等差等比数列练习题(含答案)以与基础知识点

一、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳：

1．概念与公式：

①等差数列： 1° . 定义：若数列{ a n } 满足 a n 1 a n d ( 常数 ), 则 { a n }称等差数列；

2° .通项公式：a n a 1( n1)d a k( n k ) d ;

3° .前 n 项和公式：公式：S n n( a 1 a n )

na1

n( n1)

d .

22

a

n 1

q（常数），则 { a n } 称等比数列；2°.通项公式：

②等比数列： 1 ° . 定义若数列 { a n } 满足

a n

n a n a 1 q n 1 a k q n k ; 3°.前n项和公式：S n a1 a n q a 1 (1q )

( q1), 当 q=1 时S n na1.

1q1q 2．简单性质：

①首尾项性质：设数列 { a n } : a1 , a 2 , a 3 ,, a n ,

1° .若{ a n}是等差数列，则 a 1 a n a 2a

n 1 a 3 a n2;

2° .若{ a n}是等比数列，则a1a n a 2a

n 1 a 3 a n2.

②中项及性质：

1° .设 a， A， b 成等差数列，则 A 称 a、 b 的等差中项，且A a b

;

2

2° .设 a,G,b 成等比数列，则G 称 a、b 的等比中项，且G ab .

③设 p、 q、 r、 s 为正整数，且p q r s,

1° .若 { a n } 是等差数列，则 a p a q a r a s ;

2° .若 { a n } 是等比数列，则 a p a q a r a s ;

④顺次 n 项和性质：

n 2 n 3 n

2

1° .若{ a n}是公差为 d 的等差数列，则 a k , a k , a k组成公差为n d 的等差数列；

k1k n 1k 2 n1

n 2 n 3 n

q n的等比数列 .（注意：当 q=－ 1，n 为2° . 若{ a n}是公差为 q 的等比数列，则 a k , a k , a k组成公差为

k1k n 1k 2 n 1

偶数时这个结论不成立）

⑤若 { a n } 是等比数列，

⑥若 { a n } 是公差为 d 的等差数列 ,

1° .若 n 为奇数，则 S n

na 中 且 S 奇

S 偶

a 中 (注 : a 中 指中项 ,即 a 中

a n 1 , 而 S 奇、 S 偶指所有奇数项、所有偶

2

数项的和）；

2° .若 n 为偶数，则 S 偶

nd

.

S 奇

2

（二）学习要点：

1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d ≠ 0 的等差数列的通项公式是项 n 的一

次函数 a n =an+b; ②公差 d ≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 n 2

+bn; ③公比 q ≠ 1 的等 S =an

比数列的前 n 项公式可以写成“ n

S n =a(1- q ) 的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.

2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题 .

3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“

a,a+m,a+2m （或

a-m,a,a+m ）” ② 三 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq 2

( 或 a

， a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 四 数 为

q

“ a , a m, a

2 m, a

3 m(或 a 3 m, a m, a

m, a 3 m); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 ， 可 设 四 数 为

2

3

(或 a a

3

), ”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.

“

a , aq , aq

, aq

3 , q , aq , aq

q

[例 1]解答下述问题：

（Ⅰ）已知 1 , 1 ,

1

成等差数列，求证：

a b c

（ 1） b c c a a

b

成等差数列；

a ,

b ,

c

（ 2） a b b

, c

b

, 2成等比数列 .

2

2

[解析 ] 该问题应该选择“中项”的知识解决，

1 1

2

a

c

2

b ( a

①

c),

a

c

b

ac

2 ac

b

②

2

2

2

2

b c

a b

bc

(1)

c

a ab

b( a c ) a

c

a

c

ac

ac

2 ( a

2

2( a

c)

c )

b ( a

c )

b .

b c ,

c

a , a

b

成等差数列

;

a

b c

b

b

b

2

b

( 2)( a

)( c

ac

b

2

) ( a

c ) (

) ,

2 2

2

4

2

a

b , b , c

b

成等比数列 .

2 2 2

[评析 ] 判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，

.

（Ⅱ）等比数列的项数

① 1024，所有偶数项的乘积为

n 为奇数，且所有奇数项的乘积为

[解析 ] 设公比为 q,a 1 a 3 a 5 a n1024

42 a 2 a 4

a

n 11282

n1

a1q242(1)

3535

而 a 1 a 2 a 3 a n1024 1282 2 2 a 1

123

2 q( n 1) 2

n135535

(a 1q2

n

22 ,将 (1)代入得( 2 2

n

2 2 , ))

5 n35, 得 n7 .

