122,4r r ==,故对应齐次方程的通解为

2412e x x Y c e c =+

又因为0λ=不是特征方程的根，故可设特解为

*2y Ax Bx C =++

则*2y Ax B '=+,*2y A '=，代入原方程可解得

1,2,1A B C ===,

故*22

21(1)y x x x =++=+.

所求通解为22412(1)e e x x

y x c c =+++.

（3）特征方程为2

10r +=，它有两个共复数根1,2i r =±，故对应齐次方程的通解为

12cos sin Y c x c x =+

考察方程3i e

x

y y ''+=，因为3i w =不是特征方程的根，故可设特解为

*3i e x y A =

则*3i *3i 3i e , 9e x x y A y A '''==-,代入方程3i e x y y ''+=,得1

8

A =-

,所以 *3i 11

e (cos3isin 3)88

x y x x =-=-+

取*y 的实部，即得到方程cos3y y x ''+=的特解.

*11

cos38

y x =-

故原方程cos3y y x ''+=的通解为

121

cos3cos sin 8y x c x c x =-++

又 123

sin 3sin cos 8

y x c x c x '=-+

由初始条件'ππ4, 122y y ????==-

? ?????

得125,48c c ==,故所求的特解为 15

cos3cos 4sin 88

y x x x =-++

（4）特征方程2

8160r r -+=有两个相等的实根124r r ==，故对应齐次方程的通解为:

412()e x y c c x =+

因为4λ=是特征方程的重根，故可设特解为

*24e x y Ax =

将其代入方程4816e x

y y y '''-+=得12

A =,故特解为*

241e 2x y x =

所以原方程的特解为244121e ()e 2

x

x y x c c x =++. 由(0)0y =，知10c = 又由4244422e

2e e 4e x

x x x y x x c c x '=+++及(0)1y '=,得21c =.

所以，所求特解为2441e e 2

x

x y x x =

+. 6． 设对一切实数x ,函数f (x )连续且满足等式

f ′(x )=x 2

+

?

x

t t f 0

)(d ，且f (0)=2,

求函数f (x )．

解：方程两边求导得()2()f x x f x ''=+，即2y y x ''-=，特征方程2

10r -=有两个不同

的实根121,1r r ==-,故对应齐次方程的通解为12e e x x Y c c -=+.

因为0λ=不是特征方程的根，故可设特解为*y A x B =+,代入原方程得

2,0A B =-=，故特解为*2y x =-，所以方程的通解为

122e e x x y x c c -=-++.

由已知(0)2f =得122c c +=，又由题设得(0)0f '=,及122e e x x y c c -'=-+-得

122c c -=.

解方程1212

22c c c c +=??-=?得122,0c c ==

所以满足题设条件特解为

22e x y x =-+

即 ()22e x f x x =-+.

习题10-4

1． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：

C ′=C 2e -x -2C

且C (0)=1,求C (x )． 解:方程2e

2x

C C C -'=-可变形为:22e x C C C -'+=?,这是2α=的伯努利方程,令

121Z C C --==,方程可化为:2e x Z Z -'-=-,这是一阶非齐次线性微分方程且()2P x =-,()e x Q x -=-,其通解为:

2d 2d 23232e ((e )e d )e (e d )

11

e (e d )e e 33

x x

x x x x

x x x

Z x m x m x m m -------??=-+=-+=+=+??

(为了与成本C 区别,这里的任意常数用m 表示),于是211e e 3x x

m C -=+,由已知(0)1C =,可

得:23m =,从而3211212e e e 333e x x x x C -+=+=,所以33e ()12e

x

x

C x =+. 2． 设R =R (t )为小汽车的运行成本，S =S (t )为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：

R ′=

S

a

, S ′=-bS , 其中a ,b 为正的已知常数，若R (0)=0,S (0)=S 0(购买成本)，求R (t )与S (t )． 解:先解一阶线性方程S bS '=-,求出()S t ,分离变量得:

d d S

b t S

=-,积分得1e bt S C -=,由已知条件0(0)S S =,可得10C S =,所以0()e bt S t S -=,将0()e bt S t S -=代入所给方程

a R S '=

得:0e bt a R S '=,积分得:20()e bt a R t C bS =+,由已知条件(0)0R =得20

a C bS =-,所以00

()e bt a a

R t bS bS =

-

. 3． 设D =D (t )为国民债务，Y =Y (t )为国民收入，它们满足如下的关系：

D ′=αY +β, Y ′=γY

其中α,β,γ为正的已知常数．

(1) 若D (0)=D 0,Y (0)=Y 0,求D (t )和Y (t ); (2) 求极限)

()

(lim

t Y t D t +∞→．

解: (1)先解方程=Y Y γ',求出()Y t ;分离变量得:

d d Y

t Y

γ=,积分得1e t Y C γ=,由0(0)Y Y =得10C Y =,所以0()e t Y t Y γ=,将0

()e t

Y t Y γ=代入D Y αβ'=+中得:0=e t D Y γαβ'+,积分得02e t

Y D t C γαβγ

=

++,由0(0)D D =得020Y C D αγ=-,所以

000()e t Y Y

D t t D γααβγγ

=

++-. (2)0000e ()

lim

lim

()e

t t

t t Y Y

t D D t Y t Y γγααβγγ

→+∞→+∞

++-=

000D lim(

e e )e t t t t t Y Y γγγαβαα

γγγ

--→+∞

=+?+-= 4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平，I =I (t )为t 时刻的投资水平，Y =Y (t )为t 时刻的国民收入，

它们满足下列方程

??

?

??>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y (1) 设Y (0)=Y 0，求Y (t ),C (t ),I (t );

(2) 求极限)

()

(lim

t I t Y t +∞→

解: (1)由C aY b =+得C aY ''=,而I kC kaY ''==,于是Y C I aY b akY '=+=++,即有1a b Y Y ak ak -'+

=-,这是一阶非齐次线性微分方程,1()a P t ak -=,()b

Q t ak

=-,其通解为:111d d e (e d )e 1a a a

t t t ak ak ak b b Y t m m ak a ----

??=-+=+-?,由0(0)Y Y =,得01b m Y a =+-,所以

10()()e 11a

t ak

b b Y t Y a a

-=+---,为了方便起见,记1e b Y a =-,1a ak μ-=,则

e 0e ()()e t Y t Y Y Y μ=+-,于是e 0e 0e e ()()e ()e t t C t aY b aY a Y Y b a Y Y Y μμ=+=+-+=-+,

0e 0e 0e 1()()e ()e (1)()e t t t a

I t kC k a Y Y k a Y Y a Y Y ka

μμμμ-'==?-=??

-=--. (2)0e e e 0e

0e ()e ()11lim lim lim(e )()(1)()e 1(1)()1t t

t t t t Y Y Y Y Y t I t a Y Y a a Y Y a μμμ-→+∞→+∞→+∞-+==+?=

------.