二倍角的三角函数

一、选择题

1．(文)若sin2θ＝14，则tan θ＋cos θ

sin θ的值是( )

A ．－8

B ．8

C ．±8

D ．2

[答案] B

[解析] tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θ

sin θ

＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝112sin2θ＝21

4＝8，故选B.

(理)已知sin α＝2

3，则cos(π－2α)＝( )

A ．－53

B ．－1

9

C.19

D.53 [答案] B

[解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用． 由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α， ∴cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×49＝1

9，

∴cos(π－2α)＝－1

9

.

2．已知sin α＝35，且α∈? ??

??π2，π，则sin2α

cos 2α的值为( )

A ．－3

4

B ．－32

C.34

D.32

[答案] B

[解析] ∵sin α＝35，α∈? ??

??π2，π，∴cos α＝－45， ∴sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2×3

5－45＝－3

2

. 3.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4

[答案] C [解析]

2＋2cos8＋2

1－sin8 ＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵π<4<5π

4

，∴cos4

∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故选C. 4．(文)已知sin α＝5

5，则sin 4α－cos 4α的值为( )

A ．－35

B ．－15

C.15

D.35

[答案] A

[解析] sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1 ＝2×15－1＝－3

5

，故选A.

(理)设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ

4等于( )

A.1＋a 2

B.1－a

2

C ．－

1＋a

2

D ．－

1－a

2

[答案] D

[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sin θ

4<0，

∵a ＝cos θ2＝1－2sin 2θ4，∴sin θ4

＝－

1－a

2

. 5．函数f (x )＝sin 2

x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π

2]上的最大值是( )

A ．1 B.1＋3

2

C.32 D ．1＋ 3

[答案] C

[解析] f (x )＝1－cos2x 2＋3

2sin2x ＝sin ?

????2x －π6＋12， 又x ∈??????π4，π2，∴2x －π6∈????

??

π3，5π6，

f (x )max ＝1＋12＝3

2

，故选C.

6．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π

2

，则

2cos 2α

2

－sin α－1

2sin ? ???

?π4＋α 的值为( )

A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2 D ．3－2 2

[答案] C

[解析] 2cos 2α

2

－sin α－12sin (π4＋α)＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan α

tan α＋1.

又tan2α＝－22＝2tan α

1－tan 2

α

∴22tan 2α－2tan α－22＝0.解得tan α＝－2

2

或 2. 又π4<α<π

2

，∴tan α＝ 2. 原式＝1－22＋1＝－3＋2 2.故选C.

二、填空题

7．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°

1＋tan 213°，c ＝

1－cos50°

2，则a 、b 、c 的大小关系为______(由小到大排列)．

[答案] a

[解析] a ＝sin24°，b ＝sin26°，c ＝sin25°， ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单增，∴a

2

<α<π，化简

12－12

12－1

2

cos2α＝______.

[答案] sin ? ??

??

α2－π4

[解析] 原式＝

12－1

2

|sin α| ＝12－1

2

sin α＝(sin α2－cos α2

)2

2

＝

22? ????sin α

2－cos α2＝sin ? ??

??α2－π4.

三、解答题

9．(2011·天津理，15)已知函数f (x )＝tan(2x ＋π

4)，

(1)求f (x )的定义域与最小正周期；

(2)设α∈(0，π4)，若f (α

2)＝2cos2α，求α的大小．

[解析] (1)由2x ＋π4≠π

2＋kπ，k ∈Z ，得

x ≠π8＋kπ

2

，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为????

??x ∈R ???

x ≠π8＋kπ2，k ∈Z .

f (x )的最小正周期为π

2

.

(2)由f ? ????α2＝2cos2α，得tan ? ??

??α＋π4＝2cos2α，sin ?

????α＋π4cos ? ????α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，

整理得sin α＋cos α

cos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．

因为α∈?

?

?

??0，π4，

所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2

＝12，即

sin2α＝1

2.由α∈? ??

??0，π4，

得2α∈? ??

??0，π2.所以2α＝π6，即α＝π

12.

一、选择题

1．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.1

2 D.52

[答案] C

[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2

x ＝3

2

sin2x －2cos2x －2

＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝1

2

.故选C.

2．若cos α＝－4

5

，α是第三象限的角，则1＋tan

α

21－tan

α2＝( ) A ．－12

B.12 C ．2 D ．－2

[答案] A

[解析] 本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用．

∵cos α＝－45且α是第三象限的角，∴sin α＝－3

5，

∴1＋tan α21－tan α2＝cos α2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2

cos α2－sin

α2

＝? ????cos α

2

＋sin α22

? ?

???cos α2

－sin α2? ????cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos 2α2－sin 2

α2 ＝1＋sin αcos α＝1－3

5－45＝－12

，故选A.