22

（Ⅲ）等差数列 { a n} 中，公差 d ≠ 0 ，在此数列中依次取出部分项组成的数列：

a

k 1, a

k 2

,

, a k n恰为等比数列, 其中 k 11, k 2 5 , k 3 17 ,

求数列 { k n } 的前 n 项和 .

[解析 ]a1 , a 5 , a17成等比数列, a 5

2

a1 a 17 ,

(a 1

2

a1( a116 d ) d ( a1 2 d ) 0

4 d )

d0 ,a1 2 d ,

数列 { a k}的公比 q

a 5a14d

3,

n

a 1a1

a k n a1

n1

2 d 3

n1

①

3

而a

k n a 1(k n1) d2d ( k n1) d②

由①，②得 k n 2 3 n11,

n

{ k n }的前 n项和 S n231n 3 n n 1 .

31

[评析 ] 例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.

[例 3]解答下述问题：

（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，

求原来的三数 .

[解析 ] 设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－ d, a, a+d，则有

(a d )( a d 32 ) a 2 d 232 d 32 a 0

(a 4 )2

( a d )( a d )

2

8 a 16 d

3d 232 d 64 0 , d 8或 d 8

, 得 a 10或

26

, 39

原三数为2,10 ,50或2

,26,338. 999

（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析 ] 设此四数为a15 , a5, a 5 , a15 (a 15 ) ,

( a 15 2 ) ( a 5) 2( a 5) 2(a 15 ) 2(2 m) 2 (m N )

4a 22

( m a )( m a )125 , 500 4 m

1251125 5 25,

m a 与m a均为正整数, 且 m a m a ,

m a1m a2

m a125m a25

解得 a62 或 a12(不合 ),所求四数为47， 57， 67，77

[评析 ] 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是

主要方法 .

二、等差等比数列练习题

一、选择题

1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）

（ A ）为常数数列（ B ）为非零的常数数列（C）存在且唯一（D ）不存在

2.、在等差数列 a n中，a1 4 ,且 a1,a5, a13成等比数列，则 a n的通项公式为（）

（ A ）a n 3 n 1（ B）a n n3（ C）a n3n 1 或

a n4（D ）a n n 3

或

a n 4

3、已知a , b , c成等比数列，且x , y 分别为a与 b 、 b 与c的等差中项，则a c

（）x

的值为

y

（A ）1

（ B ）2（C）2（D）不确定2

4、互不相等的三个正数 a , b , c成等差数列，x 是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x 2， b 2， y 2三个数（）

（A ）成等差数列不成等比数列（ B ）成等比数列不成等差数列

（C）既成等差数列又成等比数列（ D ）既不成等差数列，又不成等比数列

5、已知数列 a n的前 n 项和为S n ,S

2 n 14n 2 2 n ,则此数列的通项公式为（）

（A ）a n 2 n 2（ B）a n8 n 2（ C）a n2 n 1（D ）a n n 2n

6、已知( z x )2

y )( y z) ，则（）4( x

（ A ）x, y, z成等差数列（B ）x , y , z成等比数列

111

（ D）

111

（C）, ,成等差数列

x

,, 成等比数列x y z y z

7、数列a n的前 n 项和S n a n 1 ，则关于数列 a n的下列说法中，正确的个数有（）

①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列

④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列

（A）4（B） 3（C） 2（D）1

1111

,前 n 项和为（）8、数列 1,3,5 ,7,

24816

（A ）n21

1（B ）n2

11

（ C）n2

1

1（D）n2

11 2 n2 n 12

n n

2

2 n2 n 1

9、若两个等差数列 a n、 b n的前n项和分别为 A n、 B n，且满足A n 4 n2a5

a

13

B n 5 n5

，则

b

13

的值为（）

b5

7

（B ）8197

（A ）

7（C）（D ）

9208

10、已知数列a n的前 n 项和为S n n 25n 2 ,则数列 a n的前 10 项和为（）

（A）56（B） 58（C） 62（ D）60

11、已知数列a n的通项公式 a n n 5 为,从 a

n

n

?项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列中依次取出第 3，9， 27，?3,

的前 n 项和为（）

n (3 n13 )n

53 n10 n 33 n 110 n 3

（A ）

2（B）3（ C）

2

（ D）

2

12、下列命题中是真命题的是()

A ．数列a n是等差数列的充要条件是 a n pn q ( p0)

B ．已知一个数列 a n的前n项和为 S n an 2bn a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

C．数列a n是等比数列的充要条件 a n ab n1

D ．如果一个数列 a n的前n项和 S n ab n c ( a0 , b0, b1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a c0

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列 a n，公比 q 1 a 5 , a 7 , a 8,成等差数列，则公比 q =

