(完整word)高等代数(北大版)第8章习题参考答案
第八章 λ—矩阵
1. 化下列矩阵成标准形 1）???
?
??+-λλ
λλλ
λ3522
2
3
2）????
? ?
?-+--22
2211λλλλλλλλλ 3）?????
??++22
)1(000000λλλλ 4）?????
?
?
?
?---00
000)1(0000
022
2
2λλλλ
λλ 5）????
?
??---+-+--+-+--+1244323534321232322
222λλλλλλλλλλλλλλ
6）???
???
?? ??-----++002213300101
02602206341032λλλλλλλλλλλλ
λλ
解 1）对-λ矩阵作初等变换,有
A =)(λ ???? ??+-λλλλλλ352223→ ???? ?
?-+λλλλλλ322253→ ???
? ??+λλλλλλ3-10-053232 → ???
? ??--λλλλ
3100
23= B )(λ， B )(λ即为所求。
2）对-λ矩阵作初等变换,有
A =)(λ ?????
?
?-+--22
2211λλλλλλ
λλλ
→ ????
?
??--22
2101λλλλ
λλ→ ????
?
??+--)1(0000
1λλλλ → ????
? ??+λλλ2000000
1= B )(λ，
B )(λ即为所求。
3）因为???
??
??++22)1(000
λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 3
2
)1(+λλ， 所以
d 1 = 1, d 2 =
12
D D = )1(+λλ, d 3 = 2
3D D = 2)1(+λλ， 从而
A =)(λ?????
?
?++22)1(000
00
λλλ
λ→ ???
?? ??+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ，
B )(λ即为所求。
4）因为????
?
?
?
?
?---00
000)1(0000
0022
2
2λλλλ
λλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ，
所以
d 1 = 1,d 2 =
12D D = )1(-λλ,d 3 = 23D D = )1(-λλ,d 4 = 3
4D D
= 22)1(-λλ， 从而
A =)(λ?????
?
?
?
?---00
000)1(0000
0022
2
2λλλλ
λλ → ??
??
?
?? ?
?λλλλ-λλλ222
1)-(00001)-(0000)1(0001= B )(λ， B )(λ即为所求。
5）对-λ矩阵作初等变换,有
A =)(λ????
? ??---+-+--+-+--+1244323534321232322
222λλλλλλλλλλλλλλ
→????
? ??-λ-λ-λ-λ-λ-λ-λ-λ122223342122322
222
→????? ??-λ-λ-λ+λ+λ--λ+λ-1000110542672
2324 →???
??
??-λ-λ+λ+λ--λ+λ+λ-100010054212323 →???
?
?
??-λ+λ-λ-λ10001000123 →???
?
? ??+λ-λ-λ-λ10001000123= B )(λ，
B )(λ即为所求。
6）对-λ矩阵作初等变换,有
A =)(λ???
???
?
? ??-----++002213300101
02602206341032λλλλλλλλλλλλ
λλ
→???
???
?
? ??λ--λ-λλλλ+λλ000100010
1020022000
1000
→????????
??λ--λλλλλ000
1000001020000
00
1
000
→????????
??λ--λλλ-λ0001000001
00000
000
1000
2
→???????
?
??λ--λλλ-0001000001
00000000
01000
2
→???
???
?
?
?
?λ--λλλ-100
00010000000000000
0012，
在最后一个行列式中
D 3 =1, D 4 =)1(-λλ, D 5 = 23)1(-λλ，
所以
d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 =
34
D D =)1(-λλ, d 5 = 4
5D D =)1(2-λλ。 故所求标准形为
B )(λ = ???
??
?
?
? ?
?-λλ-λλ)1(00
0001)(00000100
00010
00012。 2.求下列-λ矩阵的不变因子:
1）????? ??-λ--λ--λ20012001
2 2）????
??
? ??+λ-λ-λ-λ234510001000
1
3）???????
?
?+-++-+αλβ
βαλα
λββαλ0
00010
01 4）??????
?
??+λ+λ+λ000200210210
0100 5）??????
