解三角形大题专项训练
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）的值．
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．
3.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．
4.在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值
（2）若a=1，，求边c的值．
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）若，求A的值；
（2）若，求sinC的值．
6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；
（II）求cos（A﹣C）的值．
7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
8.设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．
9.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
10.在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．（1）确定角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=60°，c=3b．求：（Ⅰ）的值；
（Ⅱ）cotB+cot C的值．
13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，求：（Ⅰ）A的大小；
（Ⅱ）2sinBcosC﹣sin（B﹣C）的值．
14.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2+c2=2b2．（Ⅰ）若，且A为钝角，求内角A与C的大小；
（Ⅱ）求sinB的最大值．
15.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．
16.设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；
（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长
17.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知2
2
2
b c a +=+，求： （Ⅰ）A 的大小;
（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.
18. 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3
c C π
==.
⑴若ABC △求,a b ;
⑵若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.
答案与评分标准
一．选择题（共2小题）
1．（2009?福建）已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）
A．75°B．60°C．45°D．30°
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3和两边求得sinC的值，进而求得C．
解答：解：S=BC?AC?sinC=×4×3×sinC=3
∴sinC=
∵三角形为锐角三角形
∴C=60°
故选B
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问题，是三角形问题中常用的思路．
2．（2004?贵州）△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b等于（）
A．B．C．D．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．
解答：解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac、
又∵△ABC的面积为，∠B=30°，
故由，
得ac=6．
∴a2+c2=4b2﹣12．
由余弦定理，得，
解得．
又b为边长，∴．
故选B
点评：本题主要考查了余弦定理的运用．考查了学生分析问题和基本的运算能力．
二．填空题（共2小题）
3．（2011?福建）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：由A向BC作垂线，垂足为E，根据三角形为等腰三角形求得BE，进而再Rt△ABE中，利用BE和AB的长求得B，则AE可求得，然后在Rt△ADE中利用AE和∠ADC求得AD．
解答：解：由A向BC作垂线，垂足为E，
∵AB=AC
∴BE=BC=
∵AB=2
∴cosB==
∴B=30°
∴AE=BE?tan30°=1
∵∠ADC=45°
∴AD==
故答案为：
点评：本题主要考查了解三角形问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
4．（2011?福建）若△ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于 2 ．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：根据三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，让其等于列出关于AC的方程，求出方程的解即可得到AC的值，然后根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，得到△ABC，即可得到三角形的三边相等，即可得到边AB的长度．
解答：解：根据三角形的面积公式得：
S=BC?ACsinC=×2ACsin60°=AC=，
解得AC=2，又BC=2，且C=60°，
所以△ABC为等边三角形，则边AB的长度等于2．
故答案为：2
点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式化简求值，掌握等边三角形的判别方法，是一道基础题．
三．解答题（共26小题）
5．（2011?重庆）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．
考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值。
专题：计算题；综合题。
分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．
（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．
解答：解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx
=sinxcosx+cosxcosx
=sin2x+cos2x+
=sin（2x+）+
∴f（x）的最小正周期T==π
（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+
∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，
∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．
点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．
6．（2011?浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；
（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得a和c的值．
（Ⅱ）先利用余弦定理求得a，b和c的关系，把题设等式代入表示出p2，进而利用cosB的范围确定p2的范围，进而确定pd 范围．
解答：（Ⅰ）解：由题设并利用正弦定理得
故可知a，c为方程x2﹣x+=0的两根，
进而求得a=1，c=或a=，c=1
（Ⅱ）解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB=p2b2﹣b2cosB﹣，
即p2=+cosB，
因为0＜cosB＜1，
所以p2∈（，2），由题设知p＞0，所以＜p＜
点评：本题主要考查了解三角形问题．学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用．
7．（2011?天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）的值．
考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦。
专题：计算题。
分析：（I）利用三角形中的等边对等角得到三角形三边的关系；利用三角形的余弦定理求出角A的余弦．
（II）利用三角函数的平方关系求出角A的正弦，利用二倍角公式求出角2A的正弦，余弦；利用两个角的和的余弦公式求出的值．
解答：解：（I）由B=C，可得
所以cosA==
（II）因为
所以
=
点评：本题考查三角形的余弦定理、考查三角函数的平方关系、考查两角和的余弦公式．
8．（2011?陕西）叙述并证明余弦定理．
考点：余弦定理。
专题：证明题。
分析：先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．
方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平
面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．
解答：解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．
证法一：如图，
==
==b2﹣2bccosA+c2
即a2=b2+c2﹣2bccosA
同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；