二、填空题

3．(2011·江苏，7)已知tan(x ＋π4)＝2，则tan x

tan2x 的值为______．

[答案] 4

9

[解析] 由tan(x ＋π4)＝2，可得tan x ＝1

3，

从而tan2x ＝2tan x 1－tan 2x

＝34，则tan x tan2x ＝4

9. 4．若sin α·cos β＝12

，则cos α·sin β的取值范围是________．

[答案] ????

??

－12，12

[解析] 解法一：设t ＝cos α·sin β， 又sin α·cos β＝12，∴sin α·cos β·sin β·cos α＝1

2t ，

即sin2α·sin2β＝2t ，|sin2α·sin2β|≤1. ∴2|t |≤1，即－12≤t ≤1

2

.

∴cos α·sin β的取值范围是????

??

－12，12.

解法二：由sin α·cos β＝12知sin 2α·cos 2

β＝14

.

则cos 2

α·sin 2

β＝(1－sin 2

α)(1－cos 2

β)＝1－(sin 2

α＋cos 2

β)＋sin 2

αcos 2

β＝

5

4

－(sin 2

α＋cos 2

β)≤54－2sin 2αcos 2

β＝14，所以－12≤cos α·sin β≤12

.

三、解答题

5．已知函数f (x )＝a sin x ·cos x －3a cos 2x ＋3

2

a ＋

b .(a >0) (1)x ∈R ，写出函数的单调递减区间；

(2)设x ∈[0，π

2]，f (x )的最小值是－2，最大值是3，求实数a ，b 的值．

[解析] (1)f (x )＝a (sin x ·cos x －3cos 2

x ＋32)＋b ＝a ×(1

2

sin2x －3

×1＋cos2x 2＋32

)＋b

＝a ·sin(2x －π3

)＋b

∵a >0，x ∈R ，∴由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π

2(k ∈Z)得，f (x )的递减区间

是[k π＋512π，k π＋11

12

π](k ∈Z )

(2)∵x ∈[0，π2]，∴2x －π3∈[－π3，2π3]

∴sin(2x －π3)∈[－3

2，1]

∴函数f (x )的最小值是－

3

2

a ＋

b ＝－2 最大值a ＋b ＝3，解得a ＝2，b ＝3－2.

6．(2011·重庆文，18)设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；

(2)若函数y ＝f (x )的图像沿b ＝(π4，3

2)平移后得到函数y ＝g (x )的图像，

求y ＝g (x )在[0，π

4

]上的最大值．

[解析] (1)f (x )＝12sin2x ＋3cos 2

x ＝12sin2x ＋3×(1＋cos2x 2)＝12sin2x ＋

32cos2x ＋3

2 ＝sin(2x ＋π3)＋32

∴f (x )的最小正周期为π. (2)依题意g (x )＝f (x －π4)＋3

2

＝sin(2x －π2＋π3)＋32＋3

2

＝sin(2x －π

6

)＋ 3

当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π

3]

sin(2x －π6)∈[－12，3

2

]

∴g (x )在[0，π4]上的最大值为32＋3＝33

2

.

7．已知向量a ＝(cos x ＋2sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )．设函数f (x )＝a ·b ＋1

2

.

(1)求函数f (x )的单调递减区间；

(2)若函数y ＝f (x ＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．

[分析] 写出y ＝f (x )的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y ＝f (x )的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y ＝f (x ＋φ)为偶函数的实质就是求y 轴是函数y ＝f (x ＋φ)的一条对称轴．考虑到y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π

2(k ∈Z)，

故可利用整体思想来解决．

[解析] (1)由已知可得f (x )＝(cos x ＋2sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＋1

2

＝cos 2x －sin x cos x ＋2sin x cos x －2sin 2x ＋2sin x cos x ＋1

2

＝cos 2x ＋3sin x cos x －2sin 2x ＋1

2

＝12(1＋cos2x )＋32sin2x ＋(cos2x －1)＋12 ＝32(sin2x ＋cos2x )＝322sin ? ?

?

??2x ＋π4.

由2k π＋π2<2x ＋π4<2k π＋3π

2(k ∈Z)得：

k π＋π8

8

(k ∈Z)，

所以函数f (x )的单调递减区间为? ??

??

k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． (2)由(1)知y ＝f (x ＋φ)＝322sin ? ?

???2x ＋2φ＋π4.

由于y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π

2

(k ∈Z)，

令2x ＋2φ＋π4＝k π＋π

2(k ∈Z)，得x ＝k π＋π4－2φ

2

(k ∈Z)．

因为y ＝f (x ＋φ)为偶函数，所以令x ＝k π＋π

4－2φ

2＝0，解得φ＝k π2＋π

8(k

∈Z)．

故符合题意的φ＝k π2＋π

8

(k ∈Z)．

[点评] 注重向量与三角函数的交汇是近几年新课标高考命题的一个特色．熟练掌握数量积的定义及运算法则、三角函数的诱导公式、两角和与差的公式等是解决这类题目的一个前提．复习时要将上述知识融会贯通，有针对性地加强训练．