? ??-λ-λ+λ+λ2000010000200001
解 1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为 D 1 =1, D 2 =1, D 3 = 3
)2(-λ，
故该-λ矩阵的不变因子为
d 1 =d 2 =1, d 3 =3
)2(-λ。
2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为 D 3 =D 2 =D 1 =1, D 4 =5432234+λ+λ+λ+λ，
故-λ矩阵的不变因子为
d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 =5432234+λ+λ+λ+λ。
3）当0≠β时,有 D 4 =
α
λββαλαλββαλ+-++-+ = []2
22)(βαλ++， 且在-λ矩阵中有一个三阶子式
β
αλα
λβ
++0
10
1 = )(2αλβ+-，
于是由
[)(2αλβ+,D 3 ] = 1，
可得
D 3 = 1，
故该-λ矩阵的不变因子为
d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 = []
2
22)(βαλ++。 当0=β时,由
D 1 =1, D 2 =1, D 3 = 2
)(αλ+, D 4 = 4
)(αλ+，
从而
d 1 =d 2 =1, d 3 = 2)(αλ+, d 4 =
3
4
D D = 2)(αλ+ 。 4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为
D 1 =1, D 2 =1, D 3 =1, D 4 = 4)2(+λ，
从而所求不变因子为
d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 = 42)(+λ。
5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为 D 3 =1, D 4 = )4)(1(2
2
--λλ， 故所求不变因子为
d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4 = )4)(1(22--λλ。
3.证明:
?
?
?????
????
??
+-------1232110000
00000100
001000010000a a a a a a n n n n λλλλλ
λΛ
O ΛΛ
O O ΛΛΛΛΛΛΛ
的不变因子是
43
421Λ个
11,,1,1-n ,)(λf ，
其中)(λf = 1
11n n n n a a a λλλ--++++L 。
证 因为
D n )(λ = 1
23-2
-1-10
00000000100
00
10000
1000
a a a a a a n n n n +----λλλλ
λλΛ
O ΛΛ
O O ΛΛΛΛΛΛΛ， 按最后一列展开此行列式，得
D n )(λ =n n n n a a a a +++++---λλ
λλ12
211)(Λ= )(λf ，
)(λf = n 1n n 1n 1n a a a a +++++---λλλλΛ22，
因为-λ矩阵左下角的1-n 阶子式1-n M = 1
)
1(--n ,所以1-n D = 1,从而
D 1 =D 2 = … = 2-n D = 1，
故所给矩阵的不变因子为
d 1 =d 2 = … = 1-n d = 1，
n d = )(λf = n n n n a a a ++++--λλλ111Λ，
即证。
4. 设A 是数域P 上一个n n ?阶矩阵, 证明A 与A'相似。 证 设
A = ????
??
?
??nn n n n n a a a
a a a a a a Λ
M O M M ΛΛ2
1222
2111211， 则 A'= ??????
?
??nn n n n n a a a a a a a a a ΛM O M M ΛΛ212221212111， 因为A 与A'相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子,所以只需证明A E -λ与A'E -λ有相同的不变因子即可。
注意到A E -λ与A'E -λ对应的k 级子式互为转置, 因而对应的k 级子式相等, 故 A E -λ 与 A'E -λ
有相同的各级行列式因子, 从而有相同的不变因子, 即证A 与A'相似。
5. 设
A = ????
?
?
?λλ
λ1
001
00
求k
A 。
解 因为
k
??
?
?
?
??λλλ100100 = ??????
?
?
?----k
k k 2k 1
k k
k 2k k k λλλλλλ0
00
)1(1，
所以
k
A = k
??
??
? ??λλλ100100 = k
'?????
???????????? ??λλλ001001 = 'k ?????
??????????
??λλλ001001
= 'k k k k k k k
k k k
??????
?
?
?----λλλλλ
λ0
00
2)1(121
= ?????
?
??
----k k k k
k k k k k k λλλλλλ1
212)1(000
。 6. 求下列复系数矩阵的若尔当标准形:
1）????? ??---122020021 2）?????
??------786675161613 3）????? ??---502613803 4）????? ??-----111122254
5）????? ??-----310425
2373 6)???
?? ??---422633211 7) ????? ??-----222333111 8)????? ??---7137341024
9) ????? ??---01412681
330 10)???