证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，
则C（bcosA，bsinA），B（c，0），
∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，
同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．
点评：此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．
9．（2011?山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求的值；
（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．
考点：正弦定理的应用；余弦定理。
专题：计算题；函数思想；方程思想。
分析：（1）利用正弦定理化简等式的右边，然后整理，利用两角和的正弦函数求出的值．
（2）利用（1）可知c=2a，结合余弦定理，三角形的周长，即可求出b的值．
解答：解：（1）因为所以
即：cosAsinB﹣2sinBcosC=2sinCcosB﹣COSbsinA
所以sin（A+B）=2sin（B+C），即sinC=2sinA
所以=2
（2）由（1）可知c=2a…①
a+b+c=5…②
b2=a2+c2﹣2accosB…③
cosB=…④
解①②③④可得a=1，b=c=2；
所以b=2
点评：本题是中档题，考查正弦定理、余弦定理的应用、两角和的三角函数的应用，函数与方程的思想，考查计算能力，常考题型．
10．（2011?辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若C2=b2+a2，求B．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b 的关系．
（Ⅱ）把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把（Ⅰ）中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
11．（2011?江西）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA的值
（2）若a=1，，求边c的值．
考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用。
专题：计算题。
分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC代入题设等式求得cosA的值．
（2）利用（1）中cosA的值，可求得sinA的值，进而利用两角和公式把cosC展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用正弦定理求得c．
解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；
代入3acosA=ccosB+bcosC；
得cosA=；
（2）∵cosA=
∴sinA=
cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③
又已知cosB+cosC=代入③
cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立
解得sinC=
已知a=1
正弦定理：c===
点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用．
12．（2011?江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c
（1）若，求A的值；
（2）若，求sinC的值．
考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数。
专题：计算题。
分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．
（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．
解答：解：（1）因为，
所以sinA=，
所以tanA=，
所以A=60°
（2）由
及a2=b2+c2﹣2bccosA
得a2=b2﹣c2
故△ABC是直角三角形且B=
所以sinC=cosA=
点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
13．（2011?湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=
（I）求△A BC的周长；
（II）求cos（A﹣C）的值．
考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数。
专题：计算题。
分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，
∴c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵cosC=，∴sinC===．
∴sinA===．
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，
∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．
点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．
14．（2011?北京）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵
=4cosx（）﹣1
=sin2x+2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+）
所以函数的最小正周期为π
（Ⅱ）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x+≤
∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2
当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1
点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．
15．（2010?浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（I）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理。
专题：计算题。
分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式．
（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．
解答：解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π
所以sinC=．
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，
由正弦定理=，得：c=4
由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得
b2±b﹣12=0
解得b=或2
所以b=或b=2，c=4．
点评：本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力．
16．（2010?重庆）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2+3c2﹣3a2=4bc．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．
考点：余弦定理的应用；弦切互化。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）先把题设条件代入关于A的余弦定理中，求得cosA的值，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinA 的值．
（Ⅱ）利用三角形的内角和，把sin（B+C+）转化为sin（π﹣A+），进而利用诱导公式，两角和公式和化简整理后，把sinA和cosA的值代入即可．
解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得
又
（Ⅱ）原式=
==
==．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用以及用诱导公式和两角和公式化简求值．考查了学生对基础知识的掌握和基本的计算能力．
17．（2010?陕西）在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．
考点：余弦定理；正弦定理。
分析：先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．
解答：解：在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得cos∠ADC==，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°
在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得，
∴AB=．
点评：本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用．属基础题．
18．（2010?辽宁）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
考点：余弦定理的应用。
分析：（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc
再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．