14、已知等差数列 a n，公差 d0 , a1 , a 5, a 17成等比数列，则a 1 a 5

a

17

a 2 a 6

=

a

18

15、已知数列a n满足 S n11

,则a n = a n

4

16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为

二、解答题

17、已知数列 a n是公差d不为零的等差数列，数列a b n是公比为q的等比数列，b11, b 210 , b 346，求公比q及b n。

18、已知等差数列 a n的公差与等比数列 b n的公比相等，且都等于d( d0, d1), a1b1，a33b3, a 55b 5,求 a n , b n。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20

20、已知 a n为等比数列， a 32, a2 a 4，求a n的通项式。

3

21、数列

a n的前n项和记为S n, a11, a n 1 2 S n 1 n1

（Ⅰ）求

a n的通项公式；

（Ⅱ）等差数列

b n的各项为正，其前n 项和为T n，且T315 ，又 a1b1 , a 2b2 , a3b3成等比数列，求T n

22、已知数列 a n满足 a11, a n 1 2 a n1( n N*).

（I ）求数列 a n的通项公式；

（II ）若数列b n满足4b1 1.4b 21...4b n 1( a n 1) b n( n N) ，证明：b n是等差数列；

数列综合题

一、选择题

题号123456789101112

答案B D C A A A C A D D D D

二、填空题

152641n

16.63

13.14.15. ()

22933

三、解答题

17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d

由{ a bn} 为等比数例，得（ a1+9d）2 =a1( a1+45d)得 a1=3d,即 a b1 =3d,a b2=12d,a b3=48d.

∴q=4又由{ a bn}是{ a n}中的第b n a项，及a bn=a b 1·4n-1=3d·4n -1,a1+(b n-1)d=3d·4n-1

∴b n =3·4n-1-2

18.∴ a3 =3b3 ,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3 d2 )=-2 d①

a5=5b5 ,a1 +4d=5 a1 d4 , ∴ a1(1-5 d4 )=-4 d②

②,得 1 5 d ①

1 3 d 4

1

5

,a1=-

5

( n-6) 5 )n-1 =2，∴ d2 =1 或 d2 =,由题意， d= 5 。∴a n=a1+( n-1)d=b n=a1d n -1=- 5·(

25555

19.设这四个数为a

, a , aq , 2aq a q

a

216①

·a aq

由①，得 a3=216, a=6 ③则 q

a aq ( 3aq a) 36②

③代入②，得 3aq=36,q=2∴这四个数为 3，6， 12， 18

20.解: 设等比数列 { a n } 的公比为 q, 则 q ≠ 0,a 2=

a 3

=

2

, a 4=a 3 q=2q

q

q

所以

2

20 1

q + 2q= 3 , 解得 q 1=3 , q 2= 3,

当 q 1 1

1 n － 1 = 18 =

2 ×

3 3－ n

= , a =18.所以

a =18×( ) n － 1 .

3

3 3

当 q=3 时, a 1= 2 , 所以 a n =2

×3n － 1=2×3n －

3.

99

21.解： (I) 由 a n 1

2 S n

1 可得 a n

2 S n 1 1 n 2 ，两式相减得

a

n 1

a n 2 a n , a n 1 3a n n 2

又 a 2

2 S 1 1 3

∴ a 2

3a 1

故 a n 是首项为 1 ，公比为 3 得等比数列

∴ a n 3 n

1

（Ⅱ）设

b n 的公差为 d

由 T 3

15 得，可得 b 1

b 2

b 3 15 ，可得 b 2

5

故可设 b 1 5 d , b 3 5 d

又 a 1

1, a 2 3, a 3 9

由题意可得 5 d 1 5 d 9

5 2

3

解得 d 1

2, d 2

10

∵等差数列

b n 的各项为正，∴

d

∴ d

2

∴ T n 3 n

n n 1

2 n 2

2n

2

22（ I ）：

a

n 1

2a n (1 n ,)N *

a n

1

1 2( a n 1),

a n

1 是以 a 1

1 2 为首项， 2 为公比的等比数列。

a n

1

2 n .

即 a n 2 21( n N*).

（ II ）证法一：4b1 1 4b 21...4 b n 1( a n1) b n .

4( b1 b 2... b n ) n2nb n .

2[( b1b2... b n )n]nb n ,①

2[( b1b2...b n b n 1 )

(n 1)]( n 1) b n 1 .②

②－①，得 2( b n 11)( n1) b n 1nb n ,

即 ( n 1) b n 1nb n 2 0,

③

nb n 2( n 1) b n 1 2 0.

④

④－③，得nb n

2

2nb n 1nb n0,

即

b

n 2 2 b n 1b n0,

b

n 2

b

n 1

b

n 1 b n ( n N*), b n是等差数列。