?? ??-----11326919614308 11)???????
??-----0167121700140013 12) ??
??
?
?
?
?
?1000210032104321 13)????
???
?
?----80213130130623031 14) ??????
???
?
?
?0000110000000000010000010Λ
ΛM M O M M M ΛΛΛ
解 1）设原矩阵为A ,则
A E -λ = ?????
?
?+---122020
02
1
λλλ→??????
?
?
?
---+0
2102
02111λλλ → ?
???
?
?
??-+---2)1)(1(100
20001λλλλ → ????
?
? ??--+-0202)1)(1(300
01λλλ
→ ???
?
?
??--+)2)(1)(1(00010001λλλ，
于是A 的初等因子是
1+λ, 1-λ, 2-λ，
故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
? ??-200010001。
2）设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??++---786675
161613λλλ→???
?
? ??+--+---+7126121011
λλλλλ → ????? ??--+--++2)1(301410)3)(1(0001λλλλλ→????
?
??--+-0)1(03160
0012
λλ → ???
?
?
??+-)3()1(000100012λλ，
于是A 的初等因子是
2
)1(-λ, 3+λ，
故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
? ??-110010003。
3) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??+-+---502613803λλλ→???
?
? ??+-+-+502612211
λλλλ
→ ????? ??++-+1)1(200)
1(00012
λλλ→????? ??++-+21)(00)1(210001λλλ → ???
?
? ??++2)1(0001
0001λλ， 于是A 的初等因子是1+λ, 2
)1(+λ,故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
? ??---11001000
1。
4) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??--+--111122
254λλλ→???
?
? ??--+--+1101225
1λλλλ → ?????
?
?--+--11
012
131λλλ
λ→????? ??--+-11012200012λλλλ
→ ?????
?
?--0)1(0110
001
2λλ→ ????
? ??-3)1(00010001λ，
于是A 的初等因子是3
)1(-λ，故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
? ??110011001。
5) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??--+--3104252
373λλλ→???
?? ??-++-31015027λλλλλ
→ ????? ??-+-+-31012506171λλλλ→???
?? ??++----+36717025001712λλλλ
→ ???
?
? ??+-)1)(1(000100012λλ，
于是A 的初等因子是1-λ,
i +λ, i -λ, 从而A 的若尔当标准形为
J = ???
?
?
??-i 000i 0001。
6) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??---+---422633211λλλ→???
?
? ??----+--42263
3211
λλλ → ????? ??---λλλλλ202)2(0001→????
?
??+-λλλ
λ002200012
→ ???
?
? ??-)2(0000001λλλ，
于是A 的初等因子是λ,
λ, 2-λ, 从而A 的若尔当标准形为
J = ???
?
?
??200000000。
7) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??--+--222333111λλλ→???
?
? ??-+---222333111
λλλ
→ ?????
?
?+-λλλλλ
30300
013→????
? ??20000001λλ，
于是A 的初等因子是λ, 2
λ,故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
? ??010000000。
8) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??------+713734
1024λλλ→???
?? ??-+-----1042743731
λλλ →????? ??+--+---42201410530001λλλλ→????? ??+--+-42202410
0012
λλλλ →???
?
? ??-3)2(0001
0001λ， 于是A 的初等因子是3
)2(-λ, 故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
?
??210021002。
9) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????? ??+-----1014268133λλλ→???
?
? ??+------101423368
1λλλ
→????? ??----+-2220363800012λλλλλ→????
? ??---+-2)1(2061061400012
λλλλλ
→???
?
? ??+2)1(00010001λλ，
于是A 的初等因子是λ, 2
)1(+λ,故A 的若尔当标准形为
J = ???
?
? ??--11001000
0。
10) 设原矩阵为A ,则
A E -λ=???
?? ?
?--+--1123691916
14038λλλ→??
??
?? ??
---+-143068919111231λλλ →????? ??-+-+-+--4194230240
0012λλλλλ→???
?? ??++-λλλλλ44152020001
22 →???
?
? ??-+830000100013λλ，
设8303
-+λλ =))()((321λλλλλλ---, 则由“卡当”公式可解得 3311016410164-++=λ 323
21016410164-++=ωωλ 3
3
231016410164-++=ω
ωλ
其中i 2
3
21+-=ω. 于是A 的初等因子是1λλ-, 2λλ-, 3λλ-,故A 的若尔当标准形为
J = ????
?
?
?32
10
000
00
λλλ。 11) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ??????? ??----+--λλλλ167121700140013→???
?
??
? ??-----+--λλλλλλ111601240001200001
2
→???????
?
?------01)(10012
6000
1)(000012
2λλλ→??????
?
?
?---01)(1001000001)
(00001
2
2λλ
→????
?
?
?
??-4)1(00001000010
001λ， 于是A 的初等因子是4
)1(-λ,故 A 的若尔当标准形为
J = ??
??
?
?
?
?
?110001100011
0001。 12) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ?????
?
? ??----------10002
1003210
432
1λλλλ， 因为三阶子式无公共非零因式,所以A E -λ的行列式因子为 D 3 =1, D 4 = 4)1(-=-λλA E ， 于是
d 4 = 4
1)(-λ, d 3 =d 2 =d 1 =1， 因此A 的初等因子是4
)1(-λ,故 A 的若尔当标准形为
J = ??
??
?
?
?
?
?110001100011
0001
。 13) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ????
??
? ??--------80213
130310628031λλλλλ →??????
? ??++-+---+--19012031303202000012λλλλλλ
→????
?
?? ??-+-++---101101201020013000012λλλλλλ →???
?
?
?
?
??+-+-+-019331500100000300
00
12
3λλλλ
→??
??
?
??
?
?+-----)307)(3071)((0000
10000100
1λλλλ， 所以A 的初等因子是1-λ,
1-λ, 307+-λ, 307--λ,故 A 的若尔当标准形为
J = ??
?
?
?
??
?
?+-3070000307000010
1。
14) 设原矩阵为A ,则
A E -λ = ?????????
?
?
?----λλ
λ
λλ0
0011000000000100001Λ
ΛM M
O M M M ΛΛΛ， 于是A E -λ有一个1-n 阶子式
1
-n M 1
01
000
10
001----=λ
λ
Λ
ΛM M O M M Λ
Λ
= 1)1(--n ， 所以A E -λ的行列式因子为
D 1 =D 2 = … = 1-n D = 1，
n D =
λ
λλλλ
00
1
10000
0000
100001Λ
ΛM
M O M M M ΛΛ
Λ---- =1-n λ =)())()(1(121-----n a a a λλλλΛ，
其中1, 1a ,2a ,1,-n a Λ是n 个n 次单位根, 所以A 的初等因子为
1-λ, 1a -λ, 2a -λ, ,Λ 1--n a λ，
故 A 的若尔当标准形为
J =??????
??
?
?
?
?122100
000000000
000
000
001-n -n a a a a Λ
ΛM M O
M M M ΛΛ
Λ。
注 上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得,留给读者作为练习。
7. 把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它们的有理标准形。
解 1)已知A = ???
?
? ??---122020
021
,且 A E -λ = ???
?
? ??+---122020021λλλ→ ?????
??+--220001000123λλλ，
所以A 的有理标准形为
B = ???
?
?
??-210101200。
2)已知 A = ???
?
?
??------786675161613,且
A E -λ = ????? ??++---786675161613λλλ→???
?
?
??+-+350001000123λλλ，
所以A 的不变因子为
1)()(21==λλd d , 35)(2
33+-+=λλλλd ，
故A 的有理标准形为
B = ???
?
? ??--110501300。
3)已知 A = ????
? ??---502613803
,且 A E -λ = ????? ??+-+---502613803λλλ→ ???
?
? ??+++12000100012λλλ，
所以A 的不变因子为
1=)(1λd , 1)(2+=λλd , 12)(2
3++=λλλd ，
故A 的有理标准形为
B = ???
?
? ??---110200001。
4)已知 A = ???
?
? ??-----111122254
,且
A E -λ = ????? ??--+--111122254λλλ→???
?
? ??-3)1(00010001λ，
所以A 的不变因子为
1)()(21==λλd d , 133)1()(2
333-+-=-=λλλλλd ，
故A 的有理标准形为
B = ???
?
? ??-310301100。
5)已知 A = ???
?
? ??-----310425
2373
,且 A E -λ = ????? ??--+--3104252373λλλ→ ???
?
? ??+-)1)(1(000100012λλ，
所以A 的不变因子为
1)()(21==λλd d , 1)1()1()(2
323-+-=+-=λλλλλλd ，
故A 的有理标准形为
B = ????
? ??-110101100。 6)已知 A = ???
?
?
??---422633211,且
A E -λ = ????? ??---+---422633211λλλ→ ???
?
?
??-)2(0000001λλλ，
所以A 的不变因子为
1)(1=λd , λλ=)(2d , λλλ2)(2
3-=d ，
故A 的有理标准形为
B = ????
? ??210000000。
7)已知 A = ????
? ??-----222333111
,且 A E -λ = ????? ??--+--222333111λλλ→???
?
?
??20000001λλ，
所以A 的不变因子为
1)(1=λd , λλ=)(2d , 2
3)(λλ=d ，
故A 的有理标准形为
B = ????
? ??010000000。
8)已知 A = ???
?
?
??---7137341024,且
A E -λ = ???
?
? ??------+713734
1024λλλ→????? ??-3)2(0001000
1λ， 所以A 的不变因子为
1==)()(21λλd d , 8126)2()(2
333-+-=-=λλλλλd ，
故A 的有理标准形为
B = ???
?
? ??-610120180
0。
9)已知 A = ???
?
? ??---01412681
330
,且 A E -λ = ????? ??+-----1014268133λλλ→???
?
?
??+2)1(00010001λλ，
所以A 的不变因子为
1)()(21==λλd d , λλλλλλ++=+=2
3232)1()(d ，
故A 的有理标准形为
B = ????
? ??--210101000。 10)已知 A = ???
?
? ??-----11326919
614308
,且 A E -λ = ????? ??--+--112369191614038λλλ→???
?
?
??-+830000100013λλ，
所以A 的不变因子为
1)()(21==λλd d , 830)(3
3-+=λλλd ，
故A 的有理标准形为
B = ???
?
? ??-010300180
0。
11)已知 A = ??????
?
?
?-----0167121700
140013
,且 A E -λ = ???
???? ??----+--λλλλ167121700140013→????
?
??
??-4)1(000
01000010
01
λ， 所以A 的不变因子为
1)()()(321===λλλd d d , 1464)1()(23444+-+-=-=λλλλλλd ，
故A 的有理标准形为
B =??
?
?
?
?
?
?
?--41006010400110
00
。
12)已知 A = ??
??
?
?
?
?
?100021003210
4321，且 A E -λ = ????
??
? ??----------10002
1003210432
1λλλλ， 因为D 4 = 4
)1(-=-λλA E ,D 3 =1(三阶子式的公因式是零次多项式),所以A 的不变因子为
1)()()(321===λλλd d d , 1464)1()(23444+-+-=-=λλλλλλd ，
故A 的有理标准形为
第七章 线性变换 1．? 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）? 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）? 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）? 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）? 在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）? 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）? 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）? 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）? 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ， A (k X )=k BXC k kX B ==)()(A X ，故A 是n n P ?上的线性变换。
高等代数北大版第章习 题参考答案 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第 七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
第七章 线性变换 1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8）在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ，
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
第五章 二次型 1．用非退化线性替换化下列二次型为标准形，并利用矩阵验算所得结果。 1）323121224x x x x x x ++-； 2）2 3322221214422x x x x x x x ++++； 3）3231212 2216223x x x x x x x x -+--； 4）423243418228x x x x x x x x +++； 5）434232413121x x x x x x x x x x x x +++++； 6）4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++； 7）4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1）已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=， 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x （1） 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=， 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y （2） 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=， 最后将（2）代入（1），可得非退化线性替换为
??? ? ? ? ???=+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x （3） 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T ， 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2）已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++， 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=， 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y ， 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=， 且非退化线性替换为 ??? ??=-=+-=33 322321122y x y y x y y y x ， 相应的替换矩阵为 ??? ? ? ??--=100210211T ，
第四章 矩阵 1.设1）311212123A ?? ?= ? ???，111210101B -?? ?=- ? ???2）111a b c A c b a ?? ?= ? ???，111a c B b b c a ?? ? = ? ??? 计算AB ，AB BA -。 解 1）622610812AB -?? ?= ? ? -?? ，400410434BA ?? ?= ? ???222200442AB BA -?? ? -= ? ?--?? 2）222 22222223a b c a b c ac b AB a b c ac b a b c a b c a b c ?? +++++ ?=+++++ ? ?++++? ?222222a ac c b ab c c a BA a ac c b b c ab b a c b bc c c ac a ??+++++ ? =+++++ ? ?+++++?? 33()ij AB BA a ?-=， 其中 11a b ac =-， 22212a a b c b ab c =++---， 221322a b ac a c =+-- 21a c bc =-， 2222a ac b =-， 32223a a b c ab b c =++--- 23132a c a =--， 32a c bc =-， 33a b ab =- 2.计算 2 2111)310012?? ? ? ? ?? 5322)42?? ?--?? 113)01n ?? ??? cos sin 4)sin cos n ? ?? ?-?? ??? ()15)2,3,111?? ?-- ? ?-??，()112,3,11?? ? -- ? ?-?? ()11121321 223131 32 336), ,11a a a x x y a a a y a a a ???? ??? ??? ??????? 2111111117)11111111---?? ?--- ? ?--- ? ?---??，1111111111111111n ---?? ?--- ? ?--- ? ?---??
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X 2 f (ε2 )＋X 3 f (ε 3 ) =-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε 2 ，ε 3 是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令 α1＝ε1－ε 3 ，α2＝ε1＋ε 2－ε 3，α3＝ε 2＋ε 3 试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。 证： 设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2 ，ε 3 ）A 由已知，得 A ＝110011111????????-?? 因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（A ˊ）1- ＝（f1,f2,f3）011112111-?? ??-????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V * 中非零向量，试证：?α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s 采用数学归纳法。 当s ＝1时，f1≠0,所以?α∈V ，使fi(α)≠0，即当s ＝1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立，即?α∈V ，使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1k +(α)≠0,则命题成立，若f 1k +(α)＝0，则由f 1k +≠0知，一定?β∈V 使f 1k +(β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0，使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+，则γ∈V ，且
第六章线性空间 1?设 MuN,证明：MRN = M、MUN = N。 证任取a eM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因 MflNuM,故Mp|N = M。再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。但N uMU N,所以MUN = N ° 2.证明 Mp|(NUD = (MriN)U(MrU), MU(NfU) = (MUN)n(MUD。 证 VxwMCl(NUD，则在后一情形，于是 xeMflN佥 所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得 MCl(NUD = (MnN)U(Mri 厶)。反之，若 xw(MnN)U(MfU)，则XW MCIN或iwMCl L.在前一情形，x 已M、x已 N、因此X^N\JL.故得 xeMCl(NUE),在后一情形，因而 xeM,xeL, x^N\jL ,得 xwMCl(NU 厶)，故(MnN)U(MClDuMri(N U 厶)， 于是 Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。 若xwMU（NDZJ ,贝ijxe M, xeNf）厶。 在前一情形 XxwMUN,且X wMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。 在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL） 故MU（Np|L） = （MUN）pl（MUL） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f （A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法； 3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： （?,勺2（。+ "（4+9,9+2+吧） ko （a ,勺）=（ka P込+ °： 6)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ￡。= 0 ； 7)集合与加法同6),数量乘法定义为： k。a = a ；
高等代数北大版第四章矩阵知 识点总结 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如????? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 122221 11211 ，记?? ? ? ? ? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A 212221212111 ， 称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型 矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式，这样矩阵中的每
第 九章欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α,),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下,n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1)),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2)),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3)),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε,)0,,1,0(2Λ=ε,…,)1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=，
因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑ =j i j i ij y x a ,),(βα， α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1))2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(-=β， 2))3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α,)0,1,2,3(-=β。 解1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα， 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα， 22 36 1818,cos = >= <βα， 所以 4,π βα>= <。 3)同理可得 3),(=βα,17),(=αα,3),(=ββ,773,cos >= <βα， 所以 773cos ,1 ->=<βα。 3.β αβα-=) ,(d 通常为 βα,的距离，证明；
第八章 λ—矩阵 1. 化下列矩阵成标准形 1）??? ? ??+-λλ λλλ λ3522 2 3 2）???? ? ? ?-+--22 2211λλλλλλλλλ 3）??? ?? ??++22)1(000 λλλ λ 4）????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ 5）???? ? ??---+-+--+-+--+1244323534321232322 222λλλλλλλλλλλλλλ 6）??? ????? ??-----++002213300101 02602206341032λλλλλλλλλλλλλλ 解 1）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ???? ??+-λλλλλλ352223→ ???? ? ?-+λλλ λλλ 322253→ ??? ? ??+λλλλλλ3-10-053232 → ? ?? ? ??--λλλλ3100023= B )(λ， B )(λ即为所求。 2）对-λ矩阵作初等变换,有 A =)(λ ????? ? ?-+--22 2211λλλλλλ λλλ→ ???? ? ??--22 2101λλλλ λλ→ ??? ?? ??+--)1(000001λλλλ
→ ??? ? ? ??+λλλ 2000000 1= B )(λ， B )(λ即为所求。 3）因为??? ?? ??++22)1(000 λλλλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(+λλ, D 3 = 3 2 )1(+λλ， 所以 d 1 = 1, d 2 = 12 D D = )1(+λλ, d 3 = 2 3D D = 2)1(+λλ， 从而 A =)(λ????? ? ?++22)1(000 00 λλλ λ→ ??? ?? ??+λλ+λλ2)1(000)1(0001= B )(λ， B )(λ即为所求。 4）因为???? ? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ的行列式因子为 D 1 =1, D 2 =)1(-λλ, D 3 = 22)1(-λλ, D 4 = 44)1(-λλ， 所以 d 1 = 1,d 2 = 1 2 D D = )1(-λλ,d 3 = 2 3 D D = )1(-λλ,d 4 = 3 4 D D = 22)1(-λλ， 从而 A =)(λ????? ? ? ? ?---00 000)1(0000 0022 2 2λλλλ λλ
第四章 矩阵（ * * * ） 一、复习指导：矩阵这一章节可以说是一个基础章节，它不仅很重要，而且还是其他章节的基础，学好矩阵十分重要，我们要对逆矩阵，转置矩阵，对称矩阵等等的概念都要弄清楚，除此之外，还要知道矩阵的运算性质，矩阵的秩。在考试中，很有可能会出与矩阵这一章节有关的证明题，例如证明相互关联的矩阵的秩，矩阵的逆之间的关系，还有可能有与求矩阵的逆有关的题目。总的来说，这一个章节是一个关键的章节，高等代数这本书里面的知识都是融会贯通的，学好了矩阵能够为后面的章节夯实基础。 二、考点精讲： （一） 基本概念及其运算 1.基本概念 矩阵—形如???? ?? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211称为m 行n 列的矩阵，记为n m ij a A ?=)(，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。 （1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为O 。 （2）对n m ij a A ?=)(，若n m =，称A 为n 阶方阵。 （3）称??? ? ? ??=11 O E 为单位矩阵。 （4）对称矩阵—设n n ij a A ?=)(，若),,2,1,(n j i a a ji ij Λ==，称A 为对称矩阵。 （5）转置矩阵—设??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A Λ ΛΛ Λ ΛΛΛ21 22221 11211，记?????? ? ??=mn n n m m T a a a a a a a a a A Λ ΛΛΛΛΛ Λ212221212111 ，称T A 为矩阵A 的转置矩阵。 （6）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。 （7）伴随矩阵—设n n ij a A ?=)(为n 矩阵，将矩阵A 中的第i 行和j 列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，同时称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式， 这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记????? ? ? ??=*nn n n n n A A A A A A A A A A Λ ΛΛΛΛΛΛ2122212 12111 ，称为矩阵A 的伴随矩阵。 2.矩阵的三则运算
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，